Tu celular te pide elegir un código de acceso: de 4 dígitos o de 6 dígitos. Alguien encuentra tu celular y prueba códigos al azar. ¿Entre cuántos códigos tendría que elegir? Antes de calcular cualquier probabilidad, necesitas saber cuántos resultados hay, y listarlos uno por uno no es una opción cuando hay miles o millones. Esta página te da las herramientas para contar rápido y las preguntas que debes hacerte para elegir la correcta: ¿Importa el orden? ¿Se pueden repetir los elementos?
El principio fundamental del conteo
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En la cafetería de una escuela secundaria, el menú del día permite elegir entre 3 primeros platos, 4 segundos platos y 2 postres. ¿De cuántas formas distintas puede un…
En la cafetería de una escuela secundaria, el menú del día permite elegir entre 3 primeros platos, 4 segundos platos y 2 postres. ¿De cuántas formas distintas puede un estudiante configurar su almuerzo completo compuesto por un primero, un segundo y un postre?
En una cafetería ofrecen un "Combo Estudiante" que consiste en elegir un tipo de sándwich, un acompañamiento y una bebida. Tienen $5$ tipos de sándwiches, $3$ tipos de…
En una cafetería ofrecen un "Combo Estudiante" que consiste en elegir un tipo de sándwich, un acompañamiento y una bebida. Tienen $5$ tipos de sándwiches, $3$ tipos de acompañamientos y $4$ tipos de bebidas.
a) ¿Cuántos menús diferentes se pueden configurar?
b) Si un estudiante decide que no quiere sándwich de vegetales (hay un tipo) ni quiere beber agua (hay un tipo), ¿cuántas opciones tiene ahora para su menú?
Un código de celular permite repetir dígitos: después de usar un 7, el 7 sigue disponible para la siguiente posición. Por eso cada etapa tiene el mismo número de opciones, y el principio del conteo se convierte en una potencia.
Volvamos a la pregunta del inicio: un código de 4 dígitos tiene $10{,}000$ posibilidades y uno de 6 dígitos tiene $10^6 = 1{,}000{,}000$. Dos dígitos más lo hacen 100 veces más difícil de adivinar.
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Para entrar en una aplicación móvil, un usuario debe crear un código de seguridad de 4 dígitos. Si el sistema permite repetir los números y utiliza los dígitos del $0$…
Para entrar en una aplicación móvil, un usuario debe crear un código de seguridad de 4 dígitos. Si el sistema permite repetir los números y utiliza los dígitos del $0$ al $9$, ¿cuántos códigos de seguridad diferentes se pueden generar?
Una red social requiere que los nombres de usuario empiecen siempre por una letra minúscula (de entre las 26 del alfabeto inglés) seguidas obligatoriamente de 2 dígitos…
Una red social requiere que los nombres de usuario empiecen siempre por una letra minúscula (de entre las 26 del alfabeto inglés) seguidas obligatoriamente de 2 dígitos (del $0$ al $9$). ¿Cuántos nombres de usuario diferentes bajo este formato se pueden crear?
En un podio (1.º, 2.º, 3.º) hay tres competidores distintos. Cuando un corredor ocupa el 1.er lugar, ya no está disponible para el 2.º. El número de opciones disminuye en cada paso.
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Un grupo de 10 amigos decide organizar un torneo de videojuegos. Los premios se otorgarán al primer, segundo y tercer clasificado. Sabiendo que no puede haber empates,…
Un grupo de 10 amigos decide organizar un torneo de videojuegos. Los premios se otorgarán al primer, segundo y tercer clasificado. Sabiendo que no puede haber empates, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden repartir estos tres trofeos?
Para mejorar la seguridad de los casilleros inteligentes de una escuela secundaria, el sistema requiere un código de acceso de $4$ dígitos. Sin embargo, para evitar…
Para mejorar la seguridad de los casilleros inteligentes de una escuela secundaria, el sistema requiere un código de acceso de $4$ dígitos. Sin embargo, para evitar combinaciones obvias, el sistema impone las siguientes condiciones: el primer dígito debe ser impar, el último debe ser par (considerando el $0$ como par) y no se puede repetir ningún dígito en el código. ¿Cuántos códigos diferentes se pueden generar siguiendo estas reglas?
En una competencia regional de E-sports (videojuegos competitivos) participan $12$ equipos. Los organizadores deben entregar una medalla de oro, una de plata y una de…
En una competencia regional de E-sports (videojuegos competitivos) participan $12$ equipos. Los organizadores deben entregar una medalla de oro, una de plata y una de bronce a los tres primeros clasificados.
a) ¿De cuántas formas distintas puede quedar el podio de la competencia?
b) Si sabemos que el equipo local "Los Gamers" siempre queda entre los tres primeros, ¿de cuántas formas puede completarse el podio ahora?
