Sistemas de ecuaciones con dos y tres incógnitas. Clasificación

Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones de dos incógnitas según el número de soluciones que presentan (Sistema Compatible Determinado, Sistema Compatible Indeterminado o Sistema Incompatible) tras intentar resolverlos por el método que prefieras:

1. a) $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x + 6y = 15 \end{cases}$

1. b) $\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x + y = 7 \end{cases}$

1. c) $\begin{cases} 3x + y = 5 \\ 6x + 2y = 10 \end{cases}$

En una tienda de periféricos gaming, tres amigos compran diferentes productos.

• Marcos compra 2 ratones y 1 teclado por $2\,200$ pesos.

• Julia compra 1 ratón y 2 teclados por $2\,600$ pesos.

Plantea un sistema de ecuaciones lineales para determinar el precio de cada artículo y clasifícalo según el número de soluciones que esperas obtener.

Comprueba si la terna $(x, y, z) = (1, 2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} 3x - y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = 9 \end{cases}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de tres incógnitas que ya se encuentra en forma escalonada:

$\begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ \quad \quad 3y + 2z = 7 \\ \quad \quad \quad \quad 4z = 8 \end{cases}$

Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Observa el esquema y describe qué tipo de sistema (SCD, SCI o SI) representaría la intersección de dos planos que son paralelos entre sí.

Expresa el siguiente sistema de ecuaciones lineales en su forma matricial $A \times X = B$, identificando claramente la matriz de coeficientes $A$, la matriz de incógnitas $X$ y la matriz de términos independientes $B$:

$\begin{cases} x - 2y + 3z = 0 \\ 2x + y - z = 4 \\ 3x - y + 2z = -1 \end{cases}$

Un equipo de E-sports ha ganado un premio de 240,000 pesos que se debe repartir entre sus tres integrantes: el capitán (A), el estratega (B) y el francotirador (C). Se sabe que:

• La suma de lo que reciben B y C es igual a lo que recibe A.

• Si el estratega (B) recibiera 20,000 pesos más, tendría exactamente lo mismo que el francotirador (C).

1. a) Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para determinar cuánto recibe cada uno.
2. b) Clasifica el sistema y resuélvelo.

Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el número de soluciones, utilizando el método de Gauss:

$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \\ 5x + 5y - 2z = 10 \end{cases}$

En caso de que sea compatible, halla su solución o soluciones. Si es indeterminado, escribe la solución en forma paramétrica.

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + z = 5 \\ 3x + y + 2z = 11 \end{cases}$

Si el sistema es compatible, encuentra la solución única. En caso contrario, indica qué ecuación es la que genera la incompatibilidad.

Dos drones de vigilancia, $D_1$ y $D_2$, se desplazan por un plano siguiendo trayectorias rectilíneas dadas por las siguientes ecuaciones:

Drone 1: $2x - 3y = 5$

Drone 2: $x + ky = 2$

Se pide:

1. a) Determina el valor del parámetro $k$ para que los drones choquen en un punto (el sistema sea compatible determinado).

1. b) ¿Existe algún valor de $k$ para el que los drones sigan trayectorias paralelas pero nunca se encuentren? Justifica tu respuesta usando rangos.

1. c) Representa gráficamente la situación si $k = -1.5$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Sin realizar cálculos complejos, razona por qué el siguiente sistema homogéneo es Compatible Indeterminado analizando la relación entre sus ecuaciones:

$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \\ 3x - y + 2z = 0 \end{cases}$

Se considera el sistema homogéneo dependiente del parámetro $a$:

$\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$

1. a) Clasifica el sistema según los valores de $a$.
2. b) Determina para qué valores de $a$ el sistema admite soluciones distintas de la trivial ($x=0, y=0, z=0$).
3. c) Resuelve el sistema para $a = -2$.

Sea el sistema homogéneo dependiente del parámetro $m$:

$$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x + my + z = 0 \\ mx + my + 2z = 0 \end{cases}$$

1. a) Determina el valor de $m$ para el cual el sistema admite soluciones distintas de la trivial.
2. b) Para dicho valor de $m$, halla la solución general y da una solución particular distinta de la trivial.