Tu equipo de debate tiene 5 oradores, y el entrenador tiene que escoger el orden en que hablarán en la ronda del viernes. ¿Cuántas alineaciones distintas son posibles? Esa es una pregunta sobre ordenar: poner a todos los miembros de un grupo en fila, uno tras otro. Contar ordenaciones es la destreza más sencilla y útil de la combinatoria, y es la base de muchos cálculos de probabilidad más adelante en Estadística AP.
Factoriales
Las ordenaciones se cuentan con un producto que disminuye de uno en uno, así que tiene su propio nombre y símbolo.
Los factoriales crecen muy rápido:
$n$
0
1
2
3
4
5
6
7
8
$n!$
1
1
2
6
24
120
720
5,040
40,320
¿Por qué $0! = 1$? Hay exactamente una manera de ordenar nada: no hacer nada. Esto además hace que las fórmulas de este capítulo sigan funcionando.
Las expresiones con factoriales parecen complicadas, pero se simplifican bien, porque un factorial mayor contiene al menor: $9! = 9 \cdot 8 \cdot 7!$. Escribe solo lo necesario del factorial mayor para llegar al menor y luego cancela.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcule el valor numérico de las siguientes expresiones con factoriales: $\frac{8!}{5! \cdot 3!}$ y $\frac{12!}{10!}$.
Calcule el valor numérico de las siguientes expresiones con factoriales: $\frac{8!}{5! \cdot 3!}$ y $\frac{12!}{10!}$.
Simplifique la siguiente expresión algebraica que involucra factoriales, expresando el resultado en su forma más reducida: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.
Simplifique la siguiente expresión algebraica que involucra factoriales, expresando el resultado en su forma más reducida: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.
Llena las posiciones una por una. La primera posición tiene $n$ opciones. Una vez ocupada, la segunda tiene $n-1$ opciones, luego $n-2$, y así hasta que queda solo $1$ objeto para la última posición. Por el principio de multiplicación:
Un grupo de $6$ amigos acude al teatro y compra boletos para asientos consecutivos en la misma fila. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse a disfrutar de la obra?
Un grupo de $6$ amigos acude al teatro y compra boletos para asientos consecutivos en la misma fila. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse a disfrutar de la obra?
Durante una competencia de atletismo escolar, $7$ corredores llegan a la meta sin que se produzca ningún empate. ¿Cuántas clasificaciones distintas pueden darse al…
Durante una competencia de atletismo escolar, $7$ corredores llegan a la meta sin que se produzca ningún empate. ¿Cuántas clasificaciones distintas pueden darse al finalizar la carrera?
Para configurar una contraseña segura, una aplicación exige usar exactamente los caracteres $A, B, C, 1, 2$, sin repetir ninguno de ellos. ¿Cuántas contraseñas distintas…
Para configurar una contraseña segura, una aplicación exige usar exactamente los caracteres $A, B, C, 1, 2$, sin repetir ninguno de ellos. ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden crear en el sistema?
A menudo una parte del arreglo ya está decidida: dos amigos que deben sentarse juntos, alguien que debe ir primero o alguien que no puede quedar al lado de otra persona. No sustituyas directamente en $n!$. Primero maneja la restricción y luego ordena lo que queda.
Posiciones fijas. Si algunas posiciones ya están ocupadas, solo se ordenan los objetos restantes en las posiciones restantes.
Objetos que deben quedar juntos. Júntalos en un solo bloque, ordena el bloque junto con los demás objetos y luego ordena los objetos dentro del bloque.
Objetos que NO deben quedar juntos. Usa el complemento: cuenta todos los arreglos y luego resta los que rompen la regla.
Patrones alternados. Cuando dos tipos de objetos deben alternarse, cuenta cada patrón posible y luego ordena cada tipo en sus propios lugares.
Practica★★☆Sin empezar
En la final de una carrera de natación de los Juegos Olímpicos participan $8$ nadadores. Si sabemos con certeza qué nadador ha ganado la medalla de oro y cuál ha llegado…
En la final de una carrera de natación de los Juegos Olímpicos participan $8$ nadadores. Si sabemos con certeza qué nadador ha ganado la medalla de oro y cuál ha llegado en último lugar debido a una lesión, ¿de cuántas formas distintas han podido clasificarse los demás participantes en las posiciones intermedias?
