Integración por cambio de variable
Un dron de reconocimiento se mueve con velocidad $v(t) = \dfrac{1}{t\sqrt{\ln t}}$ metros por segundo, con $t > 1$. Para saber dónde está, necesitas una antiderivada de $v$, y esa función no está en ninguna tabla de integrales inmediatas. La técnica de este apartado la convierte en una integral que sí sabes resolver.
Cadena al revés: reconocer $g(u(x))\cdot u'(x)$
La regla de la cadena dice que $\big(G(u(x))\big)' = G'(u(x))\cdot u'(x)$. Leída al revés: si el integrando tiene la forma $g(u(x))\cdot u'(x)$, su antiderivada es $G(u(x))$, donde $G$ es una antiderivada de $g$. Cambiar de variable es ponerle nombre a esa $u(x)$ para no perderla de vista.
A veces, el cambio de variable nos ayuda a simplificar expresiones donde una función y su derivada aparecen multiplicadas. Resuelve la siguiente integral eligiendo el…
A veces, el cambio de variable nos ayuda a simplificar expresiones donde una función y su derivada aparecen multiplicadas. Resuelve la siguiente integral eligiendo el cambio $t = x^2 + 3$:
$$\int 2x \times (x^2 + 3)^4 \, dx$$Determina la primitiva de la función $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ mediante el cambio de variable $t = \ln(x)$. Este ejercicio es fundamental para identificar patrones donde…
Determina la primitiva de la función $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ mediante el cambio de variable $t = \ln(x)$. Este ejercicio es fundamental para identificar patrones donde el diferencial $dt$ consume parte de la expresión original.
Calcula la primitiva de la siguiente función utilizando el cambio de variable $t = e^x$. Observa cómo la presencia de la derivada de la exponencial en el numerador…
Calcula la primitiva de la siguiente función utilizando el cambio de variable $t = e^x$. Observa cómo la presencia de la derivada de la exponencial en el numerador facilita la resolución:
$$\int \frac{e^x}{e^x + 4} \, dx$$Cambios lineales: $u = ax+b$
El caso más sencillo es cuando lo que está dentro de la función es $ax+b$. Entonces $u' = a$ es una constante y se compensa dividiendo entre $a$.
Un equipo de ingenieros de sonido está analizando la onda de presión de un nuevo sintetizador. La función que describe la acumulación de energía viene dada por la…
Un equipo de ingenieros de sonido está analizando la onda de presión de un nuevo sintetizador. La función que describe la acumulación de energía viene dada por la integral de una potencia compuesta. Calcula la siguiente primitiva utilizando el cambio de variable $t = 3x - 5$:
$$\int (3x - 5)^7 \, dx$$Para calcular el área de una sección de un panel solar curvo, un arquitecto necesita resolver una integral irracional. Obtén la primitiva de la siguiente función…
Para calcular el área de una sección de un panel solar curvo, un arquitecto necesita resolver una integral irracional. Obtén la primitiva de la siguiente función realizando el cambio de variable sugerido $t = 2x + 1$:
$$\int \sqrt{2x + 1} \, dx$$En el diseño de una rampa para un skatepark, se utiliza una curva exponencial para suavizar la transición. Halla la familia de funciones primitivas de la siguiente…
En el diseño de una rampa para un skatepark, se utiliza una curva exponencial para suavizar la transición. Halla la familia de funciones primitivas de la siguiente expresión utilizando la sustitución $u = \frac{x}{2}$:
$$\int e^{x/2} \, dx$$El cambio explícito paso a paso
Cuando la estructura no se ve a simple vista, se escribe $u=u(x)$, se despeja $dx$ y se sustituye todo en función de $u$, incluido el $dx$.
Un programador de videojuegos está calculando la trayectoria oscilatoria de un proyectil en una atmósfera con resistencia. Determina la primitiva de la siguiente función…
Un programador de videojuegos está calculando la trayectoria oscilatoria de un proyectil en una atmósfera con resistencia. Determina la primitiva de la siguiente función trigonométrica mediante el cambio $t = 4x$:
$$\int \cos(4x) \, dx$$Calcula la primitiva de la función $f(x) = \frac{1}{5x + 2}$ realizando el cambio de variable $t = 5x + 2$. Recuerda que este método te permitirá obtener una integral de…
Calcula la primitiva de la función $f(x) = \frac{1}{5x + 2}$ realizando el cambio de variable $t = 5x + 2$. Recuerda que este método te permitirá obtener una integral de tipo logarítmico de forma más estructurada.
