Ecuación de un plano en el espacio
Un tripié nunca cojea, pero una mesa de cuatro patas sí puede cojear. ¿Por qué tres puntos siempre bastan para fijar un plano? Una recta necesita un punto y un vector director. Un plano, que es una superficie, necesita un punto y dos direcciones, o bien un punto y un vector perpendicular a él (el vector normal). De ahí salen varias formas de escribir su ecuación, todas equivalentes.
Ecuación vectorial y paramétricas
Es la misma idea que en la recta: te mueves desde $A$ cierto tanto en la dirección de $\vec u$ y cierto tanto en la de $\vec v$, y con eso alcanzas todo el plano.
Ecuación general: punto y vector normal
¿Por qué? Un punto $X$ está en el plano si y solo si $\vec{PX}$ es perpendicular a $\vec n$, es decir, si el producto punto $\vec n\cdot\vec{PX}=0$. Al escribirlo en coordenadas sale la ecuación.
Casos frecuentes:
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Si una recta tiene vector director $\vec d$, el plano perpendicular a ella tiene a $\vec d$ como vector normal.
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Dos planos paralelos comparten (o tienen proporcional) el vector normal; solo cambia $D$.
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Si te dan paramétricas, el normal es el producto cruz $\vec n=\vec u\times\vec v$.
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Un punto $Q$ pertenece al plano si al sustituir sus coordenadas la ecuación se cumple.
Dada la ecuación del plano que representa una de las paredes de una habitación, $\pi \equiv 2x - 3y + z - 6 = 0$, indica razonadamente si los siguientes puntos…
Dada la ecuación del plano que representa una de las paredes de una habitación, $\pi \equiv 2x - 3y + z - 6 = 0$, indica razonadamente si los siguientes puntos pertenecen a dicha pared:
- a) $Q(3, 0, 0)$
- b) $R(1, 1, 1)$
Un ingeniero está diseñando la base de una pieza mediante un programa de CAD. La base debe ser un plano que pase por el punto $P(2, -1, 3)$ y cuyo vector normal sea…
Un ingeniero está diseñando la base de una pieza mediante un programa de CAD. La base debe ser un plano que pase por el punto $P(2, -1, 3)$ y cuyo vector normal sea $\vec{n} = (3, 2, -4)$. Calcula la ecuación general del plano que define dicha base.
La superficie de un panel solar en un satélite se puede representar mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:…
La superficie de un panel solar en un satélite se puede representar mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:
$\begin{cases} x = 1 + \lambda + 2\mu \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\mu \end{cases}$
Obtén la ecuación general o implícita de dicho plano.
El plano que pasa por tres puntos
Puntos coplanares. Cuatro puntos son coplanares si el cuarto cumple la ecuación del plano de los otros tres. Si la ecuación contiene un parámetro $k$, al sustituir el cuarto punto sale una ecuación para $k$.
En un escenario de realidad virtual, tres sensores están situados en los puntos $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ y $C(0, 0, 3)$. Determina la ecuación general del plano que…
En un escenario de realidad virtual, tres sensores están situados en los puntos $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ y $C(0, 0, 3)$. Determina la ecuación general del plano que contiene a estos tres sensores.
Un arquitecto está diseñando una cubierta plana para un pequeño pabellón. La cubierta debe apoyarse sobre tres pilares cuyos extremos superiores están situados en los…
Un arquitecto está diseñando una cubierta plana para un pequeño pabellón. La cubierta debe apoyarse sobre tres pilares cuyos extremos superiores están situados en los puntos $A(2, 0, 3)$, $B(0, 4, 3)$ y $C(1, 1, 5)$, donde las unidades están en metros.
- a) Obtén la ecuación general o implícita del plano que contiene a la cubierta.
- b) Calcula los puntos de corte de dicho plano con los ejes de coordenadas para determinar dónde se situarían los anclajes si la cubierta se extendiera hasta tocar los muros principales (ejes).
Halla el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que los puntos $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$, $C(2, 1, 0)$ y $D(k, k, 2)$ sean coplanarios. Una vez hallado $k$,…
Halla el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que los puntos $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$, $C(2, 1, 0)$ y $D(k, k, 2)$ sean coplanarios. Una vez hallado $k$, escribe la ecuación del plano que los contiene en forma paramétrica.
Plano por una recta y un punto, o por dos rectas
Casi siempre te piden un plano a partir de rectas. La estrategia es la misma: conseguir un punto y dos vectores directores (o un normal).
| Datos | Punto | Vectores en el plano |
|---|---|---|
| Recta $r$ y punto $P$ exterior | $P$ (o uno de $r$) | $\vec d_r$ y $\vec{AP}$, con $A\in r$ |
| Dos rectas secantes | el punto de corte | $\vec d_r$ y $\vec d_s$ |
| Recta $r$ y paralelo a otra recta $s$ | un punto de $r$ | $\vec d_r$ y $\vec d_s$ |
Para que el plano quede determinado, los dos vectores no deben ser proporcionales (por eso, en el último caso, $\vec d_s$ no puede ser proporcional a $\vec d_r$). Para dos rectas secantes, primero verifica que realmente se cortan: resuelve el sistema que iguala sus coordenadas.