Cinco amigos van al cine y se sientan en asientos contiguos. Dos de ellos, Sofía y Mateo, quieren sentarse juntos para compartir las palomitas. ¿De cuántas maneras…
Cinco amigos van al cine y se sientan en asientos contiguos. Dos de ellos, Sofía y Mateo, quieren sentarse juntos para compartir las palomitas. ¿De cuántas maneras pueden acomodarse los cinco amigos cumpliendo siempre esta condición?
Un grupo formado por $3$ chicos y $3$ chicas se van a sentar en una fila de $6$ asientos para ver un concierto. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo si deben sentarse de…
Un grupo formado por $3$ chicos y $3$ chicas se van a sentar en una fila de $6$ asientos para ver un concierto. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo si deben sentarse de forma que los sexos queden estrictamente alternados (chico-chica-chico... o chica-chico-chica...)?
¿Cuántas "palabras" distintas puedes formar con las letras de ANA? Si finges que las dos A son diferentes ($A_1$ y $A_2$), obtienes $3! = 6$ ordenaciones. Pero $A_1NA_2$ y $A_2NA_1$ se leen ANA, así que en realidad son la misma palabra. Cada palabra real se cuenta dos veces.
Practica★★☆Sin empezar
¿Cuántas palabras diferentes, tengan o no sentido, se pueden formar utilizando todas las letras de la palabra "CAMPANA"?
¿Cuántas palabras diferentes, tengan o no sentido, se pueden formar utilizando todas las letras de la palabra "CAMPANA"?
Un barco se comunica con otros navíos mediante banderas de colores izadas verticalmente en un mástil. Si dispone de $3$ banderas rojas, $2$ banderas azules y $1$ bandera…
Un barco se comunica con otros navíos mediante banderas de colores izadas verticalmente en un mástil. Si dispone de $3$ banderas rojas, $2$ banderas azules y $1$ bandera amarilla, todas del mismo tamaño, ¿cuántas señales distintas puede enviar usando todas las banderas a la vez?
Un ingeniero informático quiere formar códigos numéricos de seis cifras utilizando exactamente los siguientes dígitos en cada código: $2, 2, 3, 3, 3, 4$. ¿Cuántos…
Un ingeniero informático quiere formar códigos numéricos de seis cifras utilizando exactamente los siguientes dígitos en cada código: $2, 2, 3, 3, 3, 4$. ¿Cuántos códigos distintos puede programar el sistema?
En una fila, el primer y el último lugar son diferentes. En una mesa redonda no hay "primer asiento": solo importa quién se sienta al lado de quién. Si todos se mueven un asiento a la derecha, es el mismo arreglo.
Para las restricciones en una mesa redonda, el truco del complemento sigue funcionando. Dos personas son adyacentes si se sientan una al lado de la otra, y eso se cuenta juntándolas en un bloque.
Practica★★☆Sin empezar
Una familia de $6$ miembros se sienta a cenar alrededor de una mesa circular en un restaurante. ¿De cuántas formas distintas pueden ubicarse si solo importa la posición…
Una familia de $6$ miembros se sienta a cenar alrededor de una mesa circular en un restaurante. ¿De cuántas formas distintas pueden ubicarse si solo importa la posición relativa entre ellos y no la silla exacta que ocupan en el salón?
Ocho diplomáticos se reúnen en una cumbre internacional y deben sentarse alrededor de una gran mesa redonda. Dos de los representantes están fuertemente enemistados y el…
Ocho diplomáticos se reúnen en una cumbre internacional y deben sentarse alrededor de una gran mesa redonda. Dos de los representantes están fuertemente enemistados y el protocolo exige que no se sienten uno al lado del otro. ¿De cuántas formas diferentes pueden acomodarse en la mesa cumpliendo esta restricción?
Un repartidor en bicicleta solo puede moverse a la derecha o hacia arriba en una cuadrícula de calles. Cada ruta más corta es una sucesión de pasos D (derecha) y A (arriba). Contar rutas es contar ordenaciones de una sucesión con letras repetidas, así que se aplica la fórmula de objetos repetidos.
Intersecciones bloqueadas. Si una intersección está cerrada, cuenta los caminos que pasan por ella y réstalos del total. Para contar los caminos que pasan por un punto C, multiplica el número de caminos de A a C por el número de caminos de C a B.
