Teorema de Rouché-Frobenius
En la tienda de la esquina, Ximena guarda tres tickets de compra de tortas, jugos y papas. Quiere saber el precio de cada producto, pero sospecha que el tercer ticket no le dice nada nuevo. ¿Cómo puede saber, sin resolver nada, si tres ecuaciones bastan para encontrar tres precios? Con dos ecuaciones comparabas razones entre coeficientes. Con tres o más necesitas una herramienta más general: el rango de una matriz. El teorema de Rouché-Frobenius compara dos rangos y te dice qué tipo de sistema tienes sin resolverlo.
El rango de una matriz
Un renglón es combinación de otros cuando no aporta información nueva. Eso es justo lo que le pasa al ticket redundante de Ximena.
También puedes calcular el rango con menores: si hay un menor de orden 3 distinto de cero, el rango es 3. Si $\det A=0$ pero hay algún menor de orden 2 distinto de cero, el rango es 2. Por ejemplo, en la matriz anterior $\det A=0$ y el menor $\begin{vmatrix}1&1\\2&3\end{vmatrix}=1\neq 0$, lo que confirma $\operatorname{rg}(A)=2$.
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales sin parámetros: $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + 3z = 5 \\ 3x + 4z = 7 \end{cases}$$ Calcula el rango de la…
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales sin parámetros:
$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + 3z = 5 \\ 3x + 4z = 7 \end{cases}$$Calcula el rango de la matriz de coeficientes $A$ y el rango de la matriz ampliada $A^*$. Utiliza el Teorema de Rouché-Frobenius para discutir la existencia y el número de soluciones del sistema.
Se considera el sistema: $$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 2 \\ x - 2y = -1 \end{cases}$$ 1. Demuestra que el sistema es Compatible Indeterminado calculando…
Se considera el sistema:
$$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 2 \\ x - 2y = -1 \end{cases}$$-
Demuestra que el sistema es Compatible Indeterminado calculando los rangos por el método de menores.
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Si añadimos una cuarta ecuación $x + y + az = b$, discute cómo debe ser la relación entre $a$ y $b$ para que el sistema siga teniendo soluciones.
El teorema de Rouché-Frobenius
Para un sistema, hay dos matrices: la de coeficientes $A$ y la aumentada $A^*=(A\mid B)$, que añade la columna de términos independientes.
En una sesión de estudio sobre álgebra, un compañero te muestra los resultados del análisis de los rangos de tres sistemas de ecuaciones distintos utilizando el Teorema…
En una sesión de estudio sobre álgebra, un compañero te muestra los resultados del análisis de los rangos de tres sistemas de ecuaciones distintos utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius. Indica razonadamente el tipo de sistema (Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible) en cada uno de los siguientes casos, sabiendo que el número de incógnitas es $n = 3$:
- a) $rg(A) = 3$ y $rg(A^*) = 3$.
- b) $rg(A) = 2$ y $rg(A*) = 3$.
- c) $rg(A) = 2$ y $rg(A^*) = 2$.
Discute el carácter del sistema formado por las ecuaciones de tres rectas en el plano, sabiendo que el sistema viene dado por: $$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 1…
Discute el carácter del sistema formado por las ecuaciones de tres rectas en el plano, sabiendo que el sistema viene dado por:
$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 1 \\ 4x + 6y = 10 \end{cases}$$Calcula el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada. Interpreta el resultado obtenido: ¿se cortan las tres rectas en un punto, son la misma recta o hay alguna relación de paralelismo?
Clasificar sin resolver
El teorema permite sacar conclusiones solo con el tamaño del sistema.
Menos ecuaciones que incógnitas. Si hay $m Sistemas homogéneos. Si todos los términos independientes son 0, $A^*$ solo añade una columna de ceros, así que $\operatorname{rg}(A^*)=\operatorname{rg}(A)$. El sistema siempre es consistente, porque $(0,0,\dots,0)$ es solución (la solución trivial). Además: Si $\operatorname{rg}(A)=n$, solo existe la solución trivial. Si $\operatorname{rg}(A) Para un sistema homogéneo cuadrado, esto equivale a: hay soluciones no triviales si y solo si $\det A=0$. Un "influencer" está analizando el crecimiento de sus seguidores en tres redes sociales distintas (TikTok, Instagram y Twitch). Ha planteado un sistema de ecuaciones para repartir su presupuesto publicitario, pero se ha dado cuenta de que tiene más incógnitas que ecuaciones: Siendo $x, y, z$ la inversión en pesos para cada red social. Sin resolver el sistema, explica razonadamente mediante el Teorema de Rouché-Frobenius por qué este sistema nunca podrá tener una solución única. ¿Podría ser incompatible? Considera un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes es $A$. Si sabemos que el determinante de dicha matriz es $|A| = 0$ y que existe un menor de orden 2 distinto de cero, utiliza el Teorema de Rouché-Frobenius para: Estudia la compatibilidad del siguiente sistema homogéneo en función del parámetro $m$: Indica para qué valores de $m$ el sistema admite soluciones distintas de la trivial $(0, 0, 0)$.
Un "influencer" está analizando el crecimiento de sus seguidores en tres redes sociales distintas (TikTok, Instagram y Twitch). Ha planteado un sistema de ecuaciones…
Considera un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes es $A$. Si sabemos que el determinante de dicha matriz es $|A| = 0$ y…
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema homogéneo en función del parámetro $m$: $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ mx + 2y + mz = 0 \\ 2x + my + 4z = 0…
Discusión con parámetros
Cuando el sistema depende de un parámetro, discutir es decir qué tipo de sistema resulta para cada valor, sin resolverlo. El plan, para sistemas cuadrados:
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Calcula $\det A$ en función del parámetro.
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Los valores que no lo anulan dan $\operatorname{rg}(A)=n$, y por tanto solución única.
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Para cada valor que lo anula, sustituye y calcula $\operatorname{rg}(A)$ y $\operatorname{rg}(A^*)$ por separado.
Si el sistema no es cuadrado (más o menos ecuaciones que incógnitas), no hay $\det A$. Calculas los rangos por menores, o escalonando la matriz aumentada y analizando cada valor del parámetro que cambie el número de renglones no nulos. Si el parámetro está solo en el término independiente, $A$ no cambia y solo varía $\operatorname{rg}(A^*)$.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro real $k$: $$\begin{cases} kx + y = 1 \\ x + y = k \end{cases}$$ Determina para qué valores de $k$ el…
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro real $k$:
$$\begin{cases} kx + y = 1 \\ x + y = k \end{cases}$$Determina para qué valores de $k$ el sistema es Compatible Determinado y para cuáles es Incompatible o Compatible Indeterminado.
Dado el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $k$: $$\begin{cases} x + ky + z = k \\ kx + y + z = 1 \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$$ Discute su…
Dado el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $k$:
$$\begin{cases} x + ky + z = k \\ kx + y + z = 1 \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$$Discute su compatibilidad según los valores de $k$ utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius. No es necesario resolverlo.
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente de dos parámetros reales $a$ y $b$: $$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = b \\ x + y + az =…
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente de dos parámetros reales $a$ y $b$:
$$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = b \\ x + y + az = b^2 \end{cases}$$Discute el sistema utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius en función de todos los valores posibles de $a$ y $b$. En los casos en los que el sistema sea compatible indeterminado, indica el grado de libertad (número de parámetros de la solución) y describe la posición relativa de los tres planos que representan las ecuaciones.
Interpretación geométrica: tres planos
Cada ecuación $ax+by+cz=d$ es un plano en el espacio. Resolver el sistema es buscar los puntos comunes a los tres planos. Los rangos te dicen cómo están colocados:
| $\operatorname{rg}(A)$ | $\operatorname{rg}(A^*)$ | Posición de los planos |
|---|---|---|
| 3 | 3 | Se cortan en un punto |
| 2 | 2 | Se cortan en una recta (o dos coinciden y el tercero los corta) |
| 2 | 3 | No hay punto común: prisma triangular, o dos paralelos cortados por el tercero |
| 1 | 1 | Los tres planos son el mismo |
| 1 | 2 | Sin punto común: planos paralelos (o dos coincidentes y uno paralelo) |
Para decidir entre las dos opciones de una misma fila, revisa si los renglones de $A^*$ son proporcionales de dos en dos. Si dos renglones son proporcionales en $A$ pero no en $A^*$, esos planos son paralelos distintos. Si lo son en $A^*$ completo, esos planos coinciden. Si ningún par es proporcional y $\operatorname{rg}(A^*)=3$ con $\operatorname{rg}(A)=2$, es un prisma triangular (se cortan de dos en dos, pero no hay punto común).
Asocia cada una de las siguientes situaciones geométricas de tres planos en el espacio con la discusión del sistema correspondiente según el Teorema de Rouché-Frobenius…
Asocia cada una de las siguientes situaciones geométricas de tres planos en el espacio con la discusión del sistema correspondiente según el Teorema de Rouché-Frobenius (asume $n=3$):
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Los tres planos se cortan en un único punto.
-
Dos planos son paralelos y el tercero los corta.
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Los tres planos se cortan en una recta común.
Relaciona cada caso con una de estas opciones:
- a) $rg(A) = 2, rg(A^*) = 2$.
- b) $rg(A) = 3, rg(A^*) = 3$.
- c) $rg(A) = 2, rg(A^*) = 3$.
Considera los tres planos representados en el espacio cuyas ecuaciones se dan a continuación: $$\pi_1: x + ay + z = 1$$ $$\pi_2: ax + y + (a-1)z = a$$ $$\pi_3: x + y + z…
Considera los tres planos representados en el espacio cuyas ecuaciones se dan a continuación:
$$\pi_1: x + ay + z = 1$$ $$\pi_2: ax + y + (a-1)z = a$$ $$\pi_3: x + y + z = a + 1$$Estudia la posición relativa de los tres planos en función del parámetro $a$ basándote en el rango de la matriz de coeficientes $A$ y de la matriz ampliada $A^*$.
Determina para qué valores de los parámetros $p$ y $q$ el siguiente sistema tiene: 1. Una única solución. 2. Infinitas soluciones. 3. Ninguna solución. $$\begin{cases} x…
Determina para qué valores de los parámetros $p$ y $q$ el siguiente sistema tiene:
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Una única solución.
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Infinitas soluciones.
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Ninguna solución.
Para el caso en que sea compatible indeterminado, interpreta si los tres planos se cortan en una recta o si hay dos planos coincidentes.
Vuelve al principio: si el tercer ticket de Ximena es la suma de los otros dos, su renglón se anula al escalonar, así que $\operatorname{rg}(A)=2<3$. Con tres precios por encontrar, no basta: no habrá un único precio para cada producto.