Sucesos dependientes e independientes

En un experimento aleatorio se lanza una moneda equilibrada (con las caras $C$ y $X$) y un dado de seis caras numeradas del 1 al 6. Se consideran los siguientes sucesos:

• $A$: "Obtener cara en la moneda".

• $B$: "Obtener un número par en el dado".

Razoná si los sucesos $A$ y $B$ son dependientes o independientes y calculá la probabilidad de que ocurran ambos a la vez, es decir, $P(A \cap B)$.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que conocemos sus probabilidades: $P(A) = 0,6$ y $P(B) = 0,4$. Si sabemos que los sucesos son independientes, calculá:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(A \cup B)$
3. c) $P(A|B)$

Un jugador de básquetbol tiene una probabilidad de encestar un tiro libre de $0,8$. Si lanza dos tiros libres seguidos y asumimos que el éxito en el segundo lanzamiento es independiente del resultado del primero, calculá:

1. a) La probabilidad de que enceste los dos tiros.
2. b) La probabilidad de que falle los dos tiros.
3. c) La probabilidad de que enceste al menos uno.

Una urna contiene 5 bolas de color naranja y 3 bolas de color violeta. Se extraen dos bolas de forma consecutiva con reemplazamiento (se devuelve la primera bola a la urna antes de extraer la segunda).

1. a) Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de color naranja.

1. b) ¿Influye el resultado de la primera extracción en la probabilidad de la segunda? Justifica tu respuesta.

Utilizando la misma urna del ejercicio anterior (5 bolas naranjas y 3 violetas), se extraen ahora dos bolas sin reposición.

1. a) Calculá la probabilidad de que la segunda bola sea naranja sabiendo que la primera fue violeta.
2. b) ¿Son estos sucesos independientes? Justificá tu respuesta comparando este resultado con la probabilidad de extraer una bola naranja en la primera posición.

En una cartuchera hay 10 marcadores: 6 son de color azul y 4 son de color rojo. Se extraen sucesivamente y sin devolución dos marcadores.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean azules?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo sea rojo si el primero fue azul?
3. c) ¿Son los eventos "el primer marcador es azul" y "el segundo marcador es azul" independientes? Justificá tu respuesta comparando las probabilidades condicionales.

En una clase de 2° de bachillerato, el $40\%$ de los alumnos utiliza habitualmente la red social Instagram ($I$) y el $25\%$ utiliza TikTok ($T$). Se sabe además que el uso de ambas redes es independiente entre sí. Si elegimos un alumno al azar, calculá la probabilidad de que:

1. a) Utilice ambas redes sociales.
2. b) No utilice ninguna de las dos.

Se dispone de la siguiente información sobre dos sucesos $X$ e $Y$:

$P(X) = 0,5$, $P(Y) = 0,3$ y $P(X \cap Y) = 0,15$.

Demostrá matemáticamente si los sucesos $X$ e $Y$ son independientes. Para eso, comprobá si se cumple la condición necesaria que relaciona la probabilidad de la intersección con el producto de las probabilidades individuales.

En un estudio sobre el consumo de contenido en streaming entre jóvenes, se observó que la probabilidad de que un estudiante esté suscripto a la plataforma A es $P(A) = 0,6$, mientras que la probabilidad de que esté suscripto a la plataforma B es $P(B) = 0,5$. Además, se sabe que la probabilidad de que no esté suscripto a ninguna de las dos es $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$.

1. a) Calculá la probabilidad de que un estudiante esté suscripto a ambas plataformas.
2. b) Determiná si los sucesos "estar suscripto a la plataforma A" y "estar suscripto a la plataforma B" son sucesos independientes. Justificá tu respuesta comparando $P(A \cap B)$ con $P(A) \cdot P(B)$.

Sean $A$ y $B$ dos eventos tales que $P(A) = 0,4$ y $P(B) = 0,3$.

1. a) Si $A$ y $B$ son eventos independientes, calculá $P(A \cup B)$ y $P(A | B)$.
2. b) Si $A$ y $B$ son eventos dependientes y sabemos que $P(A \cap B) = 0,2$, calculá $P(B | A)$.
3. c) En el caso b), ¿son $A$ y $B$ eventos incompatibles? Justificá tu respuesta.

