Funciones de variable real. Tipos de funciones
Diego contrató un plan de datos: los primeros 5 GB cuestan $\$150$ y cada GB extra cuesta $\$20$. Al ver la gráfica de su recibo notó que tiene un "codo" pero no un salto. ¿Qué tipo de función es y por qué no hay salto? Para estudiar límites y continuidad necesitas dominar qué es una función, de qué tipo es y cómo se combinan. Este repaso te da esa base.
Dominio y tipos de funciones
Mueve la vista y observa dónde empieza cada gráfica: la raíz arranca en $x=-4$ y el logaritmo en $x=1$ (sin incluirlo). Eso es justo su dominio.
Cuando una función mezcla varios tipos, escribes todas las condiciones y las cruzas. Si hay un cociente bajo una raíz, necesitas un análisis de signos.
Determina el dominio de definición de las siguientes funciones de variable real basándote en las restricciones de las operaciones que las forman: a)…
Determina el dominio de definición de las siguientes funciones de variable real basándote en las restricciones de las operaciones que las forman:
- a) $f(x) = \frac{2x - 5}{x^2 - 9}$
- b) $g(x) = \sqrt{3x + 12}$
- c) $h(x) = \ln(x - 1)$
Clasifica las siguientes funciones según su tipo (polinómica, racional, irracional, exponencial o logarítmica): a) $f(x) = 3^x - 1$ b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$ c)…
Clasifica las siguientes funciones según su tipo (polinómica, racional, irracional, exponencial o logarítmica):
- a) $f(x) = 3^x - 1$
- b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$
- c) $h(x) = \log_{10}(x^2)$
- d) $i(x) = x^3 - 5x + 2$
- e) $j(x) = \sqrt[3]{x - 4}$
Determina el dominio de definición más amplio posible para la siguiente función real de variable real, expresando el resultado mediante la unión de intervalos: $$f(x) =…
Determina el dominio de definición más amplio posible para la siguiente función real de variable real, expresando el resultado mediante la unión de intervalos:
$$f(x) = \sqrt{\frac{\ln(x^2 - 8)}{|x| - 4}}$$Para resolverlo, deberás considerar simultáneamente las restricciones impuestas por la raíz cuadrada, el logaritmo neperiano y el denominador de la fracción.
Cortes con los ejes y discontinuidad evitable
Los cortes con el eje $X$ se hallan resolviendo $f(x)=0$ (en una racional, el numerador igual a cero, siempre dentro del dominio). El corte con el eje $Y$ es $f(0)$, si $0$ está en el dominio.
En una racional, si un valor anula a la vez numerador y denominador, al factorizar se cancela un factor. Ahí la función no está definida, pero la gráfica solo tiene un "hueco". Se llama discontinuidad evitable.
Dada la función racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2}$: 1. Calcula su dominio. 2. Identifica si existe algún punto donde la función presente una "discontinuidad…
Dada la función racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2}$:
-
Calcula su dominio.
-
Identifica si existe algún punto donde la función presente una "discontinuidad evitable" (un punto donde el numerador y el denominador se anulen simultáneamente).
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Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
Gráficas: parábolas, valor absoluto y transformaciones
Muchas gráficas salen de una función conocida con unas transformaciones:
| Cambio | Efecto en la gráfica de $y=f(x)$ |
|---|---|
| $f(x-h)$ | traslación $h$ unidades a la derecha (a la izquierda si $h<0$) |
| $f(x)+k$ | traslación $k$ unidades hacia arriba (hacia abajo si $k<0$) |
| $-f(x)$ | reflejo respecto al eje $X$ |
| $f(-x)$ | reflejo respecto al eje $Y$ |
| $\lvert f(x)\rvert$ | la parte que está debajo del eje $X$ se refleja hacia arriba |
| $f(\lvert x\rvert)$ | se borra la parte izquierda y se copia la derecha reflejada en el eje $Y$ |
El orden importa: primero lo que está dentro de la función, luego lo de fuera.
El valor absoluto se escribe a trozos: $\lvert u\rvert=u$ si $u\ge0$ y $\lvert u\rvert=-u$ si $u<0$. Por ejemplo, $\lvert x-3\rvert=\begin{cases}x-3 & x\ge3\\ -(x-3) & x<3\end{cases}$.
Para una parábola $y=ax^2+bx+c$, el vértice está en $x=-\dfrac{b}{2a}$. Si $a<0$ abre hacia abajo y el vértice es el máximo. El corte con $Y$ es $c$.
Dada la función con valor absoluto $f(x) = |x - 3|$, represéntala como una función definida a trozos y calcula su valor para $x = 0$ y $x = 5$.