Un laboratorio biológico estudia la velocidad de crecimiento de una población de bacterias. La función de crecimiento viene dada por una expresión que requiere integrar…
Un laboratorio biológico estudia la velocidad de crecimiento de una población de bacterias. La función de crecimiento viene dada por una expresión que requiere integrar el siguiente cociente. Calcula la primitiva utilizando el cambio de variable $t = e^x$:
$$\int \frac{e^{2x}}{e^x + 1} \, dx$$Logaritmos y raíces sobre una función
Cuando aparece $\ln x$ junto a un factor $\frac1x$, o una raíz cuya expresión interior tiene una derivada a la vista, conviene llamar $u$ a esa expresión interior.
Si dentro de la integral aparece algo como $\ln(\ln x)$, puedes hacer dos cambios seguidos: primero $u=\ln x$, y después, en la nueva integral, otro cambio sobre lo que quede.
Vuelve al principio: en el dron, $u=\ln t$ da $du=\frac{dt}{t}$ y la integral se vuelve $\int u^{-1/2}\,du$, que es una potencia inmediata. Ya sabes cómo se hace.
Para analizar la intensidad de una señal acústica en decibelios, un técnico de sonido debe encontrar la función integral de la presión sonora. Calcula la siguiente…
Para analizar la intensidad de una señal acústica en decibelios, un técnico de sonido debe encontrar la función integral de la presión sonora. Calcula la siguiente integral indefinida aplicando el cambio de variable $t = \ln x$:
$$\int \frac{1}{x(1 + \ln^2 x)} \, dx$$Un dron de vigilancia se desplaza de modo que su velocidad en cada instante $t > 1$ viene dada por la función $v(t) = \frac{1}{t \sqrt{\ln t}}$. Si se sabe que la…
Un dron de vigilancia se desplaza de modo que su velocidad en cada instante $t > 1$ viene dada por la función $v(t) = \frac{1}{t \sqrt{\ln t}}$. Si se sabe que la posición es la integral de la velocidad, halla la expresión de la distancia recorrida mediante el cambio $u = \ln t$:
$$\int \frac{1}{t \sqrt{\ln t}} \, dt$$Resuelve la siguiente integral que combina logaritmos anidados, típica de los desafíos de fin de unidad de nivel avanzado: $$\int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} dx$$ Indica…
Resuelve la siguiente integral que combina logaritmos anidados, típica de los desafíos de fin de unidad de nivel avanzado:
$$\int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} dx$$Indica paso a paso los dos cambios de variable sucesivos que realizarías para simplificar la expresión hasta convertirla en una integral inmediata.
Raíces con $x$ fuera: despejar $x$
A veces, además de la raíz, queda una $x$ suelta en el numerador. Entonces la sustitución se hace por la raíz, y también se despeja $x$ para expresarla en función de la nueva variable.
En el diseño de una rampa para un skatepark, los ingenieros han determinado que el perfil lateral sigue la pendiente de una función cuya primitiva requiere resolver la…
En el diseño de una rampa para un skatepark, los ingenieros han determinado que el perfil lateral sigue la pendiente de una función cuya primitiva requiere resolver la siguiente integral. Utiliza el cambio de variable $t^2 = x + 3$ para calcular la familia de funciones primitivas de:
$$\int \frac{x}{\sqrt{x+3}} \, dx$$Halla la familia de primitivas de la siguiente función racional que contiene una raíz cuadrada en el denominador. Se sugiere emplear el cambio de variable…
Halla la familia de primitivas de la siguiente función racional que contiene una raíz cuadrada en el denominador. Se sugiere emplear el cambio de variable $t = \sqrt{x - 1}$ para simplificar la expresión:
$$\int \frac{x+2}{x \sqrt{x-1}} \, dx$$Un equipo de arquitectos está modelando la curvatura de un nuevo túnel cuya sección transversal responde a la integral: $$\int \frac{1}{1 + \sqrt{x+1}} dx$$ Calcula la…
Un equipo de arquitectos está modelando la curvatura de un nuevo túnel cuya sección transversal responde a la integral:
$$\int \frac{1}{1 + \sqrt{x+1}} dx$$Calcula la primitiva general utilizando la sustitución $t = \sqrt{x+1}$.
Radicales de distinto índice y raíces de exponenciales
Si aparecen $\sqrt{x}$ y $\sqrt[3]{x}$ a la vez, usa $x=t^n$ con $n$ igual al mcm de los índices. Así todas las raíces se vuelven potencias enteras de $t$.
Cuando la raíz contiene una exponencial, como $\sqrt{e^x-1}$, haz $t=\sqrt{e^x-1}$. Despejas $e^x=t^2+1$, de donde $x=\ln(t^2+1)$ y $dx=\dfrac{2t}{t^2+1}\,dt$. La integral se transforma en una racional.
