Teorema de Bayes

Para llegar al centro, un estudiante puede ir en ómnibus ($80\,\%$ de las veces) o en bicicleta ($20\,\%$). Cuando va en ómnibus, llega tarde el $10\,\%$ de los días debido al tránsito. Cuando va en bicicleta, solo llega tarde el $5\,\%$ de las veces. Si un día el estudiante llega tarde a clase, calculá la probabilidad de que haya ido en ómnibus.

Una marca de championes fabrica sus modelos en dos fábricas diferentes: el $70\,\%$ en la fábrica $A$ y el $30\,\%$ en la fábrica $B$. El control de calidad detectó que el $2\,\%$ de los championes de la fábrica $A$ tienen algún defecto de costura, mientras que en la fábrica $B$ los defectos aparecen en el $5\,\%$ de la producción. Un cliente compra unos championes y descubre que tienen un defecto de costura. Calculá la probabilidad de que hayan sido fabricados en la fábrica $B$.

En un liceo, el $40\,\%$ de los alumnos de 2.° de bachillerato son de la opción de Ciencias y el $60\,\%$ de Ciencias Sociales. Se ha observado que salva Inglés el $85\,\%$ de los alumnos de Ciencias y el $90\,\%$ de los de Ciencias Sociales. Si elegimos un alumno al azar que sabemos que salvó Inglés, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la opción de Ciencias?

Un filtro de correo electrónico clasifica automáticamente los mensajes como spam. El filtro marca correctamente como spam el $98\,\%$ de los correos que realmente lo son. Sin embargo, también envía a la carpeta de spam el $4\,\%$ de los correos legítimos. Se estima que el $10\,\%$ del correo que llega a un buzón es spam. Si un correo elegido al azar ha sido marcado como spam, calcula la probabilidad de que realmente lo sea.

En un centro de salud se está realizando un estudio sobre la eficacia de un test de diagnóstico para una alergia alimentaria que afecta al $8\,\%$ de la población juvenil. Los datos clínicos indican que, si una persona padece la alergia, el test da positivo en el $95\,\%$ de los casos. Por otro lado, si la persona no padece la alergia, el test da un "falso positivo" (resultado positivo sin estar enfermo) en el $4\,\%$ de las ocasiones. Si se elige a un joven al azar y su resultado en el test es positivo, calcula la probabilidad de que realmente padezca dicha alergia.

En una ciudad, el $70\,\%$ de los ciudadanos utiliza una aplicación del celular para pagar el transporte público, mientras que el resto usa tarjeta física. Se observa que el $15\,\%$ de los que usan la aplicación tienen problemas de lectura en el validador, frente al $5\,\%$ de los que usan tarjeta física. Si un validador emite una señal de error de lectura, ¿cuál es la probabilidad de que el usuario esté intentando pagar con la aplicación del celular?

Un fabricante de componentes electrónicos para smartphones tiene tres líneas de producción: A, B y C. La línea A produce el $45\,\%$ de los componentes, la B el $30\,\%$ y la C el $25\,\%$. Se sabe que la probabilidad de que un componente sea defectuoso es del $1\,\%$ en la línea A, del $2\,\%$ en la línea B y del $3\,\%$ en la línea C. Si se selecciona un componente al azar y resulta ser defectuoso, determina razonadamente qué línea de producción es más probable que lo haya fabricado.

Una empresa de logística de última milla distribuye paquetes en una ciudad utilizando tres tipos de vehículos: furgonetas eléctricas ($60\,\%$), motocicletas ($30\,\%$) y bicicletas de carga ($10\,\%$). La probabilidad de que un paquete llegue con retraso es del $2\,\%$ si se entrega en furgoneta, del $5\,\%$ si es en motocicleta y del $8\,\%$ si es en bicicleta. Si un cliente llama para quejarse porque su paquete ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que el repartidor fuera en bicicleta de carga?

El algoritmo de una red social clasifica el contenido en tres categorías: "Viral" ($15\%$), "Tendencia" ($35\%$) y "Estándar" ($50\%$). La probabilidad de que un usuario detenga su scroll y vea un video completo es del $80\%$ si es Viral, del $40\%$ si es Tendencia y de tan solo el $10\%$ si es Estándar. Si observamos que un usuario acaba de terminar de ver un video por completo, ¿cuál es la probabilidad de que el algoritmo no lo hubiera clasificado originalmente como Viral?

Una empresa de mensajería utiliza furgonetas eléctricas ($60\%$) y de combustión ($40\%$). Se ha observado que el $5\%$ de los trayectos realizados por furgonetas eléctricas sufren retrasos debido a la necesidad de recarga intermedia, mientras que el retraso en las de combustión ocurre en el $8\%$ de los casos por problemas de tráfico. Sabiendo que un paquete ha llegado con retraso, determina la probabilidad de que haya sido transportado por una furgoneta eléctrica.

Una factoría tiene dos máquinas, $M_1$ y $M_2$, que producen la misma pieza. $M_1$ produce el triple de piezas que $M_2$. El porcentaje de piezas defectuosas de $M_1$ es del $k\%$ y el de $M_2$ es del $4\%$. Se sabe que si se elige una pieza al azar y resulta ser defectuosa, la probabilidad de que proceda de la máquina $M_2$ es de $4/13$. Calcula el valor de $k$ y, a continuación, la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa.

Una red social utiliza un algoritmo de inteligencia artificial para detectar comentarios de odio. Se sabe que el $5\,\%$ de los comentarios publicados son realmente inapropiados. El algoritmo identifica correctamente como "inapropiado" el $98\,\%$ de los comentarios que realmente lo son. Sin embargo, etiqueta erróneamente como "inapropiado" el $3\,\%$ de los comentarios que son respetuosos. Si el sistema acaba de bloquear un comentario por marcarlo como "inapropiado", ¿cuál es la probabilidad de que el comentario fuera realmente respetuoso?

Una fábrica de piezas de precisión utiliza una máquina de visión artificial para controlar la calidad de su producción. Se sabe que solo el $0,5\%$ de las piezas fabricadas presenta algún defecto. La máquina detecta correctamente el $96\%$ de las piezas defectuosas, pero también marca erróneamente como defectuosa el $2\%$ de las piezas correctas. Si la máquina acaba de marcar una pieza como defectuosa, calcula la probabilidad de que la pieza esté realmente en perfecto estado.

Una multinacional tecnológica utiliza tres proveedores distintos para los microchips de sus nuevas laptops para gaming. El proveedor $A$ suministra el $45\%$ de los chips, el proveedor $B$ el $35\%$, y el resto procede del proveedor $C$. Se sabe por controles de calidad previos que el $1\%$ de los chips de $A$ son defectuosos, mientras que para $B$ y $C$ estos porcentajes son del $2\%$ y el $3\%$, respectivamente. Un usuario compra una laptop y, al mes de uso, sufre una falla crítica debido al microchip. Calculá la probabilidad de que el chip defectuoso haya sido suministrado por el proveedor $B$.