Probabilidad teórica
Tu clase de último año vende 100 boletos de rifa numerados del 1 al 100 para el viaje de la clase, a $\$1$ cada uno. Se saca un número de un sombrero. ¿Qué posibilidades tienes si tienes un boleto? ¿Y si tienes cinco? Cuando todos los boletos tienen la misma oportunidad, responder es solo contar: cuántos resultados te favorecen, de cuántos hay en total. Eso es la probabilidad teórica. La fórmula es fácil. En Estadística AP el verdadero trabajo es contar bien cuando hay miles de resultados.
¿Cuándo "al azar" también significa "igualmente probable"?
Se utiliza una ruleta dividida en $12$ sectores iguales, numerados del $1$ al $12$. Calcule la probabilidad de que al girar la ruleta la flecha se detenga en: a) Un…
Se utiliza una ruleta dividida en $12$ sectores iguales, numerados del $1$ al $12$. Calcule la probabilidad de que al girar la ruleta la flecha se detenga en:
- a) Un número divisible por $3$.
- b) Un número que sea cuadrado perfecto (como $1, 4, 9$).
- c) Un número mayor que $2$ y menor que $7$.
Lanzamos simultáneamente dos monedas equilibradas al aire. a) Escriba el espacio muestral del experimento. b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente una cara?…
Lanzamos simultáneamente dos monedas equilibradas al aire.
- a) Escriba el espacio muestral del experimento.
- b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente una cara?
- c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cruz?
Favorables entre posibles
En algunos problemas a esto se le llama regla de Laplace. Es exactamente la probabilidad teórica que ya conoces de cursos anteriores.
Sobre la baraja de 40 cartas
Algunos problemas usan una baraja de $40$ cartas en lugar de la estándar de $52$. Funciona igual que la baraja estándar, solo que con otro conjunto de cartas: hay $4$ palos de $10$ cartas cada uno, y no hay 8, 9 ni 10.
| Característica | Baraja de 40 cartas |
|---|---|
| Palos (4), como aparecen en los problemas | copas, oros, espadas, bastos |
| Cartas de cada palo (10) | as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sota, caballo, rey |
| Total | $4 \times 10 = 40$ cartas |
En una baraja estándar, $P(\text{corazón}) = \dfrac{13}{52} = \dfrac14$. En la baraja de 40 cartas, $P(\text{copa}) = \dfrac{10}{40} = \dfrac14$. El método es el mismo.
En una partida de un juego de rol, un jugador lanza un dado de ocho caras (octaedro) numeradas del $1$ al $8$. Si el dado está perfectamente equilibrado, calcule las…
En una partida de un juego de rol, un jugador lanza un dado de ocho caras (octaedro) numeradas del $1$ al $8$. Si el dado está perfectamente equilibrado, calcule las siguientes probabilidades utilizando la Regla de Laplace:
- a) Obtener un número par.
- b) Obtener un número mayor que $5$.
- c) Obtener un número primo.
De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta al azar. Determine la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que la carta sea un as. b) Que sea una copa.…
De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta al azar. Determine la probabilidad de los siguientes sucesos:
- a) Que la carta sea un as.
- b) Que sea una copa.
- c) Que sea el rey de oros.
Si elegimos al azar una letra de la palabra ESTADISTICA, determine la probabilidad de los siguientes eventos: a) Que la letra sea una vocal. b) Que la letra sea la S. c)…
Si elegimos al azar una letra de la palabra ESTADISTICA, determine la probabilidad de los siguientes eventos:
- a) Que la letra sea una vocal.
- b) Que la letra sea la S.
- c) Que la letra sea una consonante.
"No" y "o": complementos y traslapes
Muchas veces es más fácil contar lo que no quieres, o combinar dos eventos.
En un cajón hay $10$ calcetines negros, $6$ calcetines azules y $4$ calcetines blancos, todos ellos sueltos. Si elegimos uno al azar para ir a clase, calcule: a) La…
En un cajón hay $10$ calcetines negros, $6$ calcetines azules y $4$ calcetines blancos, todos ellos sueltos. Si elegimos uno al azar para ir a clase, calcule:
- a) La probabilidad de que sea azul.
- b) La probabilidad de que no sea blanco.
- c) La probabilidad de que sea negro o blanco.
