Teorema de Rouché-Frobenius

Dado el siguiente sistema de ecuaciones ya escalonado tras aplicar el método de Gauss:

$\begin{cases} x - y + 3z = 5 \\ \quad \quad 2y + z = 1 \\ \quad \quad \quad \quad 0z = 0 \end{cases}$

Determina, sin resolverlo, el valor de $rg(A)$ y $rg(A^*)$. ¿Es el sistema compatible determinado o indeterminado? Justifica tu respuesta según el número de incógnitas.

Dos empresas de mensajería analizan sus rutas en un mapa. Sus trayectorias vienen definidas por las siguientes ecuaciones en un sistema de dos dimensiones:

$\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{cases}$

A partir de la representación gráfica mostrada, indica el rango de la matriz de coeficientes $A$ y de la matriz ampliada $A^*$, y clasifica el sistema utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius.

Un analista financiero utiliza un modelo de tres variables (ahorros, inversión y deuda). Tras calcular los rangos de las matrices asociadas al sistema, obtiene que:

• $rg(A) = 2$

• $rg(A^*) = 3$

Explica razonadamente, basándote en el Teorema de Rouché-Frobenius, si el analista podrá encontrar una combinación de valores que satisfaga todas las condiciones del modelo.

Considera un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Cada ecuación representa un plano en el espacio (tres dimensiones). Llamamos $A$ a la matriz de coeficientes y $A^*$ a la matriz ampliada.

Relaciona cada una de las siguientes situaciones de rangos con su interpretación geométrica:

1. $rg(A) = rg(A^*) = 3$

2. $rg(A) = rg(A^*) = 2$

3. $rg(A) = 2$ y $rg(A^*) = 3$

Opciones de geometría:

A) Los tres planos tienen en común una recta (todos la contienen).

B) Los tres planos se cortan en un único punto.

C) Los tres planos no tienen ningún punto en común (por ejemplo, se cortan dos a dos formando un «prisma», o hay planos paralelos).

Escribe la pareja de cada número con su letra y justifica brevemente cada elección usando el teorema de Rouché-Frobenius.

Considera un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas. Sabemos que el determinante de su matriz de coeficientes es $|A| = 0$.

1. a) ¿Cuál es el valor de $rg(A^*)$ comparado con $rg(A)$ en cualquier sistema homogéneo?
2. b) Según el Teorema de Rouché-Frobenius, ¿puede este sistema ser incompatible? Explica por qué.

En una tienda de videojuegos, el precio de tres productos $x$, $y$, $z$ se rige por el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} x + y + z = 60 \\ 2x - y + z = 20 \\ 3x + 2z = 80 \end{cases}$

Observa la relación entre las filas de la matriz ampliada. Si la tercera ecuación es la suma de las dos primeras, ¿cuál es el rango máximo que puede tener la matriz de coeficientes? Clasifica el sistema.

Dadas las matrices de un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $x$ e $y$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{pmatrix} \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & k & 2 \end{pmatrix}$

Determina para qué valor de $k$ el rango de la matriz $A$ es igual a 1. Para ese valor de $k$, ¿qué ocurre con el rango de $A^*$? Clasifica el sistema resultante.

Indica si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas justificando brevemente tu respuesta mediante el Teorema de Rouché-Frobenius:

1. a) Si un sistema tiene más ecuaciones que incógnitas, siempre es incompatible.
2. b) Un sistema compatible determinado siempre cumple que $|A| \neq 0$ (siendo $A$ la matriz de coeficientes cuadrada).
3. c) Si $rg(A) = rg(A^*)$, el sistema siempre tiene solución.

Una empresa de mensajería utiliza tres tipos de vehículos: furgonetas, camiones livianos y camiones pesados. El número total de vehículos es 25. Se sabe que el número de furgonetas es el doble que el de camiones pesados y que, debido a una restricción presupuestaria, el costo de mantenimiento mensual sigue esta relación: $x + my + z = 100$, donde $x, y, z$ son las unidades de cada vehículo y $m$ es un factor de costo variable.

1. a) Escribí el sistema de ecuaciones que representa la situación.
2. b) Discutí para qué valores de $m$ el sistema tiene una solución única (es decir, cuándo podemos saber exactamente cuántos vehículos de cada tipo hay).

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ 3x + y + 2z = 5 \\ x - y + z = 1 \end{cases}$

¿Es posible eliminar una de las ecuaciones sin que cambie la solución del sistema? Justifica tu respuesta comparando los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

Un inversor reparte $400\,000$ pesos entre tres productos financieros $A$, $B$ y $C$. La rentabilidad del producto $A$ es del $5\%$, la de $B$ es del $10\%$ y la de $C$ es del $2\%$. Al final del año, el beneficio total es de $28\,000$ pesos.

