Método de Laplace

Dada la siguiente matriz $A$ de orden $3 \times 3$, identifica y calcula exclusivamente el menor complementario del elemento $a_{21}$ (el número $4$) y su correspondiente adjunto $A_{21}$, prestando especial atención al signo.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 4 & 0 & 5 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

En la figura se resaltan la fila y la columna a las que pertenece el elemento $a_{21}$.

Para entender el Método de Laplace, es vital conocer la "Regla del tablero de ajedrez" para los signos de los adjuntos. Completa la matriz de signos para una matriz de orden $4 \times 4$ y determina qué signo le corresponde al adjunto del elemento $a_{32}$.

Dada la matriz $A$, calcula su matriz de adjuntos $Adj(A)$ y utiliza esos valores para calcular el determinante de $A$ mediante el Método de Laplace, eligiendo la fila que prefieras:

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Nota: Recuerda que $|A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + a_{i3}A_{i3}$ para cualquier fila $i$.

Un analista de marketing estudia la interacción entre tres redes sociales en una campaña publicitaria. La matriz de impacto es la siguiente:

$$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 2 \end{pmatrix}$$

Calcula el determinante de $M$ desarrollando por la primera columna.

Calcula el valor del determinante de la matriz $B$ desarrollando por la segunda fila. Explica por qué elegir esta línea facilita el cálculo en comparación con la primera fila.

$$|B| = \begin{vmatrix} 5 & 7 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix}$$

Dada la matriz $M$, calcula su determinante desarrollando por la segunda fila. Posteriormente, comprueba si el resultado coincide desarrollando por la tercera columna:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

Utiliza este ejercicio para verificar que el valor del determinante es independiente de la línea elegida para el desarrollo por adjuntos.

Calcula el determinante de la siguiente matriz de orden 4. Aunque parezca compleja por su tamaño, utiliza el Método de Laplace seleccionando la fila o columna que contenga más ceros para simplificar el proceso.

$$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ 4 & 3 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$

Calcula el valor del siguiente determinante de orden 4 utilizando el desarrollo por los elementos de la fila o columna que consideres más apropiada (Método de Laplace):

$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 4 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 0 & -2 \end{vmatrix}$

En un modelo económico de intercambio, se presenta la siguiente matriz de coeficientes. Calcula su determinante empleando de forma combinada la regla de Sarrus para los menores resultantes y el desarrollo de Laplace por la columna que más ceros contenga:

$|C| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$

Un analista de datos procesa una matriz de adyacencia de una red social. Para verificar la estabilidad de la red, necesita calcular el determinante de la matriz $B$. Aplica primero propiedades de los determinantes para hacer el máximo número de ceros en la primera columna y luego desarrolla por Laplace:

$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 1 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

Un algoritmo de encriptación utiliza matrices cuadradas de orden 4. Para desencriptar un mensaje, es vital que el determinante de la matriz clave $K$ no sea nulo.

Utiliza el Método de Laplace para calcular el determinante de $K$. Nota: Antes de desarrollar por adjuntos, utiliza las propiedades de los determinantes para conseguir que todos los elementos de la cuarta columna, excepto uno, sean cero.

$$K = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

En el análisis de una cartera de inversión indexada, se utiliza una matriz de coeficientes de correlación parcial. Para determinar si la matriz es invertible (y por tanto la cartera es diversificable), se debe calcular su determinante.

Halla el valor del determinante de la siguiente matriz utilizando el desarrollo por los elementos de una fila o columna (Método de Laplace), buscando previamente la combinación lineal de filas o columnas que genere el máximo número de ceros en la tercera fila:

$$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \end{pmatrix}$$

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante es $|A| = 5$. Considera la matriz $B$ de orden 4 definida de la siguiente forma:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

Donde los elementos $a_{ij}$ corresponden a los elementos de la matriz original $A$.

1. Justifica razonadamente, aplicando el desarrollo de Laplace por la línea más adecuada, cuál es el valor del determinante de $B$.

2. Si multiplicamos la primera fila de $B$ por $3$ y le sumamos la segunda fila multiplicada por $2$, ¿cómo afecta esto al valor del determinante calculado anteriormente?

Dada la matriz $A = (a_{ij})$ de orden $3 \times 3$ tal que su determinante es $|A| = k$. Se construye una nueva matriz $H$ de orden 4 introduciendo una fila de "control" en la parte superior y una columna de "identidad" a la izquierda:

$$H = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

1. Demuestra, desarrollando por la primera columna mediante Laplace, que $|H| = |A|$.

2. Si los elementos de la matriz $A$ son tales que $a_{ij} = i + j$, calcula el valor exacto de $|H|$ aplicando Laplace sobre la fila o columna que consideres más ventajosa.

Halla el valor del parámetro $k$ para que el determinante de la siguiente matriz sea igual a cero, utilizando el desarrollo por los elementos de la tercera fila.

$$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 5 \\ 1 & k & 0 \end{pmatrix}$$

Halla los valores del parámetro $k$ para los que el determinante de la siguiente matriz es nulo, utilizando el desarrollo por adjuntos de la primera fila:

$A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 0 & 2 & k \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

Sea la matriz $A$ de orden 4 definida por:

$A = \begin{pmatrix} x & 1 & 0 & 0 \ 1 & x & 1 & 0 \ 0 & 1 & x & 1 \ 0 & 0 & 1 & x \end{pmatrix}$

Determina los valores de $x$ para los que la matriz $A$ tiene inversa.