Un grupo de estudiantes de 12.º grado organiza una rifa para el viaje de fin de curso. Han vendido boletos numerados del $1$ al $100$. Si el sorteo se realiza extrayendo…
Un grupo de estudiantes de 12.º grado organiza una rifa para el viaje de fin de curso. Han vendido boletos numerados del $1$ al $100$. Si el sorteo se realiza extrayendo un número al azar, halle la probabilidad de que el número premiado:
- a) Sea un múltiplo de $10$.
- b) Termine en la cifra $7$.
- c) Sea un número menor que $15$.
En un bombo de lotería hay $10$ bolas numeradas del $0$ al $9$. Se extraen dos bolas sucesivamente con reemplazamiento (se devuelve la primera antes de sacar la…
En un bombo de lotería hay $10$ bolas numeradas del $0$ al $9$. Se extraen dos bolas sucesivamente con reemplazamiento (se devuelve la primera antes de sacar la segunda). Calcule la probabilidad de que el número formado por ambas cifras (considerando la primera como decenas y la segunda como unidades) sea un múltiplo de $4$ o un número mayor que $75$.
Diagramas de Venn y tablas de doble entrada
Cuando un problema te da grupos que se traslapan, organiza los conteos en un diagrama de Venn o en una tabla. Entonces cada probabilidad es simplemente un conteo dividido entre el total.
Con tres grupos que se traslapan, llena el diagrama de Venn del centro hacia afuera.
Una tabla de doble entrada organiza la misma idea con filas y columnas.
| Toma el autobús | No lo toma | Total | |
|---|---|---|---|
| 11.º grado | 12 | 18 | 30 |
| 12.º grado | 15 | 5 | 20 |
| Total | 27 | 23 | 50 |
De la tabla: $P(\text{12.º grado}) = \tfrac{20}{50}$, $P(\text{11.º grado y toma el autobús}) = \tfrac{12}{50}$ y $P(\text{no toma el autobús}) = \tfrac{23}{50}$. El denominador es siempre el gran total, $50$.
En una clase hay $30$ alumnos, de los cuales $18$ son chicas y $12$ son chicos. Se sabe que a $10$ chicas y a $8$ chicos les gusta el podcast de matemáticas "Derivando".…
En una clase hay $30$ alumnos, de los cuales $18$ son chicas y $12$ son chicos. Se sabe que a $10$ chicas y a $8$ chicos les gusta el podcast de matemáticas "Derivando". Si se elige un alumno al azar, calcule la probabilidad de que:
- a) Sea un chico.
- b) Sea una chica a la que le guste el podcast.
- c) Sea una persona a la que no le guste el podcast.
Se ha realizado una encuesta en una escuela secundaria sobre el uso de redes sociales. De los $100$ estudiantes de 12.º grado, se sabe que $65$ usan TikTok, $40$ usan…
Se ha realizado una encuesta en una escuela secundaria sobre el uso de redes sociales. De los $100$ estudiantes de 12.º grado, se sabe que $65$ usan TikTok, $40$ usan Instagram y $15$ no usan ninguna de las dos aplicaciones. Si seleccionamos un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que:
-
a) Use ambas redes sociales.
-
b) Use TikTok pero no Instagram.
Se realiza un estudio sobre los hábitos de consumo de contenidos vía streaming* entre los jóvenes de una ciudad. Se sabe que: El $65\%$ tiene suscripción a la plataforma…
Se realiza un estudio sobre los hábitos de consumo de contenidos vía streaming entre los jóvenes de una ciudad. Se sabe que:
-
El $65\%$ tiene suscripción a la plataforma N.
-
El $50\%$ tiene suscripción a la plataforma D.
-
El $45\%$ tiene suscripción a la plataforma H.
-
El $30\%$ está suscrito a N y D.
-
El $25\%$ está suscrito a N y H.
-
El $20\%$ está suscrito a D y H.
-
El $10\%$ está suscrito a las tres plataformas.
Si se elige a un joven al azar, calcule la probabilidad de que esté suscrito únicamente a una de las tres plataformas.
Elegir el espacio muestral correcto
Con dos dados podrías enumerar las sumas del $2$ al $12$, pero esas $11$ sumas no son igualmente probables. Los resultados que sí lo son son los pares ordenados (dado 1, dado 2): $6 \times 6 = 36$.
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
La misma idea vale cuando sacas con reemplazo. Si sacas dos dígitos de una urna de bolas numeradas del $0$ al $9$, devolviendo la primera antes de sacar la segunda, obtienes $10 \times 10 = 100$ pares ordenados igualmente probables.
