Producto cruz

Dados los vectores $\vec{u} = (2, -1, 3)$ y $\vec{v} = (0, 4, 1)$, calcula su producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ utilizando la regla del determinante con los vectores de la base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$.

Dados los vectores unitarios de los ejes de coordenadas $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ y $\vec{k} = (0, 0, 1)$, calcula los siguientes productos vectoriales:

1. a) $\vec{i} \times \vec{j}$
2. b) $\vec{j} \times \vec{i}$

Razona, a la vista de los resultados, si el producto vectorial cumple la propiedad conmutativa.

Halla el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores $\vec{u} = (5, 0, 0)$ y $\vec{v} = (2, 3, 0)$. ¿Qué relación observas entre este resultado y el área de un rectángulo de base 5 y altura 3 situado en el plano $XY$?

Comprueba si los vectores $\vec{u} = (1, -2, 4)$ y $\vec{v} = (-2, 4, -8)$ son paralelos calculando su producto vectorial. Explica qué condición debe cumplir el resultado de un producto vectorial para asegurar que dos vectores tienen la misma dirección.

Determina el valor del parámetro real $k$ para que el área del paralelogramo definido por los vectores $\vec{a} = (k, 1, 2)$ y $\vec{b} = (1, k, 0)$ sea exactamente $\sqrt{21}$ unidades cuadradas.

Calcula un vector que sea perpendicular simultáneamente a $\vec{a} = (1, 1, 1)$ y $\vec{b} = (3, 0, 2)$. Comprueba el resultado realizando el producto escalar del vector obtenido por $\vec{a}$.

Halla un vector que sea perpendicular al plano que pasa por los puntos $P(0, 0, 0)$, $Q(1, 2, 3)$ y $R(2, 0, 1)$.

Dados los vectores $\vec{u} = (1, -2, 3)$ y $\vec{v} = (0, 1, 4)$, calcula las coordenadas de un vector $\vec{w}$ que sea perpendicular simultáneamente a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$, y que tenga un módulo igual a $\sqrt{130}$ unidades. ¿Cuántas soluciones posibles existen para este vector?

En el diseño de una pieza industrial, se necesita conocer la dirección de la recta $r$ que resulta de la intersección de dos planos cuyas normales son $\vec{n}_1 = (2, -1, 5)$ y $\vec{n}_2 = (1, 3, -2)$. Sabiendo que el vector director de la recta es perpendicular a ambas normales, utiliza el producto vectorial para hallarlo.

Demuestra, utilizando las propiedades del producto vectorial, que para cualquier pareja de vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ del espacio, se cumple la siguiente igualdad:

A continuación, verifica el resultado para los vectores $\vec{u} = (1, 0, -1)$ y $\vec{v} = (2, 3, 1)$.

Dados los vectores $\vec{a} = (2, -1, 0)$ y $\vec{b} = (1, 2, -2)$, halla un tercer vector $\vec{c}$ de manera que el conjunto $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ forme una base ortogonal del espacio (es decir, que sean perpendiculares entre sí dos a dos).

Demuestra de forma analítica la Identidad de Lagrange para los vectores $\vec{u} = (x, 1, 0)$ y $\vec{v} = (0, y, 1)$, verificando que:

A continuación, utiliza esta identidad para hallar el área del paralelogramo formado por $\vec{u}$ y $\vec{v}$ si sabemos que $|\vec{u}| = 2$, $|\vec{v}| = 3$ y su producto escalar es $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{8}$.

Determina el área del triángulo cuyos vértices son los puntos del espacio $A(1, 0, 2)$, $B(3, 1, 2)$ y $C(1, 2, 5)$.

En física, el momento de una fuerza $\vec{F}$ aplicada en un punto respecto a un origen viene dado por el producto vectorial $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, donde $\vec{r}$ es el vector de posición del punto de aplicación. Calcula el momento de una fuerza $\vec{F} = (0, 10, 0)$ Newtons aplicada en el punto de coordenadas $\vec{r} = (3, 0, 0)$ metros. La figura muestra un esquema (no está a escala) de $\vec{r}$ y $\vec{F}$.

Un equipo de topógrafos está midiendo una parcela triangular en un terreno accidentado. Han determinado que los vértices del triángulo, referidos a un sistema de coordenadas cartesianas en metros, son $A(1, 0, 2)$, $B(3, 4, 0)$ y $C(5, 1, -3)$. Calcula el área de dicha parcela utilizando el producto vectorial.