Si ordenas todos los $n$ elementos, usas todos, así que $r = n$:
$$_nP_n = n!$$
Seis libros en un estante se pueden ordenar de $6! = 720$ maneras.
Mantener dos elementos juntos
Trata el par como un solo bloque, ordena los bloques y luego multiplica por las maneras de ordenar dentro del bloque.
Arreglos circulares
Alrededor de una mesa redonda, si todos se mueven un asiento se obtiene el mismo arreglo, porque cada persona sigue teniendo los mismos vecinos. Solo cuentan las posiciones relativas.
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Un estante tiene espacio para colocar exactamente 6 libros de texto de diferentes materias de 12.º grado. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar estos 6 libros…
Un estante tiene espacio para colocar exactamente 6 libros de texto de diferentes materias de 12.º grado. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar estos 6 libros en el estante si queremos que todos queden alineados uno junto al otro?
Siete amigos van a cenar a una pizzería y se sientan en una mesa circular. a) ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse alrededor de la mesa? b) Dos de los amigos,…
Siete amigos van a cenar a una pizzería y se sientan en una mesa circular.
a) ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse alrededor de la mesa?
b) Dos de los amigos, Isabella y Diego, han discutido y no quieren sentarse juntos. ¿De cuántas formas pueden sentarse ahora los siete amigos cumpliendo esta condición?
Seis amigos (3 chicos y 3 chicas) se sientan a cenar en una mesa circular para celebrar el fin de los exámenes. Determina el número de disposiciones posibles en las que…
Seis amigos (3 chicos y 3 chicas) se sientan a cenar en una mesa circular para celebrar el fin de los exámenes. Determina el número de disposiciones posibles en las que pueden sentarse si:
No hay restricciones de género.
Los chicos y las chicas deben sentarse alternadamente (ningún chico al lado de otro chico y ninguna chica al lado de otra chica).
Una pareja específica de amigos, Elena y Marcos, insisten en sentarse juntos.
(Nota: Considera que en las permutaciones circulares solo importa la posición relativa de unos respecto a otros).
¿Y si algunos elementos son indistinguibles, como las letras repetidas de una palabra? Intercambiar dos elementos idénticos no cambia el arreglo, así que $n!$ cuenta cada arreglo demasiadas veces. Divide para corregirlo.
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¿Cuántas palabras de 4 letras, tengan o no sentido, se pueden formar utilizando las letras de la palabra BALA? (Ten en cuenta que la letra 'A' aparece repetida).
¿Cuántas palabras de 4 letras, tengan o no sentido, se pueden formar utilizando las letras de la palabra BALA? (Ten en cuenta que la letra 'A' aparece repetida).
Una marca de ropa urbana quiere lanzar una edición limitada de sudaderas. Tienen $3$ sudaderas rojas idénticas, $2$ sudaderas azules idénticas y $4$ sudaderas negras…
Una marca de ropa urbana quiere lanzar una edición limitada de sudaderas. Tienen $3$ sudaderas rojas idénticas, $2$ sudaderas azules idénticas y $4$ sudaderas negras también idénticas. Para una sesión de fotos, deben colocar todas estas sudaderas en fila sobre un mostrador. ¿De cuántas maneras diferentes pueden disponerse las sudaderas atendiendo únicamente a su color?
Un consejo estudiantil de 3 estudiantes es diferente de un podio de 3: nadie es «primero». Elegir a Ana, Ben y Chen es el mismo grupo que elegir a Chen, Ana y Ben.
Un atajo útil es la simetría: elegir $r$ elementos para llevártelos es lo mismo que elegir $n-r$ elementos para dejarlos, así que
$$\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}.$$
Por ejemplo, $\binom{50}{48} = \binom{50}{2} = 1225$.
Pregunta
¿Importa el orden?
¿Se permiten repeticiones?
Usa
NIP, contraseña
sí
sí
$n^k$
Podio, cargos
sí
no
$_nP_r$
Comité, mano de cartas, ingredientes
no
no
$\binom{n}{r}$
Practica★☆☆Sin empezar
En una clase de 12 alumnos, el tutor debe elegir a 3 de ellos para que formen parte del consejo estudiantil de la escuela. Dado que los tres elegidos tendrán la misma…
En una clase de 12 alumnos, el tutor debe elegir a 3 de ellos para que formen parte del consejo estudiantil de la escuela. Dado que los tres elegidos tendrán la misma responsabilidad, ¿cuántos grupos de delegados diferentes se pueden formar?
