Álgebra de matrices usando determinantes

En una excavación arqueológica, se han registrado las coordenadas de tres puntos clave que forman un sector de búsqueda. Para calcular el área de este sector, primero necesitamos obtener el valor del determinante de la siguiente matriz de posición $A$:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

Calcula el valor de $|A|$ utilizando la regla de Sarrus.

Calcula la matriz inversa $A^{-1}$ de la matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ utilizando el método de la matriz adjunta:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \times (\text{Adj}(A))^t$

Sigue estos pasos:

1. Halla el determinante $|A|$.

2. Calcula la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$.

3. Realiza la traspuesta y divide por el determinante.

Calcula el valor del determinante de la siguiente matriz $4 \times 4$ desarrollando por los elementos de la segunda fila (aquella que tiene más ceros):

$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 4 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{vmatrix}$

Sin realizar el desarrollo completo de la matriz, aplica las propiedades de los determinantes para justificar por qué el siguiente determinante es igual a $0$:

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 10 & 15 \\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

(Pista: Observa la relación entre la primera y la segunda fila).

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $3$ cuyo determinante es $|A| = -2$. Utiliza las propiedades de los determinantes para calcular los siguientes valores:

1. a) $|A^t|$ (determinante de la traspuesta).
2. b) $|A^{-1}|$ (determinante de la inversa).
3. c) $|3A|$ (determinante de la matriz multiplicada por el escalar $3$).

Sabiendo que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 3 es $|A| = -2$, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular, de forma razonada, el valor de los siguientes determinantes:

1. a) $|A^t \times A|$

1. b) $|3A^{-1}|$

1. c) El determinante de la matriz resultante de multiplicar la primera fila de $A$ por $5$, intercambiar la segunda y tercera filas, y trasponer la matriz.

Una empresa de mensajería utiliza un sistema de codificación basado en matrices. Para que un mensaje sea "desencriptable", la matriz utilizada $M$ debe ser inversible.

Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} k & 4 \\ 1 & k \end{pmatrix}$, determina para qué valores del parámetro real $k$ la matriz no tiene inversa (es decir, es una matriz singular).

En un sistema de control de tráfico aéreo, la posición de tres drones en un instante dado viene definida por las columnas de una matriz $P$. En el modelo simplificado que se utiliza, se considera que la configuración es segura solo si el determinante de $P$ no se anula. Dada la matriz:

$$P(k) = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$$

1. a) Calcula los valores de $k$ para los que los drones estarían en una configuración "crítica" (determinante nulo).

1. b) Para $k = 0$, comprueba si la matriz es invertible y, en caso afirmativo, halla su inversa $P^{-1}$ mediante el método de la matriz adjunta.

1. c) Demuestra que para cualquier valor de $k \neq 1$ y $k \neq -2$, se cumple que $P(k)$ es regular.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, calcula:

1. a) El determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus.

1. b) La matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$.

1. c) Comprueba que se cumple la propiedad $A \times \text{Adj}(A)^t = |A| \times I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$:

1. a) Determina los valores del parámetro real $k$ para los que la matriz $M$ es singular (no tiene inversa).

1. b) Para el valor $k = 0$, calcula la matriz inversa $M^{-1}$ utilizando el método de la matriz adjunta.

Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$.

1. a) Determina los valores del parámetro $m$ para los que la matriz $A$ posee inversa.

1. b) Para $m = 2$, resuelve la ecuación matricial $X \times A - 2 \times Adj(A) = |A| \times I$, donde $Adj(A)$ es la matriz adjunta de $A$ e $I$ es la matriz identidad.

Sugerencia: Utiliza la relación fundamental entre una matriz y su adjunta: $A \times (Adj(A))^t = |A| \times I$.

Resuelve la siguiente ecuación matricial para hallar la matriz incógnita $X$:

$A \times X = B$

Donde:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

(Recuerda: $X = A^{-1} \times B$. Debes calcular primero $A^{-1}$).

Resuelve la siguiente ecuación matricial $A \times X \times B = C$, donde las matrices $A$, $B$ y $C$ son:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$

Justifica previamente que las matrices $A$ y $B$ son invertibles calculando sus determinantes.

Una empresa de logística utiliza un algoritmo de encriptación basado en el álgebra matricial para proteger sus rutas. La clave de seguridad es una matriz $X$ que satisface la siguiente ecuación:

$$A \times X \times A^t = B - 2I$$

donde $I$ es la matriz identidad de orden 2 y las matrices $A$ y $B$ son:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 4 & 14 \end{pmatrix}$$

1. a) Justifica, utilizando determinantes, que la matriz $A$ es invertible.

1. b) Despeja la matriz $X$ en la ecuación anterior.

1. c) Calcula explícitamente la matriz $X$.

Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales para hallar las matrices $X$ e $Y$:

$\begin{cases} 2X + Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ X - Y = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{cases}$

Una vez halladas, calcula el determinante de la matriz producto $X \times Y$.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones matriciales para las matrices incógnitas $X$ e $Y$:

$$\begin{cases} 2X + Y = A \\ X - Y = B \end{cases}$$

donde las matrices de coeficientes son:

$$A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 11 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Una vez halladas $X$ e $Y$:

1. a) Calcula $|X \times Y|$ y $|X + Y|$.
2. b) Determina si la matriz producto $X \times Y$ es invertible utilizando su determinante.

Se sabe que una matriz cuadrada $B$ verifica la ecuación $B^2 - 3B + 2I = O$, donde $I$ es la matriz identidad y $O$ es la matriz nula.

1. a) Demuestra que $B$ es una matriz regular (tiene inversa) y expresa $B^{-1}$ en función de $B$ e $I$.

1. b) Si $B$ es de orden 2 y su determinante es $|B| = 2$, ¿cuál es el determinante de la matriz adjunta de $B$, $|\text{Adj}(B)|$?

Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden 3 tales que $|A| = 2$ y $|B| = -1$. Calcula, justificando cada paso con las propiedades de los determinantes, el valor de los siguientes determinantes:

1. a) $|(A^t \times B)^{-1}|$

1. b) $|3 \times A^2 \times Adj(B)|$

1. c) Si sabemos que una matriz $C$ verifica que $C^2 = C$ (matriz idempotente), demuestra que su determinante solo puede ser 0 o 1.

Una empresa de componentes electrónicos fabrica tres tipos de circuitos: $C_1$, $C_2$ y $C_3$. El costo de producción de cada circuito viene determinado por el determinante de la matriz de materiales $M$:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{pmatrix}$

1. a) Sabiendo que $x$, $y$ y $z$ representan las cantidades de silicio, cobre y estaño respectivamente, demuestra que el determinante de esta matriz (Vandermonde) es $(y-x)(z-x)(z-y)$.

1. b) Si para un circuito concreto las cantidades son $x=1$, $y=2$ y $z=4$, ¿es la matriz $M$ invertible? Justifica tu respuesta usando el resultado del inciso anterior.

Dada la matriz cuadrada de orden $n$:

$$D_n = \begin{pmatrix} x & a & a & \dots & a \\ a & x & a & \dots & a \\ a & a & x & \dots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & a & \dots & x \end{pmatrix}$$

1. a) Para el caso $n = 3$, demuestra que el determinante de la matriz es $|D_3| = (x+2a)(x-a)^2$.

1. b) Generaliza el resultado anterior para una matriz de orden $n$ y deduce la expresión de $|D_n|$ en función de $x, a$ y $n$.

1. c) Si $x = 5$ y $a = 2$, ¿para qué valores de $n$ la matriz $D_n$ sería singular?

Se considera la matriz de orden 4 dependiente del parámetro real $k$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+k & 1 \\ k & k & k & k^2 \end{pmatrix}$$

Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, realiza las siguientes tareas:

1. a) Halla el valor del determinante de $M$ en función de $k$, presentando el resultado de forma factorizada.

1. b) Determina los valores de $k$ para los cuales la matriz $M$ no tiene inversa.

1. c) Para el caso $k = 2$, calcula el valor del determinante de la matriz adjunta de $M$, es decir, $|Adj(M)|$, sin calcular explícitamente los elementos de dicha matriz adjunta.

Determina el rango de la siguiente matriz $B$ estudiando sus menores:

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$

Indica razonadamente si el rango es $1$, $2$ o $3$.

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcula el determinante de $A$ en función del parámetro $m$.

1. b) Determina el rango de la matriz $A$ según los valores de $m$.

Estudia el rango de la matriz $A$ según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & b & 2 & 4 \\ 1 & 1 & a & 2 \end{pmatrix}$$

Para realizar el estudio, utiliza el método de los menores orlados y razona detalladamente bajo qué condiciones el rango es 1, 2 o 3.