Dada la función con valor absoluto $f(x) = |x - 3|$, represéntala como una función definida a trozos y calcula su valor para $x = 0$ y $x = 5$.
En el estudio de señales sonoras, se utiliza la función $s(t) = \ln(t)$ para representar la intensidad de una señal primaria. Debido a una interferencia, la señal…
En el estudio de señales sonoras, se utiliza la función $s(t) = \ln(t)$ para representar la intensidad de una señal primaria. Debido a una interferencia, la señal resultante se transforma según la regla $g(t) = |s(|t-2|)-1|$.
Representa gráficamente la función final $g(t)$ partiendo de la función elemental $\ln(t)$ y explicando detalladamente cada una de las transformaciones geométricas (traslaciones, simetrías y valores absolutos) que tienen lugar.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Crecimiento y decrecimiento
El cambio es el tema central del cálculo, así que conviene saber leerlo en una gráfica: ¿en qué intervalos la función sube y en cuáles baja?
Una forma práctica de decidirlo es la razón de cambio promedio entre dos puntos: $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$. Si es positiva, la función sube entre esos puntos; si es negativa, baja. El punto donde la gráfica pasa de subir a bajar es un máximo local; donde pasa de bajar a subir, un mínimo local.
Un dron de vigilancia realiza un vuelo de prueba siguiendo una trayectoria cuya altura en metros respecto al tiempo en segundos viene dada por la función: $$H(t) = -t^2…
Un dron de vigilancia realiza un vuelo de prueba siguiendo una trayectoria cuya altura en metros respecto al tiempo en segundos viene dada por la función:
$$H(t) = -t^2 + 20t + 5$$La gráfica de la trayectoria es la siguiente:
- a) ¿Desde qué altura despega el dron?
- b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza y en qué segundo ocurre?
- c) Si el dron debe aterrizar cuando su batería llega al $5\,\%$ (lo que ocurre a los $21$ segundos), ¿a qué altura se encontrará en ese momento? Explica si el resultado tiene sentido físico.
Funciones definidas a trozos
Vuelve al principio: la gráfica de Diego tiene un codo (cambia de pendiente) pero no un salto, porque los dos trozos valen lo mismo en $x=5$.
Cuando te dicen además que la gráfica pasa por un punto $(x_0, y_0)$, sustituyes en el trozo que corresponde a $x_0$ y obtienes otra ecuación. Con dos condiciones resuelves un sistema de $2\times2$ para $a$ y $b$.
Una empresa de telefonía ofrece un plan de datos donde los primeros $10$ GB cuestan $300$ pesos fijos. A partir de ahí, cada GB extra se cobra a $40$ pesos. La función…
Una empresa de telefonía ofrece un plan de datos donde los primeros $10$ GB cuestan $300$ pesos fijos. A partir de ahí, cada GB extra se cobra a $40$ pesos. La función que representa el costo total $C(x)$ en función de los GB consumidos $x$ es:
$C(x) = \begin{cases} 300 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 300 + 40(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$
Estudia si la función es continua en el punto crítico $x = 10$.
Un nuevo servicio de streaming de videojuegos aplica una tarifa mensual basada en el consumo de datos de alta velocidad. Los primeros $20$ GB están incluidos en una…
Un nuevo servicio de streaming de videojuegos aplica una tarifa mensual basada en el consumo de datos de alta velocidad. Los primeros $20$ GB están incluidos en una cuota fija de $300$ pesos. A partir de ahí, el precio por cada GB adicional aumenta de forma lineal según la función $P(x) = 300 + 10(x - 20)$, donde $x$ es el número total de GB consumidos.
Sin embargo, si el usuario supera los $100$ GB, la empresa aplica una penalización por exceso de tráfico y la función pasa a ser $P(x) = 2x^2 - 900$.
Escribe la expresión analítica de la función costo total $C(x)$ como una función definida por partes y comprueba si el precio "salta" o es continuo justo en el momento de consumir $100$ GB.
Dada la función definida a trozos: $$f(x) = \begin{cases} \frac{ax + b}{x - 2} & \text{si } x < 1 \\ \sqrt{x^2 + 3} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$ Halla los valores…
Dada la función definida a trozos:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{ax + b}{x - 2} & \text{si } x < 1 \\ \sqrt{x^2 + 3} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$Halla los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que la función pasa por el punto $(-2, 0)$ y que es continua en el punto de abscisa $x = 1$. Una vez hallados, estudia la simetría de la función en el intervalo $[1, +\infty)$.