Determina la ecuación del plano que contiene a la recta $r \equiv \begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$ y que además pasa por el punto exterior…
Determina la ecuación del plano que contiene a la recta $r \equiv \begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$ y que además pasa por el punto exterior $P(1, 1, 1)$.
Determina la ecuación del plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ dada por: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$$ y…
Determina la ecuación del plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ dada por:
$$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$$y es paralelo a la recta $s$, que pasa por los puntos $P(0, 2, 1)$ y $Q(1, 2, 4)$. Justifica por qué el vector director de $s$ no puede ser proporcional al de $r$ para que el plano esté unívocamente determinado.
Halla la ecuación del plano que contiene a las siguientes rectas, verificando primero que se cortan en un punto: $$r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}…
Halla la ecuación del plano que contiene a las siguientes rectas, verificando primero que se cortan en un punto:
$$r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3} \quad , \quad s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{-1}$$Si un tercer rayo láser sigue la dirección del vector normal a este plano y sale del punto de intersección de $r$ y $s$, ¿cuál sería su ecuación vectorial?
Intersección de una recta con un plano
Un rayo láser que sale de un punto y choca contra un espejo plano, un dron que atraviesa una pantalla: en todos estos casos preguntan dónde la recta toca al plano.
Si la recta viene en forma continua, iguala las fracciones a $t$ para obtener las paramétricas. Si viene como intersección de dos planos, el punto de corte con un tercer plano es la solución del sistema de tres ecuaciones.
En una misión de rescate, un dron se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea dada por la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{-1}$. El dron…
En una misión de rescate, un dron se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea dada por la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{-1}$. El dron debe emitir una señal de radiofrecuencia que solo es efectiva si choca perpendicularmente contra una pantalla plana de seguridad.
- a) Determina la ecuación del plano que representa dicha pantalla si esta debe pasar por el punto $P(2, 2, 2)$ y ser perpendicular a la trayectoria del dron.
- b) Calcula el punto exacto donde la trayectoria del dron impactaría contra la pantalla.
Un rayo láser parte del punto $A(1, 2, -2)$ y sigue la dirección del vector $\vec{u} = (1, -1, 1)$ hasta impactar en un espejo plano que contiene a la recta…
Un rayo láser parte del punto $A(1, 2, -2)$ y sigue la dirección del vector $\vec{u} = (1, -1, 1)$ hasta impactar en un espejo plano que contiene a la recta $s: \begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$ y al punto $B(0, 0, 4)$.
- a) Calcula la ecuación del plano $\pi$ donde se encuentra el espejo.
- b) Halla las coordenadas del punto de impacto $P$ del láser sobre el espejo.
Ecuación segmentaria
Volumen del tetraedro. El plano y los tres planos coordenados encierran un tetraedro con vértices $O$, $(a,0,0)$, $(0,b,0)$, $(0,0,c)$. Su volumen es
$$V=\frac{abc}{6}$$(un sexto del volumen del prisma rectangular de aristas $a, b, c$).
Un arquitecto utiliza la "ecuación segmentaria" para definir un techo inclinado que corta a los ejes de coordenadas en los puntos $(4, 0, 0)$, $(0, 3, 0)$ y $(0, 0, 2)$.…
Un arquitecto utiliza la "ecuación segmentaria" para definir un techo inclinado que corta a los ejes de coordenadas en los puntos $(4, 0, 0)$, $(0, 3, 0)$ y $(0, 0, 2)$. Escribe directamente su ecuación y transfórmala a la forma general $Ax + By + Cz + D = 0$.
Un plano $\pi$ corta a los ejes de coordenadas en los puntos $X(a, 0, 0)$, $Y(0, b, 0)$ y $Z(0, 0, c)$. Se sabe que el plano pasa por el punto $P(1, 2, 2)$ y que las…
Un plano $\pi$ corta a los ejes de coordenadas en los puntos $X(a, 0, 0)$, $Y(0, b, 0)$ y $Z(0, 0, c)$. Se sabe que el plano pasa por el punto $P(1, 2, 2)$ y que las distancias al origen desde los puntos de corte son iguales ($a = b = c$).
- a) Escribe la ecuación general del plano.
- b) Calcula el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas y los tres puntos de corte con los ejes.
El haz de planos
¿Por qué funciona? Si un punto de $r$ anula $\pi_1$ y $\pi_2$, anula también cualquier combinación de ambas; así que todos esos planos contienen a $r$.
Si la recta viene dada en forma continua o paramétrica, primero escríbela como intersección de dos planos (igualando dos a dos las fracciones). Otras condiciones se traducen así: perpendicular a un plano $\sigma$ significa $\vec n\cdot\vec n_\sigma=0$ (da una ecuación para $\lambda$); paralelo a una recta significa $\vec n\cdot\vec d=0$.