Practica★★☆Sin empezar
En el plano de una ciudad con calles dispuestas en cuadrícula, un repartidor en bicicleta debe ir desde el punto $A$ hasta el punto $B$ desplazándose únicamente hacia la…
En el plano de una ciudad con calles dispuestas en cuadrícula, un repartidor en bicicleta debe ir desde el punto $A$ hasta el punto $B$ desplazándose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. ¿Cuántos caminos diferentes de longitud mínima puede tomar para realizar la entrega?
Un robot autónomo se desplaza por una cuadrícula logística desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$ avanzando exclusivamente hacia la derecha y hacia abajo. Debido a unas…
Un robot autónomo se desplaza por una cuadrícula logística desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$ avanzando exclusivamente hacia la derecha y hacia abajo. Debido a unas reparaciones en el piso, el nodo $C$ está bloqueado y el robot no puede pasar por él. ¿Cuántas trayectorias válidas existen para completar el recorrido?
Algunos problemas combinan las ideas anteriores. Resuélvelos paso a paso.
Grupos que se mantienen juntos cada uno. Cada grupo es un bloque. Primero ordena los bloques y luego ordena los objetos dentro de cada bloque. Multiplica todas las partes.
Extremos fijos con letras repetidas. Coloca las letras requeridas en el primer y el último lugar, quítalas de la lista y usa la fórmula de objetos repetidos con las letras que quedan.
Practica★★★Sin empezar
En la estantería de una biblioteca escolar se van a colocar en fila $4$ libros distintos de Matemáticas, $3$ libros distintos de Física y $2$ libros distintos de…
En la estantería de una biblioteca escolar se van a colocar en fila $4$ libros distintos de Matemáticas, $3$ libros distintos de Física y $2$ libros distintos de Química. Si la bibliotecaria exige que los libros de la misma materia deben permanecer siempre juntos formando un bloque, ¿de cuántas maneras distintas se pueden ordenar en el estante?
¿Cuántas palabras diferentes, con o sin sentido, se pueden formar reordenando todas las letras de la palabra "ESTADISTICA" de modo que obligatoriamente empiecen por la…
¿Cuántas palabras diferentes, con o sin sentido, se pueden formar reordenando todas las letras de la palabra "ESTADISTICA" de modo que obligatoriamente empiecen por la letra $E$ y terminen por la letra $A$?
Dos ideas clásicas "difíciles" usan solo lo que ya sabes.
Suma de todos los números formados con ciertos dígitos. Cada dígito aparece en cada lugar (unidades, decenas, centenas, …) el mismo número de veces. Suma la contribución de cada lugar.
Posición en orden de diccionario (alfabético). Ve letra por letra y cuenta cuántas palabras deben ir antes de la tuya. En cada posición, cuenta las letras menores disponibles y multiplica por el número de maneras de ordenar las letras restantes.
Practica★★★Sin empezar
Calcule cuál es la suma total de todos los números enteros de $4$ cifras distintas que se pueden formar utilizando exclusivamente los dígitos $1, 2, 3$ y $4$.
Calcule cuál es la suma total de todos los números enteros de $4$ cifras distintas que se pueden formar utilizando exclusivamente los dígitos $1, 2, 3$ y $4$.
Si se generan todas las palabras posibles, con o sin sentido, permutando las letras de la palabra "LIBRO" y luego se ordenan estrictamente de forma alfabética (como en…
Si se generan todas las palabras posibles, con o sin sentido, permutando las letras de la palabra "LIBRO" y luego se ordenan estrictamente de forma alfabética (como en un diccionario), ¿qué posición ocupará exactamente la palabra "LIBRO" en esa lista?
Para resolver una ecuación con factoriales, desarrolla los factoriales mayores hasta el menor, cancela y te queda una ecuación polinomial común. Luego comprueba que tu respuesta haga que todos los factoriales estén definidos (los números dentro deben ser enteros $\ge 0$).
Practica★★★Sin empezar
Encuentre el valor del número natural $x$ que satisface la siguiente ecuación, justificando matemáticamente su respuesta: $P_x = 30 \cdot P_{x-2}$.
Encuentre el valor del número natural $x$ que satisface la siguiente ecuación, justificando matemáticamente su respuesta: $P_x = 30 \cdot P_{x-2}$.
Simplifique las fracciones algebraicas y resuelva la siguiente ecuación que contiene factoriales, encontrando el valor de $x$:…
Simplifique las fracciones algebraicas y resuelva la siguiente ecuación que contiene factoriales, encontrando el valor de $x$: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - \frac{x!}{(x-2)!} = 14$.