Media y desviación estándar de una distribución binomial

Un estudio reciente sobre hábitos digitales indica que el $85\%$ de los adolescentes de entre 15 y 16 años en Estados Unidos utiliza la autenticación de dos factores en sus cuentas de videojuegos. Si seleccionamos una muestra aleatoria de $20$ adolescentes:

1. a) Identifique los parámetros $n$ y $p$ de la distribución binomial que modeliza esta situación.
2. b) Calcule el número esperado (media) de adolescentes que utilizan este sistema de seguridad en la muestra.

En un centro de formación profesional, el $40\%$ de los estudiantes utiliza el transporte público para llegar a clase. Se toma una muestra de $50$ estudiantes del centro de forma aleatoria. Calcule la media y la desviación típica del número de estudiantes que usan el transporte público en dicha muestra.

En una fábrica de componentes para smartphones, se sabe que el $2\%$ de las pantallas táctiles salen con algún pequeño defecto estético. Las pantallas se envían a las tiendas en cajas de $250$ unidades.

1. a) Calcule el número medio de pantallas defectuosas que encontraremos en una caja.
2. b) Calcule la desviación típica de la variable "número de pantallas defectuosas por caja".

Una plataforma de streaming de música ha comprobado que la probabilidad de que un usuario "salte" una canción recomendada por el algoritmo antes de que termine es de $0,3$. Si una tarde escucha una lista de $12$ canciones recomendadas:

1. a) Determine la media y la varianza del número de canciones que se espera que salte.
2. b) Calcule la desviación típica e interprete qué información aporta sobre la dispersión de los datos en este contexto.

Dos jugadores de baloncesto, Sofía y Bruno, practican tiros libres. Sofía tiene una probabilidad de enceste de $0,8$ y realiza $50$ lanzamientos. Bruno tiene una probabilidad de $0,6$ pero realiza $80$ lanzamientos.

1. a) ¿Cuál de los dos jugadores tiene un mayor número esperado de encestes?

1. b) ¿Cuál de los dos jugadores presenta una mayor dispersión (desviación típica) en sus resultados? Interprete qué significa esto en términos de regularidad en el juego.

Se ha comprobado que el $40\%$ de los alumnos de un centro de idiomas se presentan al examen oficial de nivel B2. Si este año hay matriculados $100$ alumnos:

1. a) Determine los parámetros de la variable $X$ que define el número de alumnos que se presentan al examen.

1. b) En las distribuciones binomiales, se considera que los valores más "típicos" o probables se encuentran en el intervalo $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$. Calcule este intervalo para este caso concreto.

Una empresa de logística utiliza drones para el reparto de paquetes en núcleos urbanos. La probabilidad de que un dron sufra un retraso debido a las condiciones meteorológicas es del $5\%$. Si en una jornada se realizan $200$ vuelos independientes:

1. a) Calcule el valor de la media y la varianza del número de vuelos que llegan con retraso.

1. b) El protocolo de mantenimiento se activa si en una jornada el número de retrasos supera el valor de $\mu + 2\sigma$. Calcule dicho valor umbral.

Se lanza un dado equilibrado de seis caras un total de $30$ veces y se anota el número de veces que sale el número "6".

1. a) Define la variable aleatoria y su distribución.
2. b) Calcule el valor esperado de la variable y su desviación típica. Redondee los resultados a dos decimales.

Un examen de opción múltiple consta de $10$ preguntas con tres respuestas posibles cada una, de las cuales solo una es correcta. Si un alumno responde todas las preguntas al azar:

1. a) ¿Qué valor tiene la media de aciertos?
2. b) Si el alumno necesita al menos $5$ aciertos para aprobar, ¿está el valor de la media por encima o por debajo del aprobado? Justifique su respuesta.

En una conocida red social, se ha estimado que la probabilidad de que un usuario interactúe con una publicación de contenido cultural es $p = 0,18$. Si un "influencer" lanza una campaña que llega a un grupo de $n = 150$ seguidores:

1. a) Calcule el número esperado de seguidores que interactuarán con la publicación y su desviación típica.

1. b) Si el costo de la campaña es de $\$50$ fijos más $\$2$ por cada interacción prevista (basada en la media), ¿cuál es el presupuesto esperado para esta acción publicitaria?

Considere una variable aleatoria discreta $X$ que sigue una distribución binomial $B(n, p)$. Si sabemos que el número de experimentos es $n = 100$ y que la media de la distribución es $\mu = 60$:

1. a) Halla el valor de la probabilidad de éxito $p$.
2. b) Calcule la varianza de esta distribución.

El departamento de control de calidad de una fábrica de focos LED sabe que la probabilidad de que una unidad sea defectuosa es $p = 0,02$. Los focos se empaquetan en cajas de $n$ unidades.

1. a) Si se desea que el número medio de focos defectuosos por caja sea exactamente $1,6$, ¿cuántos focos debe contener cada caja?

1. b) Con ese valor de $n$, calcule la probabilidad de que en una caja no haya ningún foco defectuoso.

En una encuesta sobre hábitos de lectura realizada a $60$ adolescentes, se sabe que el número esperado de lectores habituales de prensa digital es de $21$.

1. a) Halla la probabilidad $p$ de que un adolescente elegido al azar sea lector habitual de prensa digital.

