Ángulos entre rectas y planos en el espacio
Un panel solar en una azotea de Mérida debe recibir los rayos del sol con una inclinación precisa, ni muy rasante ni muy vertical. Lo mismo pasa con una antena, un tejado o el brazo de un robot en una planta de ensamble. Ese ángulo, el que forma una trayectoria recta con una superficie plana, se calcula siempre con la misma idea: comparar el vector director de la recta con el vector normal del plano.
El ángulo entre una recta y un plano
Un arquitecto está diseñando la cubierta inclinada de un pabellón deportivo. En su proyecto, la estructura de soporte principal sigue la dirección de la recta…
Un arquitecto está diseñando la cubierta inclinada de un pabellón deportivo. En su proyecto, la estructura de soporte principal sigue la dirección de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$, mientras que el suelo del pabellón se encuentra sobre el plano horizontal $\pi: z = 0$. Calcula el ángulo que forma la viga de soporte con el suelo.
Calcula el ángulo que forma la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1, 0, 1)$ y $B(2, 1, 2)$ con el plano de ecuación general $\pi: x + y + 1 = 0$.
Calcula el ángulo que forma la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1, 0, 1)$ y $B(2, 1, 2)$ con el plano de ecuación general $\pi: x + y + 1 = 0$.
Calcula el ángulo agudo que forma la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 0, -2)$ y $B(3, -1, 1)$, con el plano $\pi$ de ecuación general $2x + y - 3z + 4 = 0$.…
Calcula el ángulo agudo que forma la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 0, -2)$ y $B(3, -1, 1)$, con el plano $\pi$ de ecuación general $2x + y - 3z + 4 = 0$. Expresa el resultado en grados, minutos y segundos.
Casos particulares: perpendicular o paralela
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $r: \frac{x-1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ sea perpendicular al plano $\pi: 2x + 4y - 2z + 7 = 0$. ¿Cuál es…
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $r: \frac{x-1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ sea perpendicular al plano $\pi: 2x + 4y - 2z + 7 = 0$. ¿Cuál es el ángulo que forman en este caso?
Dada la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv x + ky + 2z - 1 = 0$, determina el valor…
Dada la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv x + ky + 2z - 1 = 0$, determina el valor del parámetro real $k$ sabiendo que el ángulo que forman la recta y el plano es de $30^\circ$.
Un haz de luz láser incide desde un satélite siguiendo la trayectoria de la recta $r$, que pasa por el punto $A(1, 0, 2)$ y tiene como vector director…
Un haz de luz láser incide desde un satélite siguiendo la trayectoria de la recta $r$, que pasa por el punto $A(1, 0, 2)$ y tiene como vector director $\vec{v}(k, 1, 1)$. El objetivo es que el rayo impacte sobre una estación receptora situada en un plano $\pi$ de ecuación $2x - y + z = 5$. Determina los valores del parámetro real $k$ para que el ángulo que forma la trayectoria del láser con el plano receptor sea exactamente de $30^\circ$.
La recta como intersección de dos planos
Calcula el seno del ángulo que forma la recta $r$, definida como la intersección de los planos $\pi_1: x - y = 0$ y $\pi_2: y - z = 0$, con el plano…
Calcula el seno del ángulo que forma la recta $r$, definida como la intersección de los planos $\pi_1: x - y = 0$ y $\pi_2: y - z = 0$, con el plano $\pi_3: x + y + 2z - 4 = 0$. (Sugerencia: Obtén primero el vector director de la recta $r$ mediante el producto vectorial de los normales de $\pi_1$ y $\pi_2$).
Halla el ángulo que forma la recta $r$, definida como la intersección de los planos $\pi_1 \equiv x - y = 0$ y $\pi_2 \equiv 2y + z = 1$, con el plano…
Halla el ángulo que forma la recta $r$, definida como la intersección de los planos $\pi_1 \equiv x - y = 0$ y $\pi_2 \equiv 2y + z = 1$, con el plano $\alpha \equiv 3x - z = 0$.
