Método de Gauss (eliminación de Gauss-Jordan)

Resuelve el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas utilizando el método de Gauss. Aunque podrías usar otros métodos de cursos anteriores, el objetivo es que practiques la transformación de la matriz de coeficientes para obtener una forma escalonada:

$$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$$

Para ayudarte, ilustramos el proceso de "hacer cero" debajo del primer elemento de la diagonal:

En el método de Gauss, el paso final es la sustitución hacia atrás. Resuelve el siguiente sistema que ya se encuentra en forma escalonada (triangular):

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2y + 3z = 11 \\ 4z = 12 \end{cases}$$

Dada la siguiente matriz ampliada $(A|B)$ asociada a un sistema de ecuaciones, realiza las operaciones elementales necesarias para obtener una matriz escalonada y resuelve el sistema:

$$(A|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 5 \end{array} \right)$$

Obtén la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el algoritmo de Gauss, realizando las operaciones elementales fila necesarias para triangular la matriz:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x - 5y + 6z = 29 \end{cases}$$

A veces es conveniente cambiar el orden de las ecuaciones para facilitar los cálculos (buscar el "1" como pivote). Reordena y resuelve por Gauss el siguiente sistema:

$$\begin{cases} 3x - y + 2z = 7 \\ 2x + y + z = 6 \\ x + y + z = 4 \end{cases}$$

Un centro de alto rendimiento deportivo organiza un campamento de verano. Han contratado a un total de $45$ monitores entre especialistas en natación, atletismo y ciclismo.

• El número de monitores de natación es el doble que el de atletismo.

• Si contrataran a $5$ monitores más de atletismo, su número igualaría al de ciclismo.

Utiliza el método de Gauss para hallar cuántos monitores hay de cada especialidad.

Una empresa tecnológica fabrica tres modelos de tarjetas gráficas: GT, Pro y Ultra. Se sabe que:

• El costo total de producir una unidad de cada modelo es de $\$19\,000$.

• El costo de fabricar dos unidades del modelo GT es igual a la suma de los costos de una unidad de Pro y una de Ultra.

• Si se fabrican tres unidades de Ultra, el costo supera en $\$2\,000$ al costo de fabricar una de cada uno de los otros dos modelos juntos (GT y Pro).

Plantea un sistema de ecuaciones y utiliza el método de escalonamiento de Gauss para determinar el costo de producción de cada modelo.

Tres amigos, Alba, Bruno y Carlos, están ahorrando para un viaje de fin de curso que cuesta $\$24\,000$ por persona.

• Entre los tres tienen ahorrados la mitad del dinero necesario para el viaje de Bruno.

• El triple de lo que tiene Alba menos lo que tiene Carlos es igual a lo que tiene Bruno.

• Si Alba le diera $\$2\,000$ a Carlos, ambos tendrían la misma cantidad.

Plantea el sistema y resuélvelo por Gauss para saber cuánto tiene ahorrado cada uno y cuánto les falta para poder irse de viaje.

Clasifica el siguiente sistema según su número de soluciones tras aplicar el método de Gauss. Indica si es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible basándote en la última fila obtenida:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = 1 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$

Un sistema Compatible Indeterminado es aquel que tiene infinitas soluciones. Utiliza el método de Gauss para comprobar que el siguiente sistema lo es y escribe su solución general en función de un parámetro $\lambda$ (haciendo $z = \lambda$):

$$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 2 \\ x - 2y = -1 \end{cases}$$

Resuelve mediante el Método de Gauss el siguiente sistema de ecuaciones lineales. En caso de que el sistema sea compatible indeterminado, escribe la solución general en función de un parámetro $\lambda$:

$$\begin{cases} 2x - y + 3z = 5 \\ x + 2y - z = 0 \\ x - 3y + 4z = 5 \end{cases}$$

Antes de comenzar, reflexiona sobre la elección del "pivote" para facilitar los cálculos.

Interpreta geométricamente la posición relativa de los tres planos definidos por las siguientes ecuaciones utilizando el método de Gauss para analizar el sistema:

$$\pi_1: x + 2y - z = 3$$ $$\pi_2: 2x - y + z = 1$$ $$\pi_3: 5x + 5y - 2z = 10$$

¿Se cortan en un punto, en una recta o no tienen puntos comunes? Justifica tu respuesta tras realizar la transformación de la matriz ampliada.

Considera el sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases}$

1. a) Discute el sistema para los diferentes valores de $a$ real.

1. b) Si $a = 1$, describe geométricamente la solución.

1. c) Si $a = -2$, demuestra mediante Gauss que el sistema es incompatible. ¿Qué configuración geométrica forman los tres planos en este caso? Justifica tu respuesta con las posiciones relativas de los planos (por ejemplo, estudiando sus vectores normales) y ayúdate de un esquema hecho por ti.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo:

$$\begin{cases} x + 2y + 3z = 0 \\ 3x + y - z = 0 \\ 2x - y - 4z = 0 \end{cases}$$

1. a) Demuestra, mediante el escalonamiento de la matriz de coeficientes, que el sistema admite soluciones distintas de la trivial ($x=0, y=0, z=0$).
2. b) Obtén la solución paramétrica del sistema.

