Dos drones de reparto vuelan sobre la CDMX en línea recta. Sus trayectorias no son paralelas, pero uno pasa por encima del otro y nunca chocan. En el plano esto es imposible: dos rectas o se cortan o son paralelas. En el espacio hay una tercera opción. En esta página aprenderás a clasificar todos los casos entre rectas y planos con un solo método: comparar vectores y calcular rangos.
Una recta en el espacio: por dos puntos y pertenencia de un punto
Una recta queda fija con un punto $A$ y un vector director $\vec u$. Sus ecuaciones paramétricas son $X=A+t\,\vec u$, es decir, $x=a_1+tu_1$, $y=a_2+tu_2$, $z=a_3+tu_3$.
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Un satélite de observación sigue una trayectoria lineal en el espacio definida por la recta $r: (x, y, z) = (1, 2, 0) + \lambda(2, -1, 3)$. Se quiere comprobar si el…
Un satélite de observación sigue una trayectoria lineal en el espacio definida por la recta $r: (x, y, z) = (1, 2, 0) + \lambda(2, -1, 3)$. Se quiere comprobar si el satélite pasará exactamente por un punto de control situado en $P(5, 0, 6)$. Determina si el punto $P$ pertenece a la trayectoria del satélite.
Dos rectas: coincidentes, paralelas, secantes o cruzadas
La perpendicular común a dos rectas cruzadas
Dos rectas cruzadas no se tocan, pero existe una única recta que las corta a las dos y es perpendicular a ambas. Es la que marca la distancia más corta entre ellas.
Vuelve al principio: los dos drones tienen direcciones distintas y $\vec{AB}$ no está en su plano, así que sus trayectorias son cruzadas y no hay riesgo de choque.
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Dadas las rectas $r$ y $s$ expresadas por sus ecuaciones paramétricas: $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ y…
Dadas las rectas $r$ y $s$ expresadas por sus ecuaciones paramétricas:
$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = 2 - \mu \end{cases}$
Estudia la posición relativa de ambas comparando sus vectores directores. ¿Son paralelas o tienen direcciones distintas?
Dados los puntos $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 0)$ y $C(3, 2, 1)$, determina la posición relativa de la recta que pasa por $A$ y $B$ respecto a la recta que pasa por $B$ y…
Dados los puntos $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 0)$ y $C(3, 2, 1)$, determina la posición relativa de la recta que pasa por $A$ y $B$ respecto a la recta que pasa por $B$ y $C$. ¿Se trata de la misma recta (coincidentes) o son rectas secantes en el punto $B$?
Dos drones de vigilancia aérea siguen trayectorias rectilíneas definidas por las rectas $r$ y $s$. El centro de control necesita saber si existe algún riesgo de colisión…
Dos drones de vigilancia aérea siguen trayectorias rectilíneas definidas por las rectas $r$ y $s$. El centro de control necesita saber si existe algún riesgo de colisión (si las trayectorias se cortan). Las ecuaciones de las trayectorias son:
$r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{3}$
$s: \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$
Determina la posición relativa de ambas trayectorias.
Se dan las rectas $r$ y $s$ de ecuaciones: $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$ $s: \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + z = 1 \end{cases}$ a) Demuestra…
Se dan las rectas $r$ y $s$ de ecuaciones:
$r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$
$s: \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + z = 1 \end{cases}$
a) Demuestra analíticamente que las rectas $r$ y $s$ se cruzan.
b) Halla la ecuación de la perpendicular común a ambas rectas.
c) Determina la posición relativa de esta perpendicular común con el plano coordenado $XZ$.
Si la recta viene dada como intersección de dos planos, su dirección es $\vec v=\vec n_1\times\vec n_2$ (producto cruz de sus normales). También puedes resolver el sistema y dejar un parámetro libre.
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Comprueba si la recta $r$, definida como la intersección de los planos $x + y = 2$ y $x - y = 0$, es paralela al plano de coordenadas $XY$ (el plano $z = 0$). Argumenta…
Comprueba si la recta $r$, definida como la intersección de los planos $x + y = 2$ y $x - y = 0$, es paralela al plano de coordenadas $XY$ (el plano $z = 0$). Argumenta tu respuesta basándote en el vector director de la recta.
Un arquitecto utiliza un software de diseño para situar una viga estructural representada por la recta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+1}{-2} = \dfrac{z-4}{4}$. Determina…
Un arquitecto utiliza un software de diseño para situar una viga estructural representada por la recta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+1}{-2} = \dfrac{z-4}{4}$. Determina si la viga es perpendicular al plano de fachada $\pi: 3x - 2y + 4z + 1 = 0$. Justifica tu respuesta.
