Dominio, simetría, cortes, monotonía y primer vistazo a las asíntotas
Un grupo de estudiantes del liceo diseña una aplicación para organizar eventos y quiere saber cuánto ganará según la cantidad de usuarios registrados. Antes de dibujar nada, hacen falta algunas preguntas: ¿para qué valores de $x$ tiene sentido la función?, ¿tiene alguna simetría que ahorre trabajo?, ¿por dónde corta a los ejes?, ¿en qué tramos sube y en cuáles baja?, ¿qué pasa cerca de los valores donde no existe? Este apartado las responde, y al final vas a poder contestarlas para la función de la aplicación.
Dominio: qué valores de $x$ tienen sentido
Halla el dominio de definición de cada una de estas funciones, razonando la respuesta: a) $f(x) = \sqrt{x - 3}$ b) $g(x) = \ln(x + 2)$ c) $h(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$
Halla el dominio de definición de cada una de estas funciones, razonando la respuesta:
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a) $f(x) = \sqrt{x - 3}$
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b) $g(x) = \ln(x + 2)$
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c) $h(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$
Un grupo de estudiantes de 2° de bachillerato diseñó una aplicación para organizar eventos. El beneficio esperado en pesos, $B(x)$, depende de la cantidad de usuarios…
Un grupo de estudiantes de 2° de bachillerato diseñó una aplicación para organizar eventos. El beneficio esperado en pesos, $B(x)$, depende de la cantidad de usuarios registrados $x$ (en cientos) según la función:
$B(x) = x^2 - 10x + 8$
Se pide:
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Determiná el dominio de la función considerando que $x$ representa una cantidad física.
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Calculá los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
Determina los valores del parámetro $a$ para los que el dominio de la función $f(x) = \frac{1}{x^2 + ax + 4}$ es todo $\mathbb{R}$. Razona tu respuesta usando el…
Determina los valores del parámetro $a$ para los que el dominio de la función $f(x) = \frac{1}{x^2 + ax + 4}$ es todo $\mathbb{R}$. Razona tu respuesta usando el discriminante del denominador.
Simetría: par, impar o ninguna
Estudia la simetría de las siguientes funciones, indicando en cada caso si son pares, impares o no presentan simetría: 1. $f(x) = x^4 - 5x^2 + 2$ 2.…
Estudia la simetría de las siguientes funciones, indicando en cada caso si son pares, impares o no presentan simetría:
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$f(x) = x^4 - 5x^2 + 2$
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$g(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$
Razona si cada afirmación es verdadera o falsa: a) «Si $f$ es una función impar definida en $x = 0$, necesariamente $f(0) = 0$». b) «Si una función es par, su gráfica no…
Razona si cada afirmación es verdadera o falsa:
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a) «Si $f$ es una función impar definida en $x = 0$, necesariamente $f(0) = 0$».
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b) «Si una función es par, su gráfica no puede cortar al eje $X$».
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c) «La suma de dos funciones impares es siempre una función impar».
Cortes con los ejes
Sea la función $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$. a) Determina su dominio de definición. b) Halla los puntos de corte con los ejes. c) Estudia su simetría y, con la información…
Sea la función $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$.
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a) Determina su dominio de definición.
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b) Halla los puntos de corte con los ejes.
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c) Estudia su simetría y, con la información anterior, esboza su gráfica. ¿Qué figura conocida forma?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Monotonía con la primera derivada
Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonía) de la función polinómica: $f(x) = -x^2 + 8x - 12$ a) Indica las coordenadas del vértice y especifica si…
Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonía) de la función polinómica:
$f(x) = -x^2 + 8x - 12$
- a) Indica las coordenadas del vértice y especifica si se trata de un máximo o un mínimo relativo.
- b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.
El número de socios de un club de lectura durante sus primeros años se ajusta a $N(t) = t^3 - 12t + 60$, con $t$ en años y $0 \leq t \leq 4$. a) Estudia en qué…
El número de socios de un club de lectura durante sus primeros años se ajusta a $N(t) = t^3 - 12t + 60$, con $t$ en años y $0 \leq t \leq 4$.
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a) Estudia en qué intervalos de tiempo el club ganó y perdió socios.
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b) Halla los extremos relativos e interprétalos en el contexto.
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c) ¿Cuál fue el número mínimo de socios en ese periodo?
Cerca de los puntos excluidos: primer vistazo a las asíntotas
Un valor excluido del dominio no es solo un «agujero» en la lista: importa cómo se comporta la función al acercarse a él y también cuando $x$ se hace muy grande. Para eso se usan los límites, y las rectas a las que la gráfica se va pegando se llaman asíntotas. El detalle completo está en el apartado de asíntotas y ramas infinitas; acá va lo mínimo para completar el estudio.
Mirá el gráfico interactivo de arriba, el de $\dfrac{1}{x^2-9}$: la curva se pega a $x=\pm3$ y al eje $X$ sin llegar a tocarlos.
Vuelta al principio: para $B(x)=x^2-10x+8$ el dominio, con $x$ cantidad de usuarios, es $[0, +\infty)$; corta al eje $Y$ en $(0, 8)$ y al eje $X$ en $x\approx0{,}88$ y $x\approx9{,}12$; no es par ni impar; como $B'(x)=2x-10$, decrece hasta $x=5$ (mínimo, $B(5)=-17$) y crece después; y por ser polinomio no tiene asíntotas, porque no hay valores excluidos y crece sin cota.