Sea el sistema homogéneo dependiente del parámetro $m$:

$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x + my + z = 0 \\ 2x + y + mz = 0 \end{cases}$

1. a) Utiliza el método de Gauss para encontrar los valores de $m$ para los cuales el sistema admite soluciones distintas de la trivial $(0,0,0)$.
2. b) Para el valor entero de $m$ hallado en el apartado anterior, resuelve el sistema y obtén la expresión paramétrica de la solución.
3. c) Da una solución particular distinta de la trivial donde las incógnitas sean números enteros.

Tras aplicar parcialmente el método de Gauss a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas $(x, y, z)$, se ha llegado a la siguiente matriz ampliada:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & m^2-4 & | & m-2 \end{pmatrix}$$

Discute el tipo de sistema (Compatible Determinado, Indeterminado o Incompatible) según los valores del parámetro $m$. ¿Existe algún valor de $m$ para el cual el sistema sea incompatible?

Dado el sistema dependiente del parámetro real $k$:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + kz = 5 \\ kx + y + z = 1 \end{cases}$$

1. a) Aplica el método de Gauss para obtener una matriz escalonada.
2. b) Determina para qué valores de $k$ el sistema es Compatible Determinado.
3. c) Resuélvelo para $k = 0$.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$

1. a) Discute el sistema utilizando el método de Gauss según los diferentes valores de $k$.
2. b) En el caso de que el sistema sea compatible indeterminado, determina la solución general y halla una solución particular tal que la suma de sus componentes sea igual a 1.
3. c) ¿Existe algún valor de $k$ para el cual el sistema represente tres planos que se cortan en una recta? Justifica la respuesta.

Una empresa de fintech utiliza un algoritmo para equilibrar tres carteras de inversión. El flujo de capital entre ellas está definido por el sistema:

$\begin{cases} x + 2y + 3z = 2 \\ 2x + 5y + 4z = -1 \\ x + 3y + az = b \end{cases}$

1. a) Aplica el método de Gauss para obtener una matriz escalonada y discute el sistema según los valores de $a$ y $b$.
2. b) Determina los valores de $a$ y $b$ para que las carteras no tengan un punto de equilibrio común (sistema incompatible).
3. c) Si $a = 1$ y $b = -3$, el sistema es compatible indeterminado. Encuentra la solución que minimiza el valor de $x^2$.

Estudia el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas mediante el método de Gauss:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ ax + 10y + 4z = 11 \\ 3x + 4y + 2z = a \end{cases}$

1. a) Determina para qué valor de $a$ el sistema es compatible.
2. b) Para dicho valor de $a$, resuelve el sistema e indica si la solución es única.
3. c) ¿Qué posición relativa ocupan los cuatro planos definidos por las ecuaciones cuando el sistema es compatible?

En una red eléctrica inteligente, las intensidades de corriente $I_1, I_2, I_3$ e $I_4$ en cuatro nodos cumplen las siguientes leyes de Kirchhoff, escaladas por un factor de resistencia $R$:

$\begin{cases} I_1 + I_2 - I_3 + I_4 = 0 \\ 2I_1 - I_2 + I_3 = 5 \\ I_1 + I_3 - 2I_4 = 1 \\ 3I_1 + I_4 = 6 \end{cases}$

1. a) Resuelve el sistema utilizando el método de Gauss-Jordan (consiguiendo el máximo número de ceros posible en la matriz).
2. b) ¿Es el sistema compatible determinado? Justifica si es posible eliminar una de las mediciones sin perder información sobre las intensidades.

Se desea construir un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que cumpla simultáneamente:

1. Sea compatible indeterminado.

2. Una de sus soluciones sea $(1, 0, 2)$.

3. Al aplicar el método de Gauss, la última fila de la matriz escalonada sea nula.

1. a) Propón un sistema original que cumpla estas condiciones.
2. b) Explica paso a paso el proceso de "escalonamiento" de tu sistema propuesto para demostrar que, efectivamente, es compatible indeterminado.

Un laboratorio de ingeniería aeroespacial está diseñando una nueva aleación utilizando tres metales: Titanio ($x$), Aluminio ($y$) y Vanadio ($z$). Las proporciones de masa deben satisfacer el siguiente sistema, donde $\alpha$ y $\beta$ son parámetros que dependen de la temperatura de fundición:

$\begin{cases} x + y + z = \alpha \\ \alpha x + y + z = 1 \\ x + \alpha y + z = \beta \end{cases}$

1. a) Discute la compatibilidad del sistema en función de los valores de $\alpha$ y $\beta$.
2. b) Si $\alpha = -1$, ¿qué valor debe tener $\beta$ para que el sistema sea compatible? Resuélvelo en ese caso mediante el método de Gauss.
3. c) Interpreta los resultados obtenidos si el sistema fuera incompatible desde el punto de vista de la fabricación de la aleación.