De una baraja española de 40 cartas se extraen dos cartas sucesivamente y sin devolución. Sean los sucesos:

• $A$: "La primera carta es un Rey".

• $B$: "La segunda carta es un Rey".

Calculá la probabilidad de $B$ condicionada a $A$, es decir, $P(B|A)$. ¿Es esta probabilidad igual a la probabilidad de obtener un Rey en la primera extracción? Justificá si los sucesos son dependientes o independientes.

Una marca de ropa deportiva sabe que el $70\%$ de sus clientes compran championes de running. De aquellos que compran championes, el $40\%$ también adquiere una camiseta técnica. Por otro lado, entre los que no compran championes, solo el $15\%$ adquiere la camiseta técnica.

1. a) Si elegimos un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que compre la camiseta técnica?
2. b) ¿Son los sucesos "comprar championes" y "comprar camiseta" independientes? Razoná la respuesta analizando si el hecho de comprar championes modifica la probabilidad de comprar la camiseta.

Un creador de contenido digital tiene dos canales: uno de videojuegos ($V$) y otro de cocina ($C$). El $60\%$ de sus suscriptores siguen el canal $V$, el $40\%$ siguen el canal $C$ y el $20\%$ siguen ambos canales.

1. a) Si seleccionamos un suscriptor al azar que sabemos que sigue el canal de cocina, ¿cuál es la probabilidad de que también siga el de videojuegos?
2. b) A la vista de los datos, ¿dirías que el hecho de seguir un canal influye en la probabilidad de seguir el otro? Justificá si los eventos son dependientes o independientes.

Se clasificaron los accidentes de tránsito en una ciudad según el tipo de vehículo y si el conductor era menor de 25 años. Los datos se presentan en la siguiente tabla:

1. a) Si elegimos un accidente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el conductor sea menor de 25 años?
2. b) Si sabemos que el accidente fue de un ciclomotor, ¿cuál es la probabilidad de que el conductor sea menor de 25 años?
3. c) Utilizando los resultados anteriores, explicá razonadamente si los sucesos "ser menor de 25 años" y "conducir un ciclomotor" son independientes.

En un liceo, el $45\%$ de los estudiantes de 2.º de bachillerato son de la modalidad de Ciencias Sociales ($CS$), el $35\%$ de Ciencias y Tecnología ($CT$) y el resto de Artes ($A$). Se sabe que la probabilidad de que a un estudiante le guste la estadística es $0,8$ si es de $CS$, $0,6$ si es de $CT$ y $0,3$ si es de $A$.

1. a) Dibujá el diagrama de árbol que represente esta situación.
2. b) ¿Es el gusto por la estadística un evento independiente de la modalidad de bachillerato cursada? Demostralo matemáticamente para el caso de la modalidad de Ciencias Sociales.

Considerá dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio de los que se conocen las siguientes probabilidades: $P(A) = 0,5$, $P(B | A) = 0,4$ y $P(B | \bar{A}) = 0,4$.

1. a) Calculá $P(A \cap B)$ y $P(\bar{A} \cap B)$.
2. b) A partir de los resultados anteriores, calculá $P(B)$.
3. c) Demostrá si los sucesos $A$ y $B$ son independientes. ¿Qué conclusión podés sacar sobre la probabilidad de $B$ cuando esta no varía aunque sepamos que $A$ ocurrió o no ocurrió?

Un sistema de ciberseguridad industrial utiliza tres nodos de verificación ($N_1, N_2, N_3$) dispuestos en serie, de modo que el sistema solo permite el acceso si los tres nodos validan la entrada. La probabilidad de que el nodo $N_1$ falle es de $0,02$. El nodo $N_2$ es más sensible: si $N_1$ ha validado la entrada, la probabilidad de que $N_2$ falle es de $0,05$, pero si $N_1$ ha fallado, el nodo $N_2$ se bloquea y falla con probabilidad $1$. Finalmente, el nodo $N_3$ funciona de forma independiente al resto con una probabilidad de acierto del $0,98$.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una entrada legítima sea rechazada por el sistema?
2. b) Si el sistema ha rechazado una entrada, calcula la probabilidad de que el fallo se haya producido exclusivamente en el nodo $N_2$.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A^c \cap B^c) = 0,2$, $P(A | B) = 0,4$ y $P(B | A) = 0,5$.