1. b) Calcule la desviación típica de esta distribución.

1. c) Si seleccionamos otra muestra donde el número de adolescentes se duplica ($n=120$), ¿cómo varía la desviación típica respecto a la muestra original? Justifique su respuesta con el cálculo.

Una variable aleatoria discreta sigue una distribución binomial $X \sim B(n, p)$. Se sabe que su media es $\mu = 12$ y su desviación típica es $\sigma = 3$.

1. a) Determine los valores de los parámetros $n$ (número de ensayos) y $p$ (probabilidad de éxito).

1. b) Justifique si esta distribución podría aproximarse mediante una distribución normal, basándose en los valores obtenidos.

Una empresa de logística utiliza drones para el reparto de paquetes en ciudades inteligentes. Se sabe que la variable $X$ que define el número de entregas fallidas en un lote de $n$ envíos sigue una distribución binomial. Tras un estudio interno, se ha comprobado que la media de fallos es de $4$ y la varianza es de $3,2$.

1. a) Calcule los parámetros $n$ y $p$ de la distribución.
2. b) Si se realiza un envío individual, ¿cuál es la probabilidad de que la entrega sea exitosa?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un lote de $n$ envíos no falle ninguno?

Se lanza una moneda cargada $n$ veces. Se sabe que la probabilidad de obtener cara es $p$. Si la media de caras obtenidas es $15$ y la desviación típica es $\sqrt{10}$, calcule:

1. a) La probabilidad $p$ de obtener cruz.
2. b) El número de lanzamientos $n$ realizados.
3. c) La probabilidad de obtener exactamente $2$ caras en solo $5$ lanzamientos.

Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una distribución binomial. Si el número de ensayos es $n = 25$ y la varianza es $Var(X) = 4$:

1. a) Calcule los dos posibles valores de la probabilidad de éxito $p$.

1. b) Para cada valor de $p$ hallado, calcule su correspondiente media $\mu$.

1. c) Si sabemos que la distribución es asimétrica positiva (es decir, el éxito es menos probable que el fracaso), ¿con qué valor de $p$ se quedaría? Justifique su respuesta.

En un estudio sobre el uso de transporte sostenible, se ha observado que la desviación típica del número de alumnos que acuden a la escuela secundaria en scooter eléctrico en grupos de $50$ personas es $\sigma = 3$.

1. a) Encuentre los dos posibles valores de la probabilidad $p$ de que un alumno use scooter eléctrico.
2. b) Si se sabe que el scooter es un transporte minoritario ($p < 0,5$), calcule la media de usuarios en una muestra de $100$ alumnos.

Un videojuego de estrategia tiene una probabilidad $p$ de obtener un "objeto legendario" al abrir un cofre. Un jugador abre $200$ cofres y observa que la desviación típica de su recompensa es el doble que si la probabilidad de éxito fuera de $0,01$.

1. a) Plantee una ecuación para hallar el valor de $p$.
2. b) Determine la media de objetos legendarios esperada en los $200$ cofres con dicha $p$.

Una jugadora de baloncesto profesional tiene un porcentaje de acierto en tiros libres del $80\%$. Si en un entrenamiento realiza una serie de $15$ lanzamientos:

1. a) ¿Cuál es el número medio de canastas que se espera que enceste?
2. b) Calcule la desviación típica. ¿Qué ocurriría con la desviación típica si su probabilidad de acierto fuera del $50\%$? Compruébelo con el cálculo.

En un control de calidad de una fábrica de focos LED, se analiza el número de unidades defectuosas en cajas de un tamaño determinado. La varianza de focos defectuosos por caja es de $3,75$ y se sabe que la probabilidad de que un foco sea defectuoso es del $5\%$.

1. a) ¿Cuántos focos contiene cada caja?
2. b) Si el fabricante quiere reducir la desviación típica a la mitad, ¿cómo debería cambiar el número de focos por caja manteniendo la misma calidad de fabricación ($p$)?

Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una distribución binomial $B(n, p)$. Se sabe que su media es $\mu = 30$.

1. a) ¿Cuál es el valor mínimo que puede tomar su desviación típica? Justifique la respuesta razonando sobre los posibles valores de $p$.
2. b) Si la desviación típica es $\sigma = 5$, calcule la probabilidad de obtener algún éxito en una muestra de solo $3$ individuos de esa misma población.

Un creador de contenido en una red social sabe que la probabilidad de que un usuario nuevo se suscriba a su canal tras ver un "short" es de $p = 0,12$. El algoritmo le informa de que, en su última campaña, la media de nuevos suscriptores fue de $18$ personas.

1. a) Determine el tamaño de la muestra $n$ (número de visualizaciones) que ha analizado el algoritmo.
2. b) Calcule la desviación típica de esta distribución.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de suscriptores sea exactamente igual a la media?

Un analista de ciberseguridad está estudiando ataques de phishing. La probabilidad de que un empleado haga clic en un enlace malicioso es de $0,005$. El analista quiere enviar una campaña de prueba a un grupo de empleados de tamaño $n$.

Calcule el número mínimo de empleados a los que debe enviarse el correo para que la probabilidad de que al menos uno de ellos haga clic en el enlace sea superior al $90\%$.