En una heladería ofrecen 8 sabores distintos de helado. Si un cliente quiere comprar un vaso con 2 bolas de helado de sabores diferentes, ¿cuántas combinaciones…
En una heladería ofrecen 8 sabores distintos de helado. Si un cliente quiere comprar un vaso con 2 bolas de helado de sabores diferentes, ¿cuántas combinaciones distintas puede elegir?
Muchos problemas tienen varias partes independientes. Cuenta cada parte con la herramienta correcta y luego multiplica (principio del conteo).
Practica★★☆Sin empezar
Un grupo de $15$ alumnos de $2º$.º grado está organizando la fiesta de graduación. Deben elegir un comité formado por $4$ personas para encargarse de la música y la…
Un grupo de $15$ alumnos de $2º$.º grado está organizando la fiesta de graduación. Deben elegir un comité formado por $4$ personas para encargarse de la música y la comida.
a) ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
b) Si en el grupo hay $8$ chicas y $7$ chicos, ¿cuántos de esos comités estarían formados por $2$ chicas y $2$ chicos?
Una empresa de ciberseguridad quiere generar códigos de acceso únicos para sus empleados. Cada código debe tener una longitud de 9 caracteres distribuidos de la…
Una empresa de ciberseguridad quiere generar códigos de acceso únicos para sus empleados. Cada código debe tener una longitud de 9 caracteres distribuidos de la siguiente manera:
3 letras mayúsculas iniciales (elegidas entre las 26 del alfabeto, sin incluir la Ñ).
4 dígitos numéricos centrales (0-9).
2 símbolos especiales finales (elegidos de un conjunto de 5 símbolos: @, #, $\$$, &, *).
Calcula cuántos códigos diferentes se pueden generar si se imponen las siguientes restricciones:
Las letras mayúsculas no pueden repetirse.
Los dígitos numéricos deben ser todos distintos y estar dispuestos en orden strictly creciente.
Las condiciones como «al menos uno», «más que» o «no uno junto al otro» se manejan mejor de una de tres maneras: dividir en casos, usar el complemento (total menos los malos) o usar espacios.
Dividir en casos
El complemento
«Al menos uno» es «total menos ninguno». Cuenta todo y luego resta los resultados que incumplen la condición.
Cuando necesitas al menos uno de cada uno de varios grupos, resta los equipos a los que les falta un grupo y luego suma de nuevo los que se restaron dos veces (los que les faltan dos grupos).
El método de los espacios: «no hay dos adyacentes»
Para mantener algunos elementos separados, coloca primero los otros elementos. Estos crean espacios, y los elementos que hay que separar van en espacios diferentes, a lo más uno por espacio.
Para una fila de 7 lotes donde no puede haber dos pinos adyacentes, cuenta según el número de pinos $k$: los otros $7 - k$ lotes crean $8 - k$ espacios, así que hay $\binom{8-k}{k}$ maneras de colocar los pinos. Luego llena los lotes restantes como pida el problema.
Practica★★★Sin empezar
Se desea formar un comité de debate para un modelo de Naciones Unidas (MUN) compuesto por 6 estudiantes. Los candidatos disponibles son 8 alumnos de 12.º grado y 6…
Se desea formar un comité de debate para un modelo de Naciones Unidas (MUN) compuesto por 6 estudiantes. Los candidatos disponibles son 8 alumnos de 12.º grado y 6 alumnos de 11.º grado.
Calcula de cuántas maneras se puede elegir el comité si se deben cumplir simultáneamente estas dos condiciones:
En el comité debe haber más alumnos de 12.º grado que de 11.º grado.
Al menos debe haber un alumno de cada grado en el grupo seleccionado.
Una plataforma de streaming utiliza un algoritmo para recomendar listas de reproducción. Si disponen de 10 canciones de Rock, 8 de Pop y 6 de Indie, ¿cuántas listas de…
Una plataforma de streaming utiliza un algoritmo para recomendar listas de reproducción. Si disponen de 10 canciones de Rock, 8 de Pop y 6 de Indie, ¿cuántas listas de reproducción de 5 canciones se pueden crear de modo que cada lista contenga al menos una canción de cada uno de los tres géneros musicales? Ten en cuenta que el orden de las canciones en la lista sí importa.
Un estudio de arquitectura está diseñando una urbanización con 7 parcelas idénticas en línea. Deben plantar árboles de tres especies distintas: robles, pinos y encinas.…
Un estudio de arquitectura está diseñando una urbanización con 7 parcelas idénticas en línea. Deben plantar árboles de tres especies distintas: robles, pinos y encinas. Por razones estéticas y biológicas, se deben cumplir los siguientes requisitos:
En cada parcela solo se planta un árbol.