1. a) Demuestra, usando el Teorema de Rouché-Frobenius, que el sistema planteado es compatible indeterminado.
2. b) Si el inversor decide que la cantidad invertida en $A$ sea igual a la suma de las cantidades en $B$ y $C$, ¿pasa el sistema a ser compatible determinado? Explica por qué basándote en los rangos.

Una empresa de armado de computadoras de alto rendimiento ofrece tres configuraciones de refrigeración líquida: Basic, Pro y Extreme.

• El modelo Basic utiliza 2 ventiladores, 1 bomba y 3 racores.

• El modelo Pro utiliza 4 ventiladores, 2 bombas y 8 racores.

• El modelo Extreme utiliza 6 ventiladores, 3 bombas y $m$ racores.

Se sabe que el taller dispone hoy de un stock de 20 ventiladores y 10 bombas.

1. a) Planteá un sistema de ecuaciones que relacione la cantidad de equipos de cada tipo que se pueden armar ($x, y, z$) consumiendo exactamente el stock de ventiladores y bombas.
2. b) Utilizá el Teorema de Rouché-Frobenius para determinar para qué valor de $m$ el sistema es compatible indeterminado.
3. c) Si se fija $m$ para que el sistema sea compatible indeterminado, ¿es posible armar algún equipo del modelo Extreme si se quieren usar exactamente 42 racores? Justificá tu respuesta.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$

Utiliza el Teorema de Rouché-Frobenius para discutir la compatibilidad del sistema según los diferentes valores de $k$. No es necesario resolverlo.

Dado el sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} x - 2y + z = 3 \\ 2x + y - 2z = 1 \\ 3x - y - z = a \end{cases}$

Determina, aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius, el valor del parámetro $a$ para que el sistema sea compatible indeterminado. Interpreta este resultado en términos de la posición relativa de los tres planos que representan las ecuaciones.

Determina el valor de $m$ para que el siguiente sistema sea incompatible:

$\begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ x + 2y + z = 2 \\ x - y + mz = 0 \end{cases}$

Explica el significado de "sistema incompatible" en este contexto utilizando el concepto de rango.

Sea el sistema:

$\begin{cases} x + y + z = a \\ x + ay + z = 1 \\ ax + y + z = 1 \end{cases}$

1. a) Discute el sistema según los valores de $a$.
2. b) En los casos en los que el sistema sea compatible, indica si la solución será única o si habrá infinitas soluciones según el número de incógnitas y el rango alcanzado.

Determina los valores de los parámetros reales $k$ y $t$ para que el siguiente sistema sea Compatible Indeterminado con dos grados de libertad (es decir, que la solución dependa de dos parámetros):

$$\begin{cases} x - 2y + z = t \\ 2x - 4y + 2z = 4 \\ -x + 2y - z = k \end{cases}$$

Explica razonadamente la relación entre los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada en este caso.

Analiza la compatibilidad del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas en función del parámetro $m$:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ mx + 10y + 4z = 11 \\ x - y + 2z = 3 \end{cases}$$

¿Existe algún valor de $m$ para el que el sistema tenga infinitas soluciones? ¿Y para que sea incompatible? Argumenta tu respuesta basándote en el rango de las matrices.

Considera los tres planos en el espacio cuyas ecuaciones son:

$\pi_1: kx + y + z = 1$

$\pi_2: x + ky + z = 1$

$\pi_3: x + y + kz = 1$

Estudia su posición relativa según los valores de $k$.

Un inversor reparte 4.000.000 pesos entre tres tipos de productos financieros: bonos del Estado al 3%, acciones tecnológicas al 5% y criptoactivos al 10%.

Al finalizar el año, las ganancias totales fueron de 240.000 pesos. El inversor observa que si hubiera invertido en bonos la mitad de lo que invirtió en acciones, y en criptoactivos el triple de lo que invirtió en bonos, sus ganancias totales habrían sido de $B$ pesos.

1. a) Planteá el sistema de ecuaciones asociado al problema (llamando $x, y, z$ a las cantidades invertidas en cada producto).
2. b) Discutí la compatibilidad del sistema según el valor de $B$.
3. c) Determiná el valor de $B$ que hace que el sistema sea Compatible Indeterminado y explicá qué significa esta situación para el inversor.

Se considera la matriz de coeficientes $A$ y la matriz de términos independientes $B$ de un sistema de ecuaciones:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & k \\ -1 & m & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

1. a) Determina los valores de $m$ y $k$ para que el rango de la matriz $A$ sea 2.
2. b) Para los valores hallados en a), utiliza el Teorema de Rouché-Frobenius para discutir si el sistema $A \cdot X = B$ es compatible o incompatible.
3. c) En caso de ser incompatible, ¿qué cambio mínimo realizarías en la matriz $B$ para que el sistema pasara a ser compatible indeterminado? Justifica tu respuesta.