Haz de planos y tetraedro de volumen mínimo
Si pides que un plano del haz forme con los ejes un tetraedro de volumen mínimo, combinas el haz, la segmentaria y la derivada (optimización: modelar, derivar y justificar el mínimo).
Se considera el haz de planos cuya arista es la recta de intersección de los planos $\pi_1 \equiv 2x - y + z - 3 = 0$ y $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 1 = 0$. Halla el plano…
Se considera el haz de planos cuya arista es la recta de intersección de los planos $\pi_1 \equiv 2x - y + z - 3 = 0$ y $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 1 = 0$. Halla el plano perteneciente a dicho haz que pasa por el punto medio del segmento de extremos $A(1, 2, -1)$ y $B(3, 0, 5)$.
Se considera el haz de planos cuya arista es la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$. Calcula la ecuación del plano $\pi$ perteneciente a dicho haz…
Se considera el haz de planos cuya arista es la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$. Calcula la ecuación del plano $\pi$ perteneciente a dicho haz que cumple las siguientes dos condiciones simultáneamente:
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Es perpendicular al plano $\sigma: x - 2y + z - 5 = 0$.
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El punto $P(0, a, 1)$ pertenece al plano $\pi$ para algún valor real de $a$.
Determina el valor de $a$ y la ecuación general de $\pi$.
Encuentra la ecuación del plano $\pi$ que contiene a la recta intersección de los planos $\alpha: 2x - y + 3z = 1$ y $\beta: x + 2y - z = 0$, y que corta a los semiejes…
Encuentra la ecuación del plano $\pi$ que contiene a la recta intersección de los planos $\alpha: 2x - y + 3z = 1$ y $\beta: x + 2y - z = 0$, y que corta a los semiejes coordenados positivos $OX$, $OY$ y $OZ$ en los puntos $P$, $Q$ y $R$ de forma que el volumen del tetraedro formado por el origen y estos puntos sea mínimo.
Distancia, ángulo y posición entre planos
Varios problemas de planos necesitan tres herramientas rápidas (se estudian a fondo en otros apartados).
¿Por qué? La distancia es la longitud de la proyección de $\vec{QP}$ sobre $\vec n$, con $Q$ un punto del plano; el ángulo entre planos es el de sus perpendiculares.
Plano paralelo a una recta. Una recta con dirección $\vec d$ es paralela al plano si $\vec n\cdot\vec d=0$; entonces todos sus puntos están a la misma distancia del plano y esa es la distancia recta–plano. Para pedir que un plano sea paralelo a dos rectas, toma $\vec n=\vec d_r\times\vec d_s$.
Tres planos. Para estudiar su posición según un parámetro $k$, plantea el sistema $3\times3$ y resuélvelo por el método de reducción (eliminación de Gauss), discutiendo cuándo es consistente con solución única, con infinitas soluciones o inconsistente.
Dados los planos $\pi_1 \equiv (a-2)x + 2y + z = 0$ y $\pi_2 \equiv 4x + ay + 2z = b$: a) Calcula los valores de $a$ y $b$ para que los planos sean coincidentes. b)…
Dados los planos $\pi_1 \equiv (a-2)x + 2y + z = 0$ y $\pi_2 \equiv 4x + ay + 2z = b$:
- a) Calcula los valores de $a$ y $b$ para que los planos sean coincidentes.
- b) Calcula los valores de $a$ y $b$ para que los planos sean paralelos pero no coincidentes.
- c) ¿Qué relación debe existir entre $a$ y $b$ para que el origen de coordenadas pertenezca a la intersección de ambos planos?
Consideramos las rectas secantes $r$ y $s$ que definen un plano $\alpha$. La recta $r$ pasa por $P(1, 0, 1)$ con dirección $\vec{d_r} = (2, 1, -1)$ y la recta $s$ pasa…
Consideramos las rectas secantes $r$ y $s$ que definen un plano $\alpha$. La recta $r$ pasa por $P(1, 0, 1)$ con dirección $\vec{d_r} = (2, 1, -1)$ y la recta $s$ pasa por $Q(1, 0, 1)$ con dirección $\vec{d_s} = (0, 1, 1)$.
Calcula la ecuación de un plano $\pi$ que sea paralelo a $\alpha$ y tal que la esfera de centro $C(3, 2, 1)$ y radio $R=2$ sea tangente a dicho plano $\pi$. Obtén las dos posibles soluciones.
Un dron se desplaza de forma rectilínea siguiendo la trayectoria de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{2}$. Se quiere instalar una pantalla de…
Un dron se desplaza de forma rectilínea siguiendo la trayectoria de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{2}$. Se quiere instalar una pantalla de protección plana $\pi$ que contenga a la recta $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2 \\ z = 1-t \end{cases}$.
Halla la ecuación del plano $\pi$ de modo que sea paralelo a la trayectoria del dron. Calcula la distancia mínima a la que pasará el dron de dicha pantalla.