Un rayo láser se propaga siguiendo la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}$ e incide sobre una lámina de cristal plana cuya ecuación es…
Un rayo láser se propaga siguiendo la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}$ e incide sobre una lámina de cristal plana cuya ecuación es $\pi: x + y + z - 1 = 0$. Determina la posición relativa entre el rayo láser y la lámina. En caso de que se corten, calcula las coordenadas del punto de impacto.
Considera el plano $\pi: 2x - y + az + 3 = 0$ y la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1, 0, -1)$ y $B(2, 1, 0)$. Determina el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$…
Considera el plano $\pi: 2x - y + az + 3 = 0$ y la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1, 0, -1)$ y $B(2, 1, 0)$. Determina el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para que la recta sea paralela al plano. Para dicho valor de $a$, ¿está la recta contenida en el plano? Justifica tu respuesta.
En el diseño de un edificio inteligente, se han definido dos superficies planas correspondientes al techo y al suelo de una planta técnica. Las ecuaciones de los planos…
En el diseño de un edificio inteligente, se han definido dos superficies planas correspondientes al techo y al suelo de una planta técnica. Las ecuaciones de los planos son $\pi_1: 2x - y + 3z - 5 = 0$ y $\pi_2: 4x - 2y + 6z + 8 = 0$. Analiza la posición relativa de ambos planos para confirmar si son paralelos.
Determina el valor del parámetro $k$ para que los planos $\pi_1: x + ky + z - 2 = 0$ y $\pi_2: 2x - 4y + 2z + 1 = 0$ sean paralelos. Para ese valor de $k$, ¿podrían ser…
Determina el valor del parámetro $k$ para que los planos $\pi_1: x + ky + z - 2 = 0$ y $\pi_2: 2x - 4y + 2z + 1 = 0$ sean paralelos. Para ese valor de $k$, ¿podrían ser los planos coincidentes? Justifica tu respuesta observando los términos independientes.
Tres planos forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Sea $M$ la matriz de coeficientes y $M^*$ la matriz aumentada (con la columna de términos independientes). Es el mismo análisis de sistemas lineales de semestres anteriores, ahora con significado geométrico.
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Discute, en función del parámetro real $m$, la posición relativa de los siguientes tres planos: $\pi_1: mx + y + z = 1$ $\pi_2: x + my + z = m$ $\pi_3: x + y + mz = m^2$
Discute, en función del parámetro real $m$, la posición relativa de los siguientes tres planos:
En un proyecto de diseño industrial, se definen tres superficies mediante los siguientes planos en el espacio: $\pi_1: x + ay + z = a$ $\pi_2: ax + y + (a-1)z = 1$…
En un proyecto de diseño industrial, se definen tres superficies mediante los siguientes planos en el espacio:
$\pi_1: x + ay + z = a$
$\pi_2: ax + y + (a-1)z = 1$
$\pi_3: x + y + z = 1$
Discute la posición relativa de los tres planos según los diferentes valores del parámetro real $a$. En los casos en los que los tres planos se corten en una recta (formando un haz de planos), obtén la ecuación paramétrica de dicha recta.
Construir planos: por tres puntos, paralelo a una recta y haz de planos
Muchos problemas piden un plano que cumpla una condición con respecto a puntos o rectas. Hay tres herramientas.
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Un haz de planos tiene como arista la recta $r: \begin{cases} 3x - y + z = 2 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}$. Encuentra cuál de los planos del haz pasa por el punto…
Un haz de planos tiene como arista la recta $r: \begin{cases} 3x - y + z = 2 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}$. Encuentra cuál de los planos del haz pasa por el punto $P(1, 1, 1)$. Una vez obtenido, determina la posición relativa de este plano con el eje $OY$.
Se considera una trayectoria de un dron representada por la recta $r$ que pasa por el punto $A(1, 2, -1)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (k, 1, 2)$. Por otro…
Se considera una trayectoria de un dron representada por la recta $r$ que pasa por el punto $A(1, 2, -1)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (k, 1, 2)$. Por otro lado, un panel solar está contenido en el plano $\pi$ definido por los puntos $P(1, 0, 1)$, $Q(0, 2, 3)$ y $R(2, 1, 0)$.
Determine el valor del parámetro $k$ para que la trayectoria del dron sea paralela al panel solar. Para ese valor de $k$, ¿existe alguna recta $s$ contenida en el plano $\pi$ que sea perpendicular a $r$? Justifica la respuesta basándote en la posición relativa de los elementos.