Un ingeniero ambiental está calculando la eficiencia de un panel solar plano. El panel está definido por los puntos $P(1, 1, 1)$, $Q(2, 3, 1)$ y $R(1, 2, 4)$. Para maximizar la captación de energía, necesita conocer el vector normal unitario a la superficie del panel. Halla dicho vector.

En un experimento de física, una partícula cargada se mueve en un campo magnético. El momento de la fuerza $\vec{M}$ respecto al origen viene dado por el producto vectorial $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, donde $\vec{r}$ es el vector de posición del punto de aplicación y $\vec{F}$ es la fuerza aplicada. Si $\vec{r} = (2, -3, 1)$ metros y la fuerza es $\vec{F} = (4, 1, 2)$ Newtons (la figura es un esquema de la situación):

1. a) Calcula el vector momento $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$.

1. b) Calcula su módulo $|\vec{M}|$ e indica su unidad física (N·m).

En un estudio de robótica, el brazo de un robot ejerce una fuerza $\vec{F} = (2, -3, 1)$ Newtons sobre un perno situado en el punto $P(1, 1, 4)$. El momento de una fuerza respecto a un punto $O$ se define como el producto vectorial $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, donde $\vec{r}$ es el vector posición del punto de aplicación de la fuerza respecto al centro de giro.

Si el centro de giro se encuentra en el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$, calcula:

1. a) El vector momento $\vec{M}$.
2. b) El área del triángulo que tiene por lados los vectores $\vec{r}$ y $\vec{F}$.

Sea $V$ el volumen del paralelepípedo definido por los vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$.

Si $\vec{a} = (1, 1, 0)$, $\vec{b} = (0, 2, 1)$ y $\vec{c} = (m, 0, 1)$:

1. a) Halla los valores de $m$ para que el volumen sea de 4 unidades cúbicas.
2. b) Para cada uno de esos valores de $m$, calcula el área de la cara del paralelepípedo definida por los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$, y utiliza este dato para hallar la altura del paralelepípedo respecto a esa base.

Un panel solar cuadrangular tiene sus vértices en los puntos $P(1, 0, 0)$, $Q(3, 2, 1)$, $R(2, 5, 3)$ y $S(0, 3, 2)$.

1. a) Comprueba si los cuatro puntos son coplanarios (están en el mismo plano).
2. b) Si son coplanarios, calcula el área total del panel solar descomponiéndolo en dos triángulos y utilizando el producto vectorial.

Dados los vectores $\vec{u} = (1, -1, 2)$ y $\vec{v} = (3, 1, -1)$, se pide encontrar un vector $\vec{w}$ que cumpla simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. Es perpendicular a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

2. Su norma o módulo es exactamente igual a $\sqrt{750}$.

3. Su componente en el eje $Z$ (cota) es un número negativo.

Considera un triángulo cuyos vértices son los puntos $A(k, 0, 1)$, $B(1, 2, 1)$ y $C(0, -1, k)$, donde $k$ es un parámetro real.

1. a) Determina la expresión del área del triángulo en función de $k$.
2. b) Halla los valores de $k$ para los que el área del triángulo es exactamente $\frac{3\sqrt{6}}{2}$ unidades cuadradas.

Se desea diseñar una pieza estructural metálica en forma de paralelogramo. Los lados están definidos por los vectores $\vec{a} = (2, m, 1)$ y $\vec{b} = (1, 2, 2)$.

1. a) Calcula el valor del parámetro $m$ sabiendo que el área de dicha pieza es de $\sqrt{26}$ unidades cuadradas.
2. b) Para los valores de $m$ hallados, ¿son los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ perpendiculares? Justifica tu respuesta sin realizar el producto escalar.

Dados los vectores $\vec{u} = (2, 1, -1)$ y $\vec{v} = (1, 0, 3)$, encuentra todos los vectores $\vec{x}$ que satisfagan simultáneamente las siguientes ecuaciones:

1. $\vec{x} \times \vec{u} = \vec{u} \times \vec{v}$

2. $\vec{x} \cdot \vec{v} = 0$

(Pista: Utiliza las propiedades distributivas del producto vectorial y la condición de linealidad).