Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos en el espacio

Determina la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$ comprobando la relación entre sus vectores característicos. La recta viene dada por la ecuación continua $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+3}{-1} = \dfrac{z}{4}$ y el plano por la ecuación general $\pi: 2x - y + 4z - 5 = 0$.

1. a) Escribe un vector director $\vec{v}_r$ de la recta y un vector normal $\vec{n}$ del plano.

1. b) ¿Es el vector director de la recta paralelo al vector normal del plano? Justifica tu respuesta.

1. c) Justifica qué implicación geométrica tiene este hecho para la posición relativa de $r$ y $\pi$.

Halla el valor del parámetro $k$ para que la recta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z+1}{1}$ sea paralela al plano $\pi: kx + 3y + z - 7 = 0$. Recuerda que para que una recta y un plano sean paralelos, el producto escalar de sus vectores característicos debe ser igual a cero.

Determina la posición relativa del plano $\pi: mx + y - z = 1$ y la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{m} = \frac{z+3}{3}$ en función del parámetro real $m$. Especifica para qué valores son perpendiculares y para cuáles la recta es paralela al plano.

Un brazo robótico en una fábrica de montaje se mueve siguiendo una trayectoria rectilínea $s$. La trayectoria pasa por el punto de control $A(2, -1, 5)$ y debe ser perpendicular al panel de soporte, que está representado por el plano $\pi: x + 3y - 2z + 4 = 0$. Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta $s$ que sigue el brazo robótico.

Dado el punto $Q(3, -1, 4)$ y el plano $\alpha: 2x + y = 0$, halla la ecuación de la recta $r$ que pasa por $Q$ y es perpendicular al plano $\alpha$. Ten especial cuidado al identificar las coordenadas del vector normal del plano, prestando atención a la ausencia de la variable $z$.

Calcula la ecuación del plano $\alpha$ que pasa por el punto $P(1, 0, -2)$ y es perpendicular a la recta $s$ definida por la intersección de los planos:

$s: \begin{cases} x + y - z = 4 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Determina también el punto de corte entre la recta $s$ y el plano $\alpha$ hallado (proyección ortogonal de $P$ sobre $s$).

Comprueba si el plano $\pi_1: 2x - 4y + 2z - 7 = 0$ y el plano $\pi_2: x - 2y + z + 5 = 0$ son paralelos. Para ello, analiza si sus vectores normales son proporcionales. En caso de ser paralelos, razona si son el mismo plano (coincidentes) o si no tienen ningún punto en común.

Considera los planos $\pi_1: x - 2y + z = 0$ y $\pi_2: 3x + y - z = 5$.

1. a) Determina la ecuación de la recta $r$ que surge de la intersección de ambos planos.
2. b) Halla la ecuación de un plano $\pi_3$ que pase por el punto $Q(0, 0, 1)$ y sea perpendicular a la recta $r$.

Dada la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3}$ y el plano $\pi: 3x + y - z = 4$, halla la ecuación del plano $\beta$ que cumple simultáneamente:

1. Contiene a la recta $r$.

2. Es perpendicular al plano $\pi$.

Un arquitecto está diseñando una rampa que se modela como un plano $\pi$ de ecuación general $x + y + z - 6 = 0$. Para instalar un sensor de iluminación, necesita conocer la proyección ortogonal del punto $P(1, 2, 5)$ sobre dicho plano. Calcula las coordenadas del punto $Q$ que representa dicha proyección (llamado el pie de la perpendicular).

Halla la proyección ortogonal del punto $A(2, 0, -1)$ sobre la recta $r$ dada por su ecuación continua:

Ayuda: Recuerda que puedes construir un plano auxiliar perpendicular a la recta que pase por el punto $A$.

Un arquitecto diseña una estructura piramidal con vértice en $V(2, 2, 6)$ y cuya base está contenida en el plano $\pi \equiv x + 2y + 2z = 6$. Halla el pie de la altura de la pirámide (proyección ortogonal de $V$ sobre $\pi$) y determina el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas y los puntos de intersección del plano $\pi$ con los tres ejes cartesianos.

Halla el punto $P'$ que representa la proyección ortogonal del punto $P(1, 0, -3)$ sobre el plano $\pi$ de ecuación:

Se proyecta la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 0, 0)$ y $B(1, 1, 1)$, sobre el plano $\pi: x = 0$.

