Determinantes de orden 2
Sofía arma una tabla con los precios de dos productos en dos almacenes y quiere saber si con esos datos se puede "deshacer" una combinación y recuperar los valores originales. Resulta que a cada matriz cuadrada se le asocia un número que responde justamente eso: si tiene inversa o no. Para matrices $2\times2$ ese número se calcula con una cuenta muy sencilla.
El determinante de una matriz 2×2
El producto de la diagonal principal (línea continua) se suma; el de la diagonal secundaria (discontinua) se resta. Se escribe $|A|$ o $\det A$, y la matriz se dibuja entre barras verticales en vez de paréntesis.
Calcula el valor de los siguientes determinantes de orden 2, prestando especial atención al uso de los signos negativos: a)…
Calcula el valor de los siguientes determinantes de orden 2, prestando especial atención al uso de los signos negativos:
- a) $\begin{vmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$
- b) $\begin{vmatrix} -1 & -6 \\ 0 & 7 \end{vmatrix}$
- c) $\begin{vmatrix} 10 & 15 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}$
Halla el valor del determinante de la matriz $A$ cuando esta contiene fracciones simples. Este tipo de cálculos es común al trabajar con coeficientes de reparto en…
Halla el valor del determinante de la matriz $A$ cuando esta contiene fracciones simples. Este tipo de cálculos es común al trabajar con coeficientes de reparto en problemas de economía:
$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 4 \\ \frac{1}{4} & 6 \end{pmatrix}$
Determinantes con una incógnita
El determinante también puede contener letras. Si igualás el resultado a un valor dado, obtenés una ecuación (de primer o segundo grado, o con otras funciones) que resolvés como siempre.
Determina el valor de la incógnita $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad, donde el resultado del determinante es un valor entero conocido:…
Determina el valor de la incógnita $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad, donde el resultado del determinante es un valor entero conocido:
$\begin{vmatrix} x & 5 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} = 14$
Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} x+1 & 2 \\ x & x-1 \end{pmatrix}$. Determina los valores reales de $x$ para los cuales el determinante de la matriz es igual…
Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} x+1 & 2 \\ x & x-1 \end{pmatrix}$. Determina los valores reales de $x$ para los cuales el determinante de la matriz es igual a $6$.
Demuestra, sin calcular el valor numérico final, que el siguiente determinante es nulo para cualquier valor del ángulo $\alpha$, utilizando las identidades…
Demuestra, sin calcular el valor numérico final, que el siguiente determinante es nulo para cualquier valor del ángulo $\alpha$, utilizando las identidades trigonométricas básicas:
$$\begin{vmatrix} \sin^2 \alpha & \cos^2 \alpha \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 1$$Resuelve la siguiente ecuación donde intervienen determinantes de orden 2: $$\begin{vmatrix} x & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & x \\ 2 & x \end{vmatrix}…
Resuelve la siguiente ecuación donde intervienen determinantes de orden 2:
$$\begin{vmatrix} x & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & x \\ 2 & x \end{vmatrix} = 5$$En un estudio de mercado sobre la elasticidad de dos productos competitivos, se ha obtenido una matriz de coeficientes $M$ que depende de una variable de inversión $x$:…
En un estudio de mercado sobre la elasticidad de dos productos competitivos, se ha obtenido una matriz de coeficientes $M$ que depende de una variable de inversión $x$:
$$M = \begin{pmatrix} \log_{2}(x) & 1 \\ 4 & \log_{2}(x) \end{pmatrix}$$Determina para qué valores de la inversión $x$ el determinante de la matriz es nulo, lo que indicaría un punto crítico de inestabilidad en el modelo. Recuerda que, por la naturaleza del estudio, $x$ debe ser un número real positivo.
Matriz invertible y matriz singular
Si el determinante no es $0$, las dos filas de $A$ generan un paralelogramo con área. Si es $0$, las filas son proporcionales y el paralelogramo se "aplasta" en una recta, sin área. Por eso una matriz singular no tiene inversa: no hay forma de "deshacer" una transformación que aplasta el plano en una recta.
