Derivada de una función en un punto
Ibas en auto por la Ruta 1 y tardaste 2 horas en recorrer los 180 km entre Montevideo y Colonia. Tu velocidad media fue de 90 km/h. Pero en el instante en que pasaste por Rosario, el velocímetro marcaba otra cosa. ¿Cómo se calcula la velocidad en un instante, no en un tramo? Eso es la derivada en un punto, y de eso trata este apartado.
De la razón de cambio medio a la derivada
Para medir cuánto cambia una función entre dos valores de $x$, se compara lo que varía $f$ con lo que varía $x$.
Fijate que es la misma cuenta que la velocidad media: variación de la posición dividida por el tiempo transcurrido.
Ahora acercá el punto $b$ al punto $a$. La secante gira y, en el límite, se convierte en la tangente. Su pendiente es la derivada.
Un creador de contenido ha observado que el número de seguidores de su canal durante la primera semana sigue la función $f(t) = t^2 + 2t + 100$, donde $t$ es el tiempo…
Un creador de contenido ha observado que el número de seguidores de su canal durante la primera semana sigue la función $f(t) = t^2 + 2t + 100$, donde $t$ es el tiempo en días.
Calcula la Tasa de Variación Media (T.V.M.) del número de seguidores entre el segundo día ($t = 2$) y el quinto día ($t = 5$). ¿Qué significado tiene este valor en el contexto del problema?
El número de usuarios de una nueva red social (en miles) evoluciona según la función $U(t) = \frac{20t}{t+2}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. Se…
El número de usuarios de una nueva red social (en miles) evoluciona según la función $U(t) = \frac{20t}{t+2}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. Se pide:
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Hallar la tasa de variación media de usuarios entre el mes $t=1$ y el mes $t=3$.
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Hallar la tasa de crecimiento instantáneo (derivada) en el mes $t=2$ mediante las reglas de derivación y comparar ambos valores.
La definición de derivada en un punto
Es el límite de la razón de cambio medio cuando el intervalo se hace cada vez más chico. Si ese límite existe y es finito, la función es derivable en $a$.
También se puede usar la derivada para decidir si una función crece o decrece en un punto.
Dada la función polinómica $f(x) = x^2 - 4x + 5$, calcula el valor de su derivada en el punto $x = 3$ utilizando la definición de derivada mediante el límite: $$f'(a) =…
Dada la función polinómica $f(x) = x^2 - 4x + 5$, calcula el valor de su derivada en el punto $x = 3$ utilizando la definición de derivada mediante el límite:
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$El número de descargas de una nueva App de moda, en miles, viene dado por la función $D(t) = 2t^2 - t$, donde $t$ es el tiempo en horas desde su lanzamiento. Calcula la…
El número de descargas de una nueva App de moda, en miles, viene dado por la función $D(t) = 2t^2 - t$, donde $t$ es el tiempo en horas desde su lanzamiento.
Calcula la velocidad instantánea de descarga (la derivada) en el instante $t = 4$ horas utilizando el límite:
$$D'(4) = \lim_{x \to 4} \frac{D(x) - D(4)}{x - 4}$$Dada la función racional $f(x) = \frac{2}{x}$, calcula $f'(2)$ aplicando la definición de derivada en un punto. Explica si la función está creciendo o decreciendo en ese…
Dada la función racional $f(x) = \frac{2}{x}$, calcula $f'(2)$ aplicando la definición de derivada en un punto. Explica si la función está creciendo o decreciendo en ese punto basándote en el signo del resultado.
Límites con fracciones y raíces
Cuando $f$ es una fracción o tiene raíz, el numerador $f(a+h)-f(a)$ no se simplifica a simple vista. Hay dos trucos conocidos de límites.
Utiliza la definición de derivada en un punto mediante el cálculo del límite: $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ para hallar el valor de la derivada de…
Utiliza la definición de derivada en un punto mediante el cálculo del límite:
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$para hallar el valor de la derivada de la función $f(x) = \frac{3}{x-2}$ en el punto de abscisa $x = 4$. Explica el significado geométrico del resultado obtenido en relación con la pendiente de la curva en ese punto.
Calcula, utilizando exclusivamente la definición de derivada mediante el límite del cociente incremental ($h \to 0$), el valor de $f'(4)$ para la función: $$f(x) =…
Calcula, utilizando exclusivamente la definición de derivada mediante el límite del cociente incremental ($h \to 0$), el valor de $f'(4)$ para la función:
$$f(x) = \sqrt{2x + 1}$$Justifica cada paso del proceso, especialmente la eliminación de la indeterminación.