En el diseño de un auditorio de vanguardia, se proyecta una viga de soporte que sigue la dirección de la recta $s$, definida por la intersección de los planos:…
En el diseño de un auditorio de vanguardia, se proyecta una viga de soporte que sigue la dirección de la recta $s$, definida por la intersección de los planos:
$s \equiv \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$
Se desea que esta viga forme un ángulo $\alpha$ con el plano de la fachada principal $\pi \equiv x + ay + z = 3$. Si se sabe que $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{6}$, calcula el valor del coeficiente $a$ de la fachada.
Cómo obtener el plano que necesitas
Muchos problemas no te dan el plano ya escrito: te dan tres puntos, o una recta y una condición. Antes de calcular el ángulo hay que armar el plano.
Determina la ecuación implícita del plano $\pi$ que contiene a la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}$ y es perpendicular al plano…
Determina la ecuación implícita del plano $\pi$ que contiene a la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}$ y es perpendicular al plano $\sigma \equiv x - y + z + 3 = 0$. Una vez hallado, comprueba cuál es el ángulo que forma la recta $r$ con dicho plano $\pi$. ¿Era previsible el resultado? Razona tu respuesta.
Un brazo robótico industrial en una planta de ensamblaje debe desplazarse sobre una guía rectilínea $r$ que pasa por el origen de coordenadas $O(0,0,0)$ y por el punto…
Un brazo robótico industrial en una planta de ensamblaje debe desplazarse sobre una guía rectilínea $r$ que pasa por el origen de coordenadas $O(0,0,0)$ y por el punto $P(1, -1, 0)$. El brazo debe operar sobre una placa metálica inclinada que coincide con el plano $\pi$ que contiene a los puntos $A(2, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ y $C(0, 0, 2)$. Calcula el ángulo que forma la trayectoria del robot con la placa de trabajo.
Calcula el ángulo que forma la recta $r$ con el plano $\pi$, sabiendo que $r$ es la recta que contiene a la mediana que parte del vértice $A$ en el triángulo de vértices…
Calcula el ángulo que forma la recta $r$ con el plano $\pi$, sabiendo que $r$ es la recta que contiene a la mediana que parte del vértice $A$ en el triángulo de vértices $A(1, 2, 1)$, $B(3, 0, 1)$ y $C(1, 4, 3)$, y que el plano $\pi$ es el plano que contiene a los puntos $B$, $C$ y al origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$.
Ángulo con los planos coordenados y con un eje
Vuelve al principio: para saber con qué inclinación llegan los rayos a un panel, calculas el vector director de la trayectoria, el normal del plano del panel y aplicas $\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v||\vec n|}$.
Se ha instalado un panel solar representado por el plano $\pi \equiv x + y + az + d = 0$. Se sabe que el panel pasa por el punto $P(1, 2, 1)$ y que para maximizar su…
Se ha instalado un panel solar representado por el plano $\pi \equiv x + y + az + d = 0$. Se sabe que el panel pasa por el punto $P(1, 2, 1)$ y que para maximizar su eficiencia debe formar un ángulo de $60^\circ$ con el eje $OZ$ (la vertical).
Calcula los posibles valores del parámetro $a$ (supón $a > 0$).
Calcula el ángulo que forma la recta $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ con cada uno de los planos coordenados. ¿Suman $180^\circ$ estos tres…
Calcula el ángulo que forma la recta $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ con cada uno de los planos coordenados. ¿Suman $180^\circ$ estos tres ángulos? Justifica tu respuesta utilizando los conceptos de vectores directores y normales.
Se considera una pirámide cuya base es el plano $XY$ ($z=0$) y cuya arista lateral principal está sobre la recta $r$ que une el vértice superior $V(2, 2, 5)$ con el…
Se considera una pirámide cuya base es el plano $XY$ ($z=0$) y cuya arista lateral principal está sobre la recta $r$ que une el vértice superior $V(2, 2, 5)$ con el punto de la base $P(0, 0, 0)$.
- a) Halla el ángulo que forma dicha arista con el plano de la base.
- b) Si quisiéramos inclinar el plano de la base para que el ángulo con la arista fuese de $90^\circ$, ¿cuál debería ser la ecuación del nuevo plano de la base si debe seguir pasando por el origen?