Dada la matriz dependiente del parámetro real $m$: $$A(m) = \begin{pmatrix} m^2 - 9 & m + 3 \\ m - 3 & 2 \end{pmatrix}$$ a) Calcula el valor de su determinante en…
Dada la matriz dependiente del parámetro real $m$:
$$A(m) = \begin{pmatrix} m^2 - 9 & m + 3 \\ m - 3 & 2 \end{pmatrix}$$- a) Calcula el valor de su determinante en función de $m$.
- b) Determina todos los valores de $m$ para los cuales la matriz no tiene inversa (matriz singular).
- c) Si $m = 0$, calcula el determinante de la matriz inversa $A^{-1}$ utilizando las propiedades de los determinantes, sin hallar la matriz inversa explícitamente.
En un sistema de cifrado matricial, se utiliza una matriz clave $K$ de orden 2. Para que el sistema sea seguro y permita el descifrado, la matriz $K$ debe ser…
En un sistema de cifrado matricial, se utiliza una matriz clave $K$ de orden 2. Para que el sistema sea seguro y permita el descifrado, la matriz $K$ debe ser inversible. Se propone la siguiente matriz:
$$K = \begin{pmatrix} k-2 & -3 \\ -2 & k \end{pmatrix}$$- a) Calcula los valores de $k$ que hacen que el sistema sea inseguro (es decir, que $K$ no tenga inversa).
- b) Si se sabe que el determinante de la matriz clave debe ser igual a $10$ para cumplir con un estándar de seguridad específico, calcula los posibles valores de $k$.
El determinante como área de un paralelogramo
Esto explica el caso singular: si $|A| = 0$, el área es cero y los vectores quedan alineados. Y si la matriz de una transformación tiene $|A| = 1$, como en $\begin{pmatrix} \operatorname{sen} x & \cos x \\ -\cos x & \operatorname{sen} x \end{pmatrix}$, las figuras transformadas conservan su área.
Un determinante de orden 2 puede representar el área de un paralelogramo definido por dos vectores en el plano. Calcula el valor absoluto del determinante formado por…
Un determinante de orden 2 puede representar el área de un paralelogramo definido por dos vectores en el plano. Calcula el valor absoluto del determinante formado por los vectores $\vec{u} = (4, 1)$ y $\vec{v} = (2, 5)$ para hallar dicha área:
$Área = \left| \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \right|$
En el diseño de un logotipo para una nueva startup* tecnológica, un diseñador utiliza un paralelogramo definido por los vectores $\vec{u} = (a, 1)$ y $\vec{v} = (2, a)$.…
En el diseño de un logotipo para una nueva startup tecnológica, un diseñador utiliza un paralelogramo definido por los vectores $\vec{u} = (a, 1)$ y $\vec{v} = (2, a)$. Se sabe que el área de dicho paralelogramo viene dada por el valor absoluto del determinante de la matriz formada por ambos vectores.
Calcula el valor del parámetro $a$ para que el área del logotipo sea de $3$ unidades cuadradas.
Un diseñador gráfico está trabajando con un software de edición vectorial. Para transformar una figura en el plano, el programa utiliza matrices de transformación de…
Un diseñador gráfico está trabajando con un software de edición vectorial. Para transformar una figura en el plano, el programa utiliza matrices de transformación de orden 2. La matriz de deformación viene dada por:
$$A = \begin{pmatrix} \sin(x) & \cos(x) \\ -\cos(x) & \sin(x) \end{pmatrix}$$Demuestra, utilizando identidades trigonométricas, que el determinante de esta matriz es constante e independiente del valor del ángulo $x$. ¿Qué interpretación geométrica tiene el hecho de que $|A| = 1$ en términos del área de la figura transformada?
Volviendo al principio: la matriz de Sofía se puede "deshacer" justamente cuando su determinante es distinto de cero.