Pendiente de la gráfica y recta tangente
Geométricamente, $f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto $(a, f(a))$. Si te dan la gráfica con la tangente dibujada, leés la pendiente tomando dos puntos de la recta: $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
Para derivar sin pasar siempre por el límite, usamos las reglas de derivación (las vas a trabajar en detalle más adelante):
| Función | Derivada |
|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ |
| $x^n$ | $n\,x^{n-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $\dfrac1x$ |
| $u\pm v$ | $u'\pm v'$ |
| $\dfrac{u}{v}$ | $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ |
| $f(g(x))$ | $f'(g(x))\cdot g'(x)$ |
Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y la recta tangente a la misma en el punto $P$. A partir de la información visual, indica razonadamente cuál es el…
Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y la recta tangente a la misma en el punto $P$.
A partir de la información visual, indica razonadamente cuál es el valor de la derivada de la función en el punto de abscisa $x = 2$, es decir, halla $f'(2)$.
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = 3x^2 - 5$ en el punto de abscisa $x = 1$. Nota: Recuerda que la ecuación de la recta tangente…
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = 3x^2 - 5$ en el punto de abscisa $x = 1$.
Nota: Recuerda que la ecuación de la recta tangente viene dada por $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.
Recta normal
La recta normal a la curva en un punto es la perpendicular a la tangente en ese punto.
A veces el punto no viene dado: te dicen, por ejemplo, que la gráfica corta al eje $Y$ o a una recta horizontal. Primero hallás la abscisa resolviendo la condición ($x=0$, o $f(x)=1$, etc.) y recién después derivás.
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 5x + 2$ en el punto donde la función corta al eje de ordenadas (eje $Y$).
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 5x + 2$ en el punto donde la función corta al eje de ordenadas (eje $Y$).
Halla la ecuación de la recta normal a la curva $f(x) = e^{x-1} + 2x$ en el punto de abscisa $x = 1$. Recuerda que la recta normal es perpendicular a la recta tangente…
Halla la ecuación de la recta normal a la curva $f(x) = e^{x-1} + 2x$ en el punto de abscisa $x = 1$. Recuerda que la recta normal es perpendicular a la recta tangente en el punto de contacto.
Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x) = e^{2x-4}$ en el punto donde la gráfica corta a la recta horizontal $y = 1$. Recuerda que la recta…
Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x) = e^{2x-4}$ en el punto donde la gráfica corta a la recta horizontal $y = 1$. Recuerda que la recta normal es perpendicular a la tangente en el punto de contacto.
La derivada como razón de cambio: costo marginal
$f'(a)$ mide cuánto cambia $f$ por cada unidad de $x$, justo en $a$. En economía, si $C(x)$ es el costo de producir $x$ unidades, $C'(a)$ es el costo marginal: lo que cuesta aproximadamente producir una unidad más.
Es la misma idea con cualquier magnitud: la derivada estima el cambio al aumentar una unidad, y es mejor cuanto más chico es el cambio. Si el incremento es grande, la estimación $f'(a)\cdot\Delta x$ se aleja de la variación real $f(a+\Delta x)-f(a)$. El error es la diferencia entre ambas.
Una empresa de mensajería comprobó que el costo de envío de un paquete (en pesos) depende de su peso $x$ (en kg) según la función $C(x) = \sqrt{4x + 9}$. Calculá, usando…
Una empresa de mensajería comprobó que el costo de envío de un paquete (en pesos) depende de su peso $x$ (en kg) según la función $C(x) = \sqrt{4x + 9}$. Calculá, usando la definición de derivada como límite, la tasa de variación instantánea del costo para un paquete que pesa exactamente $4$ kg e interpretá el resultado en términos económicos (costo marginal).
La función de ingresos de una startup tecnológica está dada por $I(x) = \frac{16\,000x}{x+80}$, donde $x$ es la inversión en marketing en miles de pesos e $I(x)$ los…
La función de ingresos de una startup tecnológica está dada por $I(x) = \frac{16\,000x}{x+80}$, donde $x$ es la inversión en marketing en miles de pesos e $I(x)$ los ingresos en miles de pesos.
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Calculá la Tasa de Variación Media (TVM) en el intervalo $[80; 100]$.
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Calculá la Tasa de Variación Instantánea (derivada) en $x = 80$.
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¿Qué error se comete si usamos la derivada en $x=80$ para estimar el incremento de ingresos al pasar de 80 a 100 miles de pesos de inversión?
Derivabilidad en un punto: derivadas laterales
Cuando la función cambia de fórmula en un punto (función definida por tramos, o con valor absoluto), la derivada se calcula por cada lado.
Entonces, para estudiar la derivabilidad en $a$:
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Verificá la continuidad en $a$ (si no es continua, no es derivable).
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Calculá $f'(a^-)$ y $f'(a^+)$.
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Compará.
En un punto anguloso las pendientes laterales son distintas: la gráfica tiene un "pico" y no existe una única tangente.
Se considera la función definida a trozos: $$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$ Estudia la derivabilidad de la…
Se considera la función definida a trozos:
$$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$Estudia la derivabilidad de la función en el punto $x = 2$ comprobando si las derivadas laterales existen y son iguales. ¿Es la función continua en dicho punto?
Estudia la derivabilidad de la función $f(x) = |x^2 - 4|$ en el punto $x = 2$ calculando sus derivadas laterales. Interpreta gráficamente por qué la función no es…
Estudia la derivabilidad de la función $f(x) = |x^2 - 4|$ en el punto $x = 2$ calculando sus derivadas laterales. Interpreta gráficamente por qué la función no es derivable en ese valor de la abscisa.
Estudia la derivabilidad de la función $f(x) = x \cdot |x - 2|$ en el punto $x = 2$. Para ello: 1. Expresa la función como una función definida a trozos. 2. Calcula las…
Estudia la derivabilidad de la función $f(x) = x \cdot |x - 2|$ en el punto $x = 2$. Para ello:
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Expresa la función como una función definida a trozos.
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Calcula las derivadas laterales en $x = 2$ usando la definición de derivada.
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Interpreta gráficamente si el punto $(2, f(2))$ es un "punto anguloso" o un punto de "transición suave".
Parámetros para que una función sea derivable
Si una función por tramos tiene parámetros, se exigen las dos condiciones de derivabilidad y se obtiene un sistema de ecuaciones.
Dada la función definida a trozos: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - a & \text{si } x < 2 \\ bx + 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$ Calcula los valores de $a$ y $b$ para…
Dada la función definida a trozos:
$$f(x) = \begin{cases} x^2 - a & \text{si } x < 2 \\ bx + 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$Calcula los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en el punto $x = 2$. Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él.
Una empresa de logística modeló el costo de mantenimiento de su flota de camionetas eléctricas mediante una función $f(x)$ definida por tramos. Para asegurar que no…
Una empresa de logística modeló el costo de mantenimiento de su flota de camionetas eléctricas mediante una función $f(x)$ definida por tramos. Para asegurar que no existan cambios bruscos en los costos operativos, la función debe ser derivable en todo su dominio. Determiná los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en $x = 1$:
$$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 2 & \text{si } x \le 1 \\ \ln(x) + \frac{a}{x} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$Puntos con una pendiente dada
En otros problemas se da una condición sobre la tangente (horizontal, paralela a una recta, ángulo dado) y hay que hallar el punto.
Determina los puntos de la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 6x$ en los que la recta tangente es horizontal. Ayuda: Una recta es horizontal cuando su pendiente es…
Determina los puntos de la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 6x$ en los que la recta tangente es horizontal.
Ayuda: Una recta es horizontal cuando su pendiente es igual a cero.
Determina los puntos de la gráfica de la función $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 2x + 5$ en los que la recta tangente es paralela a la recta $y = 1 - 2x$.
Determina los puntos de la gráfica de la función $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 2x + 5$ en los que la recta tangente es paralela a la recta $y = 1 - 2x$.
Se considera la función $f(x) = \frac{k}{x^2+1}$. Determina el valor del parámetro $k \neq 0$ para que la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 1$ forme…
Se considera la función $f(x) = \frac{k}{x^2+1}$. Determina el valor del parámetro $k \neq 0$ para que la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 1$ forme un ángulo de $135^\circ$ con el sentido positivo del eje $OX$. Una vez hallado $k$, escribe la ecuación de dicha recta tangente.
Problemas de tangencia y parámetros
Algunos problemas combinan la ecuación de la tangente con una condición sobre un punto exterior, o dan condiciones para determinar los coeficientes de una función.
La trayectoria de un dron de reparto sigue la curva $f(x) = x^2 - 6x + 8$ (en hectómetros). El operador del dron quiere programar una maniobra de aproximación en línea…
La trayectoria de un dron de reparto sigue la curva $f(x) = x^2 - 6x + 8$ (en hectómetros). El operador del dron quiere programar una maniobra de aproximación en línea recta desde un punto $P(a, f(a))$ de la trayectoria, de tal forma que la recta tangente a la curva en ese punto pase exactamente por la estación de carga, situada en el origen de coordenadas $(0,0)$.
Halla las coordenadas de los posibles puntos de tangencia y las ecuaciones de dichas rectas.
Dada la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, determina los valores de los parámetros $a, b$ y $c$ sabiendo que: 1. La gráfica de $f(x)$ pasa por el punto $(0, 5)$. 2.…
Dada la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, determina los valores de los parámetros $a, b$ y $c$ sabiendo que:
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La gráfica de $f(x)$ pasa por el punto $(0, 5)$.
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La pendiente de la recta tangente en $x = 0$ es mínima.
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Existe un punto singular (derivada nula) en $x = 2$.
Volvé al principio: la velocidad media de 90 km/h es la razón de cambio medio de la posición en un tramo, y lo que marca el velocímetro en un instante es la derivada de la posición en ese punto.