Operaciones y composición
Recorrido de una composición: primero halla el recorrido de la función interna $u=g(x)$. Luego mira qué valores toma $f(u)$ para esos $u$. Por ejemplo, si $u\in[0, +\infty)$ y $f(u)=\dfrac{u-2}{u+3}=1-\dfrac{5}{u+3}$, esta función crece con $u$: parte de $f(0)=-\dfrac23$ y se acerca a $1$ sin alcanzarlo. El recorrido es $\left[-\dfrac23,\,1\right)$.
Dadas las funciones $f(x) = x + 3$ y $g(x) = x^2 - 1$, realiza las siguientes operaciones y determina el dominio de la función resultante: a) $(f + g)(x)$ b)…
Dadas las funciones $f(x) = x + 3$ y $g(x) = x^2 - 1$, realiza las siguientes operaciones y determina el dominio de la función resultante:
- a) $(f + g)(x)$
- b) $(f \times g)(x)$
- c) $(\frac{f}{g})(x)$
Considera las funciones $f(x) = \sqrt{x + 2}$ y $g(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$. 1. Halla la expresión de la función compuesta $(g \circ f)(x)$. 2. Determina el dominio de…
Considera las funciones $f(x) = \sqrt{x + 2}$ y $g(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$.
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Halla la expresión de la función compuesta $(g \circ f)(x)$.
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Determina el dominio de $(g \circ f)(x)$.
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¿Coincide este dominio con el de la función $h(x) = \frac{1}{x+1}$? Justifica tu respuesta.
Una empresa de ingeniería aeroespacial está diseñando la trayectoria de ascenso de una sonda. La altura $h$ en kilómetros, medida desde un nivel de referencia (negativa…
Una empresa de ingeniería aeroespacial está diseñando la trayectoria de ascenso de una sonda. La altura $h$ en kilómetros, medida desde un nivel de referencia (negativa por debajo de él), respecto al tiempo $t$ en minutos viene dada por una función compuesta. Se sabe que la función externa es $f(x) = \frac{x-2}{x+3}$ y la función interna es $g(t) = \sqrt{t^2 - 1}$.
Calcula la expresión analítica de la función de altura total $H(t) = (f \circ g)(t)$ y determina razonadamente su dominio y su recorrido en el contexto físico del problema, sabiendo que la sonda comienza su misión en $t = 1$.
Función inversa
La inversa $f^{-1}$ "deshace" a $f$: si $f(a)=b$ entonces $f^{-1}(b)=a$. Solo existe si $f$ es inyectiva: a valores distintos de $x$ les corresponden valores distintos de $y$. Para comprobarlo analíticamente, supón $f(a)=f(b)$ y demuestra que obligatoriamente $a=b$.
Para hallar la inversa: escribe $y=f(x)$, despeja $x$ y cambia los nombres $x\leftrightarrow y$.
Halla la función inversa $f^{-1}(x)$ de la función $f(x) = \frac{e^x + 3}{2}$. Indica el dominio y el recorrido de ambas funciones y comprueba gráficamente su simetría…
Halla la función inversa $f^{-1}(x)$ de la función $f(x) = \frac{e^x + 3}{2}$. Indica el dominio y el recorrido de ambas funciones y comprueba gráficamente su simetría respecto a la bisectriz del primer cuadrante.
Un algoritmo de inteligencia artificial procesa datos de entrada $x$ mediante una función de activación logística modificada: $$A(x) = \frac{10}{1 + e^{-0.5x}}$$ La…
Un algoritmo de inteligencia artificial procesa datos de entrada $x$ mediante una función de activación logística modificada:
$$A(x) = \frac{10}{1 + e^{-0.5x}}$$La figura muestra la gráfica de $A(x)$ para $x$ entre $-10$ y $10$.
Se desea encontrar la función inversa $A^{-1}(x)$ para que el sistema pueda realizar el proceso inverso (decodificación).
- a) Halla la expresión de la inversa $A^{-1}(x)$.
- b) Determina para qué valores de la salida $y$ es posible realizar la decodificación (rango de la función original) y justifica tu respuesta.
Sea la función $f(x) = \frac{3^x - 1}{3^x + 1}$. Demuestra analíticamente que la función es inyectiva en todo su dominio. A continuación, obtén la expresión de su…
Sea la función $f(x) = \frac{3^x - 1}{3^x + 1}$. Demuestra analíticamente que la función es inyectiva en todo su dominio. A continuación, obtén la expresión de su función inversa $f^{-1}(x)$ y especifica claramente el dominio y el recorrido de dicha inversa.