En un festival de juegos de mesa, se utilizan dos dados cúbicos equilibrados (con caras del 1 al 6). Un jugador lanza ambos dados a la vez. Calcule la probabilidad de…
En un festival de juegos de mesa, se utilizan dos dados cúbicos equilibrados (con caras del 1 al 6). Un jugador lanza ambos dados a la vez. Calcule la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas sea un número primo mayor que $5$.
Contar grupos: combinaciones
Cuando el espacio muestral tiene miles de resultados, cuenta con combinaciones en lugar de hacer listas. Si sacas un grupo de $k$ elementos de $n$ y el orden no importa, el número de grupos es
$$\binom{n}{k} = {}_nC_k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.$$De una baraja española de $40$ cartas se extraen dos cartas simultáneamente (lo que equivale a extraer una tras otra sin devolución). Calcule la probabilidad de que: a)…
De una baraja española de $40$ cartas se extraen dos cartas simultáneamente (lo que equivale a extraer una tras otra sin devolución). Calcule la probabilidad de que:
-
a) Ambas cartas sean del mismo palo.
-
b) Al menos una de las cartas sea un As.
En una urna de cristal para un sorteo de una tienda de tecnología hay $12$ bolas blancas y $8$ bolas negras. Se extraen tres bolas al azar, una a una y sin…
En una urna de cristal para un sorteo de una tienda de tecnología hay $12$ bolas blancas y $8$ bolas negras. Se extraen tres bolas al azar, una a una y sin reemplazamiento. Aplicando la regla de Laplace sobre el espacio muestral de sucesos elementales equiprobables, determine la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean del mismo color.
En un club de deportes electrónicos (eSports), se va a seleccionar un equipo de 5 jugadores para un torneo nacional. Al proceso de selección se han presentado 15…
En un club de deportes electrónicos (eSports), se va a seleccionar un equipo de 5 jugadores para un torneo nacional. Al proceso de selección se han presentado 15 candidatos: 8 especialistas en estrategia y 7 especialistas en reflejos. El reglamento del torneo exige que el equipo tenga, al menos, 3 especialistas en estrategia y, como mínimo, 1 especialista en reflejos. Si la directiva elige a los 5 integrantes al azar entre todos los candidatos, calcule la probabilidad de que el equipo cumpla estrictamente con el reglamento.
Contar arreglos: permutaciones
Cuando el orden importa, como en una fila para una foto, un plano de asientos o una palabra, cuenta arreglos. $n$ elementos distintos se pueden ordenar de $n!$ maneras.
Alrededor de una mesa redonda, girar a todos un asiento da el mismo arreglo. Un truco: fija el asiento de una persona y ordena a las otras $n - 1$ personas de $(n-1)!$ maneras.
Un grupo de $5$ amigos (Ana, Borja, Clara, David y Elena) va a posar en fila para una foto de graduación. Si se colocan de forma aleatoria, calcule la probabilidad de…
Un grupo de $5$ amigos (Ana, Borja, Clara, David y Elena) va a posar en fila para una foto de graduación. Si se colocan de forma aleatoria, calcule la probabilidad de que Ana y Elena aparezcan juntas en la foto.
En una cena de graduación de 12.º grado, se sientan 8 amigos en una mesa circular. Entre ellos están una pareja, Alicia y Bruno, que han discutido y no quieren sentarse…
En una cena de graduación de 12.º grado, se sientan 8 amigos en una mesa circular. Entre ellos están una pareja, Alicia y Bruno, que han discutido y no quieren sentarse juntos, y otros dos amigos, Carla y David, que son inseparables y deben sentarse obligatoriamente uno al lado del otro. Si los asientos se asignan de forma totalmente aleatoria, calcule la probabilidad de que se cumplan simultáneamente los deseos de los cuatro amigos.
Utilizando las letras de la palabra $ALGORITMO$ (todas ellas distintas), se forman todas las permutaciones posibles. Si se elige una de estas ordenaciones al azar,…
Utilizando las letras de la palabra $ALGORITMO$ (todas ellas distintas), se forman todas las permutaciones posibles. Si se elige una de estas ordenaciones al azar, calcule la probabilidad de que la palabra resultante comience y termine por vocal, y que además todas las vocales aparezcan juntas en algún lugar de la cadena.
Contar códigos y contraseñas
Un PIN o una contraseña es una lista ordenada, y un generador aleatorio puede repetir caracteres. Por eso el espacio muestral cuenta todas las cadenas, con repeticiones incluidas. El conteo de favorables incluye solo las cadenas que cumplen las condiciones.