1. a) Calculá las probabilidades de los sucesos $A$ y $B$. (Indicación: usá la definición de probabilidad condicionada para plantear un sistema de ecuaciones).
2. b) Determiná si los sucesos $A$ y $B$ son independientes. Justificá tu respuesta.
3. c) Calculá $P(A^c \cup B)$.

En una plataforma de streaming, el algoritmo recomienda una serie basada en dos criterios: el género (evento $G$) y la popularidad (evento $P$). Se sabe que la probabilidad de que a un usuario le guste una serie es de $0,6$. La probabilidad de que sea recomendada por su género es $0,45$. Sabiendo que a un usuario le gusta una serie, la probabilidad de que el algoritmo la haya recomendado por su género es de $0,8$. Además, los eventos "gustar la serie" y "ser recomendada por su popularidad" son independientes.

Calculá razonadamente:

1. a) La probabilidad de que una serie sea recomendada por su género y además le guste al usuario.
2. b) La probabilidad de que a un usuario le guste una serie o esta haya sido recomendada por su popularidad.
3. c) ¿Son los eventos "ser recomendada por su género" y "gustar la serie" independientes? Justificá la respuesta con cálculos.

Disponemos de dos urnas con las siguientes composiciones: la urna $U_1$ contiene 4 bolas rojas y 6 negras; la urna $U_2$ contiene 3 bolas rojas y 2 negras. El experimento consiste en extraer una bola al azar de $U_1$ e introducirla en $U_2$, sin mirar su color. A continuación, se extraen simultáneamente dos bolas de $U_2$.

1. a) Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas de $U_2$ sean de distinto color.
2. b) Si las dos bolas extraídas de $U_2$ han resultado ser negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola trasvasada desde $U_1$ fuera roja?

En un estudio sociológico sobre el uso de energías renovables, se clasifican a los individuos en "proactivos" ($A$) o "pasivos" ($B$). Se sabe que el $30\%$ de la población es proactiva. La probabilidad de que un individuo proactivo instale paneles solares es de $0,8$, mientras que para un individuo pasivo esta probabilidad se reduce a $0,2$. Se eligen dos personas al azar de forma independiente.

1. a) Calcula la probabilidad de que al menos una de las dos personas instale paneles solares.
2. b) Sabiendo que solo una de las dos personas ha instalado paneles solares, ¿cuál es la probabilidad de que dicha persona pertenezca al grupo de los proactivos?

Un test de diagnóstico para una enfermedad rara (que afecta al $0,5\%$ de la población) arroja un $2\%$ de falsos positivos (personas sanas a las que el test da positivo) y un $1\%$ de falsos negativos (personas enfermas a las que el test da negativo).

1. a) Si una persona se somete a la prueba y da positivo, y acto seguido se somete a una segunda prueba idéntica e independiente que también da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté enferma?
2. b) Comenta el resultado obtenido comparándolo con la probabilidad tras un único test positivo.

Un liceo organiza el comedor en tres turnos. El $20\%$ del alumnado come en el primer turno, el $50\%$ en el segundo y el $30\%$ en el tercero. La puntualidad al volver a clase depende del turno: del primer turno llega tarde un $10\%$, del segundo un $5\%$ y del tercero un $x\%$. Sabiendo que la probabilidad de que un alumno elegido al azar llegue puntual a clase es de $0,923$:

1. a) Determiná el valor de $x$ (porcentaje de alumnos que llegan tarde del tercer turno).
2. b) Si un alumno llegó tarde a clase, ¿de qué turno es más probable que proceda?

En un torneo de videojuegos, un jugador debe superar dos fases. La probabilidad de superar la primera fase es $0,7$. Si supera la primera, la probabilidad de superar la segunda es $0,5$. Si no supera la primera, se le da una oportunidad de "repesca" que supera con probabilidad $0,3$. Si supera la repesca, entra en la segunda fase, pero con una probabilidad de éxito de solo $0,2$ debido al cansancio acumulado.

1. a) Calcula la probabilidad de que el jugador supere finalmente el torneo (superar la segunda fase).
2. b) Si el jugador ha superado el torneo, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya conseguido sin necesidad de pasar por la repesca?