Simetría: funciones pares e impares
Seno y coseno: paridad
El coseno es par y el seno es impar: $\cos(-x)=\cos x$ y $\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}x$. En la circunferencia unitaria, el ángulo $-x$ está reflejado respecto al eje horizontal del ángulo $x$: la coordenada horizontal (coseno) es la misma y la vertical (seno) cambia de signo.
Con esto y las reglas de paridad de productos se estudian funciones como $g(x)=x\cos x$: $g(-x)=(-x)\cos(-x)=-x\cos x=-g(x)$, así que es impar (impar por par da impar).
Estudia la simetría (par, impar o asimétrica) de las siguientes funciones justificando los pasos mediante el cálculo de $f(-x)$: 1. $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$ 2.…
Estudia la simetría (par, impar o asimétrica) de las siguientes funciones justificando los pasos mediante el cálculo de $f(-x)$:
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$f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$
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$g(x) = x \times \cos(x)$
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$h(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ (Función coseno hiperbólico)
Se considera la familia de funciones $f_k(x) = \frac{x^2 - k^2}{x^2 + k^2}$ donde $k \in \mathbb{R}, k \neq 0$. 1. Demuestra que para cualquier valor de $k$, la función…
Se considera la familia de funciones $f_k(x) = \frac{x^2 - k^2}{x^2 + k^2}$ donde $k \in \mathbb{R}, k \neq 0$.
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Demuestra que para cualquier valor de $k$, la función es par.
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Determina los puntos de corte con los ejes en función de $k$.
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Encuentra el valor de $k$ para que la función tome el valor $y = 1/2$ cuando $x = 3$.
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Discute si existe algún valor de $k$ para el cual la función tenga asíntotas verticales.
Toda función $f(x)$ puede descomponerse, en los puntos $x$ en los que existen $f(x)$ y $f(-x)$, de forma única como la suma de una función par $g(x)$ y una función impar…
Toda función $f(x)$ puede descomponerse, en los puntos $x$ en los que existen $f(x)$ y $f(-x)$, de forma única como la suma de una función par $g(x)$ y una función impar $h(x)$, de tal manera que:
$$g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} \quad \text{y} \quad h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$$Dada la función $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$, halla sus componentes par e impar. Comprueba analíticamente que, efectivamente, $g(x)$ es una función par y $h(x)$ es una función impar. ¿Cuáles son los dominios de cada una de estas tres funciones?
Leer límites y asíntotas en una gráfica
Esto prepara el capítulo. El límite de $f$ cuando $x\to a$ es el valor al que se acercan las $y$ cuando $x$ se acerca a $a$, sin importar lo que valga $f(a)$. Se mira por separado por la izquierda ($x\to a^-$) y por la derecha ($x\to a^+$).
En una gráfica, un círculo vacío indica un punto que no pertenece a la gráfica y un círculo relleno, un punto que sí.
En la figura: $\lim_{x\to1^-}f(x)=2$, $\lim_{x\to1^+}f(x)=1$ y $f(1)=3$. Como los límites laterales no coinciden, el límite en $x=1$ no existe, y la función tiene un salto.
Asíntotas. Una asíntota vertical $x=a$ aparece donde la función "se dispara" ($\to\pm\infty$) al acercarse a $a$. Una asíntota horizontal $y=b$ aparece cuando las $y$ se acercan a $b$ al ir $x$ muy a la izquierda o muy a la derecha.
En esa gráfica, $x=1$ es asíntota vertical y $y=2$ es asíntota horizontal.
Límite por sustitución. Si $f$ es polinómica, exponencial, raíz o racional y $a$ está en su dominio, $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Si el resultado es un número real, el límite es finito.
Calcula los siguientes límites directos por sustitución, comprobando si el valor obtenido es finito: a) $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1)$ b)…
Calcula los siguientes límites directos por sustitución, comprobando si el valor obtenido es finito:
- a) $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1)$
- b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + 1}{x + 3}$
- c) $\lim_{x \to -1} \sqrt{x + 5}$
A partir de la siguiente gráfica de la función $f(x)$, identifica los valores de los límites laterales y la imagen de la función en el punto de discontinuidad $x = 1$.…
A partir de la siguiente gráfica de la función $f(x)$, identifica los valores de los límites laterales y la imagen de la función en el punto de discontinuidad $x = 1$. En la gráfica, el círculo vacío indica un punto que no pertenece a la gráfica y el círculo relleno indica un punto que sí pertenece a ella.
- a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$
- b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$
- c) $f(1)$
Observa la siguiente gráfica e identifica visualmente las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales:
Observa la siguiente gráfica e identifica visualmente las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales: