Dependencia e independencia lineal. Bases de R³

Dos drones de vigilancia se desplazan por el espacio siguiendo trayectorias rectilíneas definidas por los vectores $\vec{u} = (2, -4, 6)$ y $\vec{v} = (-1, 2, -3)$. Determina si los drones se mueven en direcciones paralelas analizando la dependencia lineal de sus vectores directores.

Un sistema de sensores láser requiere que dos haces de luz sean paralelos. El primer haz sigue la dirección del vector $\vec{d_1} = (3, k, -1)$ y el segundo la del vector $\vec{d_2} = (6, -4, -2)$. Halla el valor del parámetro $k$ para que los vectores sean linealmente dependientes y, por tanto, los haces sean paralelos.

Se consideran los puntos del espacio $A(1, 2, -1)$, $B(2, 3, 1)$ y $C(3, 4, 3)$.

1. a) Halla los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.
2. b) A partir de sus componentes, decide si los puntos $A, B$ y $C$ están alineados.

Dados los vectores $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (2, 0, 1)$ y $\vec{w} = (3, 2, 4)$, demuestra sin realizar cálculos complejos (observando la relación entre sus componentes) que el conjunto $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ es linealmente dependiente.

Comprueba si los vectores $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$, $\vec{e_2} = (1, 1, 0)$ y $\vec{e_3} = (1, 1, 1)$ pueden formar una base de $\mathbb{R}^3$. Para ello, justifica si son linealmente independientes utilizando el determinante de la matriz que forman.

Razona la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: "En el espacio tridimensional $\mathbb{R}^3$, cualquier conjunto formado por cuatro vectores no nulos es siempre linealmente dependiente". Pon un ejemplo sencillo para apoyar tu respuesta.

Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores $S = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ según los valores del parámetro $m \in \mathbb{R}$, siendo $\vec{a} = (m, 1, 1)$, $\vec{b} = (1, m, 1)$ y $\vec{c} = (1, 1, m)$.

En un motor gráfico de un videojuego, la posición de un objeto se define mediante la combinación lineal de dos vectores básicos: $\vec{a} = (1, 0, 2)$ y $\vec{b} = (0, -1, 3)$. Calcula las coordenadas del vector resultante $\vec{w}$ si se aplica la siguiente operación:

Si un vector $\vec{v}$ tiene de coordenadas $(3, -2, 5)$ respecto a la base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, exprésalo como una combinación lineal de dichos vectores unitarios.

Dados los vectores $\vec{u} = (1, 2, -1)$ y $\vec{v} = (0, 1, 2)$, determina el valor del parámetro real $k$ para que el vector $\vec{w} = (2, k, 0)$ sea combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$. ¿Qué relación geométrica guardan los tres vectores para ese valor de $k$?

Considera los puntos del espacio $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 1)$ y $C(2, 0, m)$.

1. a) Halla el vector $\vec{AB}$ y el vector $\vec{AC}$.
2. b) Determina el valor de $m$ para que el vector $\vec{v} = (3, -3, -3)$ sea linealmente dependiente de $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.
3. c) Para el valor de $m$ hallado, escribe $\vec{v}$ como combinación lineal de $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.

Dados los vectores de la base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, se definen los vectores:

Justifica si el conjunto $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ es una base de $\mathbb{R}^3$. Si un vector $\vec{x}$ tiene coordenadas $(1, 2, 3)$ en la base canónica, ¿cuáles serán sus coordenadas en la base $B' = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$?

Dados los vectores del espacio $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (0, 1, 2)$ y $\vec{c} = (k, 1, -3)$, se pide:

1. a) Hallar el valor de $k$ para que el vector $\vec{v} = (3, 4, -7)$ se pueda expresar como combinación lineal de $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$ de forma que los tres vectores sean linealmente dependientes.

1. b) Si $k = 2$, ¿forman una base de $\mathbb{R}^3$? En caso afirmativo, calcula las coordenadas del vector $\vec{w} = (1, 1, 1)$ respecto a dicha base $B = \{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}$.

Un dron de vigilancia se desplaza siguiendo trayectorias rectilíneas definidas por vectores. Si los vectores de dirección de tres drones son $\vec{d_1} = (1, 3, a)$, $\vec{d_2} = (4, 1, 2)$ y $\vec{d_3} = (a, -1, 0)$, calcula los valores de $a$ para los cuales las trayectorias de los tres drones estarían contenidas en planos paralelos entre sí (es decir, los vectores son coplanarios).

Determina si los puntos $P(1, 2, -1)$, $Q(3, 1, 1)$, $R(0, 5, -2)$ y $S(k, 0, 4)$ son coplanarios en función del valor de $k$. Para realizar este análisis, utiliza la dependencia lineal de los vectores con origen en $P$ y extremos en los demás puntos.

Considera los puntos $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$ y $C(2, 1, 0)$.

1. a) Halla un punto $D$ de modo que el vector $\vec{AD}$ sea linealmente dependiente del vector $\vec{BC}$ y tenga módulo 6. ¿Es la solución única?

1. b) Determina si el punto $E(5, -1, 4)$ pertenece al plano definido por los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Justifica tu respuesta utilizando el concepto de dependencia lineal y base.