Debe haber al menos un árbol de cada especie.
No puede haber dos pinos en parcelas contiguas.
Calcula el número total de formas diferentes en las que se pueden distribuir los árboles en las 7 parcelas.
Un repartidor se mueve solo hacia la derecha o hacia arriba en una cuadrícula de calles. Cada ruta más corta de $A$ a $B$ es una sucesión de pasos, y lo único que cambia entre rutas es el orden de los pasos. Eso es un arreglo de elementos idénticos.
Para obligar a una ruta a pasar por un punto de control $C$, cuenta $A \to C$ y $C \to B$ por separado y multiplica. Para evitar un punto de control, resta del total las rutas que pasan por él.
Practica★★☆Sin empezar
Un mensajero debe entregar un paquete en una ciudad cuya estructura de calles es una cuadrícula perfecta. Debe ir desde el punto $A$ (esquina inferior izquierda) hasta…
Un mensajero debe entregar un paquete en una ciudad cuya estructura de calles es una cuadrícula perfecta. Debe ir desde el punto $A$ (esquina inferior izquierda) hasta el punto $B$ (esquina superior derecha), moviéndose solo hacia la derecha o hacia arriba. Si la distancia es de $6$ cuadras hacia la derecha y $4$ cuadras hacia arriba:
a) ¿Cuántos trayectos diferentes puede seguir?
b) ¿Cuántos de esos trayectos pasan por un punto de control $C$ situado a $3$ cuadras a la derecha y $2$ hacia arriba desde el punto $A$?
Un programador está desarrollando un algoritmo para encontrar la ruta más corta en una red de sensores representada por una cuadrícula de $6 \times 5$ nodos. El…
Un programador está desarrollando un algoritmo para encontrar la ruta más corta en una red de sensores representada por una cuadrícula de $6 \times 5$ nodos. El algoritmo debe calcular cuántos caminos de longitud mínima existen desde el nodo $A(0,0)$ hasta el nodo $B(6,5)$, teniendo en cuenta que debido a una avería, el nodo central $C(3,3)$ es inaccesible y no puede formar parte de ninguna ruta.
Los números $\binom{n}{r}$ también se llaman coeficientes binomiales. Se acomodan en el triángulo de Pascal.
La fila $n$ enumera $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$. Hechos útiles, cada uno con su razón:
Para resolver una ecuación con coeficientes binomiales, desarrolla los factoriales (cancela lo que puedas), conviértela en una ecuación polinomial, resuélvela y luego comprueba la respuesta con el dominio ($n \ge r$).
Practica★★☆Sin empezar
Halla el valor de $n$ en la siguiente ecuación con números combinatorios, razonando los pasos realizados: $$\binom{n}{2} + \binom{n-1}{n-3} = (n-1)^2$$
Halla el valor de $n$ en la siguiente ecuación con números combinatorios, razonando los pasos realizados:
Determina todos los valores de $n \in \mathbb{N}$ que verifican la siguiente igualdad algebraica basada en números combinatorios: $$\binom{n+1}{3} + \binom{n}{2} = 2…
Determina todos los valores de $n \in \mathbb{N}$ que verifican la siguiente igualdad algebraica basada en números combinatorios:
Desarrollar $(a + b)^n$ significa elegir, de cada uno de los $n$ factores, $a$ o $b$. El término $a^{n-k}b^k$ aparece una vez por cada manera de elegir $b$ en $k$ de los $n$ factores, y eso es $\binom{n}{k}$ maneras.
Estrategia para hallar un término particular de $(\text{algo})^n$:
Escribe el término general $\binom{n}{k}(\text{primero})^{n-k}(\text{segundo})^{k}$. Trata el signo y cualquier coeficiente dentro del paréntesis como parte de «primero» y «segundo».
Reúne la potencia de $x$ en términos de $k$.
Iguala ese exponente a lo que pide el problema (una potencia dada, o $0$ para el término constante) y despeja $k$.
Calcula el coeficiente para ese $k$.
Practica★★★Sin empezar
En el desarrollo del binomio de Newton para la expresión $(\frac{x^2}{2} - \frac{k}{x^3})^{15}$, se sabe que el coeficiente del término que contiene a $x^{10}$ es igual…
En el desarrollo del binomio de Newton para la expresión $(\frac{x^2}{2} - \frac{k}{x^3})^{15}$, se sabe que el coeficiente del término que contiene a $x^{10}$ es igual a $3003$. Determina razonadamente el valor del número real positivo $k$ y, una vez hallado, calcula el valor del término independiente de este desarrollo si es que existe.