Calcula la primitiva de la siguiente función con radicales de distinto índice. Para ello, utiliza un cambio de variable del tipo $x = t^n$, donde $n$ sea el mínimo común…
Calcula la primitiva de la siguiente función con radicales de distinto índice. Para ello, utiliza un cambio de variable del tipo $x = t^n$, donde $n$ sea el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces:
$$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x} + 1} \, dx$$Determina la familia de primitivas de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}}$.
Determina la familia de primitivas de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}}$.
Calcula la integral indefinida $\int \sqrt{e^x - 1} dx$. Sugerencia: Realiza el cambio de variable $\sqrt{e^x - 1} = t$. Deberás despejar $x$ y calcular su diferencial…
Calcula la integral indefinida $\int \sqrt{e^x - 1} dx$.
Sugerencia: Realiza el cambio de variable $\sqrt{e^x - 1} = t$. Deberás despejar $x$ y calcular su diferencial $dx$ con cuidado.
Cambios en integrales trigonométricas
Si el integrando tiene $\operatorname{sen}x$ o $\cos x$, a menudo la derivada de una está en la otra. Con $u=\cos x$ se tiene $du=-\operatorname{sen}x\,dx$; con $u=\operatorname{sen}x$, $du=\cos x\,dx$. Para potencias impares de seno o coseno se separa un factor y el resto se escribe con $\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1$.
A veces el cambio convierte la integral trigonométrica en una racional, que se resuelve con fracciones simples (ver PRIM-RAC).
En el estudio de circuitos de corriente alterna, aparece con frecuencia la necesidad de integrar funciones trigonométricas combinadas. Halla la primitiva de la siguiente…
En el estudio de circuitos de corriente alterna, aparece con frecuencia la necesidad de integrar funciones trigonométricas combinadas. Halla la primitiva de la siguiente función realizando el cambio de variable $t = \cos x$:
$$\int \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx$$Calcula la siguiente integral indefinida mediante el cambio de variable $t = \sin x$. Presta atención a cómo transformar el diferencial y las potencias restantes de…
Calcula la siguiente integral indefinida mediante el cambio de variable $t = \sin x$. Presta atención a cómo transformar el diferencial y las potencias restantes de $\cos x$ utilizando la identidad fundamental de la trigonometría:
$$\int \cos^3 x \, dx$$En el diseño de una rampa para un skatepark, un ingeniero necesita hallar la primitiva de la función de pendiente definida por: $$\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^2…
En el diseño de una rampa para un skatepark, un ingeniero necesita hallar la primitiva de la función de pendiente definida por:
$$\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^2 x - 5\operatorname{sen} x + 6} dx$$Realiza el cambio de variable adecuado para transformar esta integral trigonométrica en una integral racional y resuélvela mediante descomposición en fracciones simples.
Fijar la constante $C$ con una condición
La antiderivada general tiene una $C$ libre. Si el problema dice que la curva pasa por un punto, o que en cierto instante el dron está en cierta posición, sustituyes esos datos para fijar $C$. Hazlo después de deshacer el cambio, con la expresión en la variable original.
Halla la primitiva de la función $f(x) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}$ que pasa por el punto $(0, 0)$. Para ello, utiliza el cambio de variable $t^2 = e^x + 1$ y…
Halla la primitiva de la función $f(x) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}$ que pasa por el punto $(0, 0)$. Para ello, utiliza el cambio de variable $t^2 = e^x + 1$ y recuerda deshacer el cambio al finalizar el proceso.
La velocidad de un dron de reconocimiento viene dada por la expresión $v(t) = \frac{1}{t(1+\ln^2 t)}$, donde $t$ es el tiempo en segundos ($t > 0$). Si se sabe que en el…
La velocidad de un dron de reconocimiento viene dada por la expresión $v(t) = \frac{1}{t(1+\ln^2 t)}$, donde $t$ es el tiempo en segundos ($t > 0$). Si se sabe que en el instante inicial de la medición ($t=1$) el dron se encontraba en la posición $s=0$, obtén la función de posición $s(t)$ mediante el cambio de variable $u = \ln t$.
Calcula la integral indefinida de la siguiente función, que representa la tasa de variación del volumen de aire en los pulmones de un deportista durante un entrenamiento…
Calcula la integral indefinida de la siguiente función, que representa la tasa de variación del volumen de aire en los pulmones de un deportista durante un entrenamiento de alta intensidad:
$$\int \frac{1}{x \sqrt{1+\ln x}} dx$$Para resolverla, propón un cambio de variable que elimine la raíz cuadrada del denominador.