Para entrar en una aplicación de banca en línea, se genera un código PIN aleatorio de $4$ cifras (del $0$ al $9$). Calcule la probabilidad de que el código asignado…
Para entrar en una aplicación de banca en línea, se genera un código PIN aleatorio de $4$ cifras (del $0$ al $9$). Calcule la probabilidad de que el código asignado cumpla las siguientes condiciones:
-
a) Todas sus cifras sean distintas.
-
b) Sea un número capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda).
Un sistema de seguridad informática requiere una contraseña de 6 caracteres. El usuario debe elegir estos caracteres del conjunto formado por las 26 letras minúsculas…
Un sistema de seguridad informática requiere una contraseña de 6 caracteres. El usuario debe elegir estos caracteres del conjunto formado por las 26 letras minúsculas del alfabeto y los dígitos del 0 al 9. Si el sistema genera automáticamente una contraseña al azar, ¿cuál es la probabilidad de que contenga exactamente 2 dígitos, 4 letras y que, además, no se repita ningún carácter?
Contar por casos
Algunas condiciones, como "la suma es $10$" o "el producto es un cuadrado perfecto", se revisan valor por valor. Enumera los patrones que funcionan, cuenta los resultados de cada patrón y suma.
Lanzamos tres dados equilibrados de seis caras (numeradas del 1 al 6) y anotamos los resultados como $(d_1, d_2, d_3)$. Calcule la probabilidad de que el producto de los…
Lanzamos tres dados equilibrados de seis caras (numeradas del 1 al 6) y anotamos los resultados como $(d_1, d_2, d_3)$. Calcule la probabilidad de que el producto de los tres números obtenidos sea un cuadrado perfecto (por ejemplo: $1 \cdot 2 \cdot 2 = 4 = 2^2$).
Se extraen, de forma simultánea, 3 cartas de una baraja española de 40 cartas. Calcule la probabilidad de que la suma de los valores de las tres cartas sea exactamente…
Se extraen, de forma simultánea, 3 cartas de una baraja española de 40 cartas. Calcule la probabilidad de que la suma de los valores de las tres cartas sea exactamente 10. (Para este ejercicio, considere que las figuras: sota, caballo y rey, tienen valores de 8, 9 y 10 respectivamente, y el as vale 1).
Probabilidad geométrica: cuando los resultados son continuos
No puedes contar los puntos de un blanco. Pero si un punto aleatorio tiene la misma probabilidad de caer en cualquier lugar de una región, mide en lugar de contar.
También funciona con longitudes. Un autobús pasa cada $15$ minutos y tú llegas a una hora aleatoria. La espera es igualmente probable en cualquier valor de $0$ a $15$ minutos, así que $P(\text{espera} < 5 \text{ min}) = \tfrac{5}{15} = \tfrac13$.
Un videojuego de puntería consiste en lanzar un dardo virtual a una diana cuadrada de $20\text{ cm}$ de lado que tiene inscrito un círculo de color naranja. El programa…
Un videojuego de puntería consiste en lanzar un dardo virtual a una diana cuadrada de $20\text{ cm}$ de lado que tiene inscrito un círculo de color naranja. El programa garantiza que el dardo siempre impacta en algún punto del cuadrado de forma aleatoria (equiprobable). Calcule la probabilidad de que el dardo impacte fuera del círculo naranja. (Considere $\pi \approx 3,14$).
Una aplicación de diseño gráfico genera un patrón aleatorio colocando un punto $P$ dentro de un círculo de radio $R = 10 \text{ cm}$. En el centro del círculo se…
Una aplicación de diseño gráfico genera un patrón aleatorio colocando un punto $P$ dentro de un círculo de radio $R = 10 \text{ cm}$. En el centro del círculo se encuentra inscrito un cuadrado de lado $L = 8 \text{ cm}$. El algoritmo de la aplicación considera un "acierto visual" si el punto $P$ cae dentro del cuadrado o en la región del círculo que queda por encima del diámetro horizontal pero fuera del cuadrado. Utilizando el concepto de probabilidad geométrica (extensión de la Regla de Laplace para áreas), calcule la probabilidad de obtener un "acierto visual" en un intento.
Volvamos al principio: con $100$ boletos y un ganador, $P(\text{ganas con un boleto}) = \tfrac{1}{100} = 1\%$. Con $5$ boletos distintos, $5$ resultados son favorables, así que $P = \tfrac{5}{100} = 5\%$.