1. Halla la proyección ortogonal de los puntos $A$ y $B$ sobre el plano.

2. Escribe la ecuación de la recta proyectada $r'$ que pasa por esos nuevos puntos.

En un proyecto de energía solar, se instala un panel plano representado por el plano $\pi \equiv 2x + y - z = 4$. Un mástil de soporte está definido por la recta $r \equiv \{x = 1+t, y = 2-t, z = 3t\}$. Durante el mediodía, los rayos de sol inciden perpendicularmente al panel. Calcula la ecuación de la recta $s$ que representa la proyección ortogonal del mástil $r$ sobre el panel solar $\pi$ (su "sombra" bajo incidencia perpendicular). Determina también el punto donde el mástil atraviesa el panel.

Obtén la ecuación implícita del plano proyectante de la recta $r$ sobre el plano $\pi$. Recuerda que el plano proyectante es el plano perpendicular a $\pi$ que contiene a la recta $r$.

Un foco de luz situado en un punto muy lejano proyecta rayos paralelos a la dirección del vector $\vec{v} = (0, 0, -1)$. Si un cable de acero sigue la trayectoria de la recta $r$, halla la ecuación de la sombra que proyecta sobre un tejado plano representado por $\pi$:

Dos rectas en el espacio, $a$ y $b$, se cruzan sin cortarse. Si la recta $a$ es paralela a un plano horizontal $\pi$ y la recta $b$ es perpendicular a ese mismo plano $\pi$:

1. a) ¿Qué ángulo forman las direcciones de las rectas $a$ y $b$?
2. b) ¿Es posible encontrar un plano que contenga a la vez a las dos rectas? ¿Por qué?
3. c) ¿Podemos afirmar que las dos rectas son perpendiculares aunque no tengan ningún punto en común?

Dadas las rectas $r$ y $s$ definidas por:

$r: \frac{x-1}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{2}$ y $s: \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases}$

1. a) Calcula el valor del parámetro $a$ para que las rectas $r$ y $s$ sean perpendiculares.
2. b) Para el valor de $a$ obtenido, ¿son las rectas secantes o se cruzan?
3. c) Halla la ecuación del plano que es paralelo a $s$ y contiene a la recta $r$.

Observa el rincón de una habitación donde se encuentran dos paredes y el suelo. Este conjunto forma un ángulo triedro en el vértice de la esquina inferior.

1. a) ¿Cuánto miden los tres ángulos rectilíneos que definen las caras de este triedro?
2. b) ¿Cuánto suma la medida de los tres ángulos diedros que se forman entre las paredes y el suelo?
3. c) Si una mosca vuela siguiendo una trayectoria paralela a la línea del rodapié de una pared, ¿es esa trayectoria paralela también al plano de la otra pared? Explica por qué.

Dados los puntos $A(1, 2, 3)$ y $B(3, 2, 1)$, se pide:

1. a) Determinar la ecuación del plano $\pi$ que es perpendicular al segmento $AB$ y pasa por su punto medio (plano mediador).
2. b) Dada la recta $r: \begin{cases} x - y = 0 \\ z = 4 \end{cases}$, estudia su posición relativa con el plano $\pi$ hallado.
3. c) Encuentra un punto $C$ en la recta $r$ de modo que el triángulo $ABC$ sea isósceles con el lado desigual $AB$.

Halla la ecuación de la recta $t$ que corta perpendicularmente a las rectas $r$ y $s$, siendo:

$r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-3}{2}$ y $s: \begin{cases} x = 3 + 2\mu \\ y = 1 \\ z = \mu \end{cases}$

Este ejercicio requiere que determines la dirección de la "perpendicular común" y los planos auxiliares que permiten localizar los puntos de corte en cada recta.

En el diseño de una estructura metálica para un festival de música, se deben colocar dos vigas representadas por las rectas:

$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases}$ y $s: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$

Un ingeniero necesita instalar una tercera viga de refuerzo, $t$, que cumpla simultáneamente:

1. Que sea perpendicular a las vigas $r$ y $s$.

2. Que pase por el punto de intersección de la recta $r$ con el plano $XY$.

Obtén la ecuación de la recta $t$ en forma continua y determina si existe algún punto donde esta nueva viga $t$ corte a la viga $s$.