El teorema de Bayes

Para llegar al centro, un estudiante puede ir en autobús ($80\,\%$ de las veces) o en bicicleta ($20\,\%$). Cuando va en autobús, llega tarde el $10\,\%$ de los días debido al tráfico. Cuando va en bicicleta, solo llega tarde el $5\,\%$ de las veces. Si un día el estudiante llega tarde a clase, calcule la probabilidad de que haya ido en autobús.

Una marca de tenis fabrica sus modelos en dos fábricas diferentes: el $70\,\%$ en la fábrica $A$ y el $30\,\%$ en la fábrica $B$. El control de calidad ha detectado que el $2\,\%$ de los tenis de la fábrica $A$ tienen algún defecto de costura, mientras que en la fábrica $B$ los defectos aparecen en el $5\,\%$ de la producción. Un cliente compra unos tenis y descubre que tienen un defecto de costura. Calcule la probabilidad de que hayan sido fabricados en la fábrica $B$.

Una tienda de videojuegos vende consolas de dos marcas: "N-Switch" y "PlayPro". El $65\,\%$ de las ventas son de PlayPro y el resto de N-Switch. El servicio técnico informa de que el $3\,\%$ de las PlayPro se devuelven por fallo de fábrica, mientras que en las N-Switch el porcentaje de devolución es del $2\,\%$. Si un cliente devuelve una consola defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea una PlayPro?

En una plataforma de streaming, el $60\,\%$ de las series son de producción propia, mientras que el resto son de productoras externas. Se sabe que el $15\,\%$ de las series de producción propia son del género de ciencia ficción, mientras que en las externas este porcentaje sube al $25\,\%$. Si elegimos una serie al azar y resulta ser de ciencia ficción, ¿cuál es la probabilidad de que sea una producción propia de la plataforma?

En una escuela secundaria, el $40\,\%$ de los alumnos de 12.º grado son de la opción de Ciencias y el $60\,\%$ de Ciencias Sociales. Se ha observado que aprueban la asignatura de Inglés el $85\,\%$ de los alumnos de Ciencias y el $90\,\%$ de los de Ciencias Sociales. Si elegimos un alumno al azar que sabemos que ha aprobado Inglés, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la modalidad de Ciencias?

Un equipo de e-sports juega sus partidas de un torneo bajo dos condiciones climáticas de red: "Latencia Baja" ($P=0,75$) y "Latencia Alta" ($P=0,25$). Cuando la latencia es baja, el equipo gana el $80\,\%$ de sus enfrentamientos. Sin embargo, si la latencia es alta, su probabilidad de victoria cae al $40\,\%$. Sabiendo que el equipo acaba de ganar una partida, ¿cuál es la probabilidad de que estuvieran jugando con latencia alta?

Una prueba para detectar una alergia alimentaria da un resultado positivo en el $98\,\%$ de las personas que realmente padecen la alergia. Sin embargo, también da un "falso positivo" (positivo sin tener la alergia) en el $4\,\%$ de las personas sanas. Sabemos que en una población el $10\,\%$ de las personas son alérgicas. Si una persona elegida al azar da positivo en la prueba, calcule la probabilidad de que realmente sea alérgica.

Una red social utiliza un algoritmo de inteligencia artificial para detectar comentarios de odio. Se sabe que el $5\,\%$ de los comentarios publicados son realmente inapropiados. El algoritmo identifica correctamente como "inapropiado" el $98\,\%$ de los comentarios que realmente lo son. Sin embargo, etiqueta erróneamente como "inapropiado" el $3\,\%$ de los comentarios que son respetuosos. Si el sistema acaba de bloquear un comentario por marcarlo como "inapropiado", ¿cuál es la probabilidad de que el comentario fuera realmente respetuoso?

En un centro de alto rendimiento deportivo, se realiza una prueba de detección de una sustancia prohibida. Se sabe que solo el $0,5\%$ de los atletas consume dicha sustancia. La prueba tiene una fiabilidad tal que da positivo en el $96\%$ de los casos en los que el atleta ha consumido la sustancia (sensibilidad). Sin embargo, la prueba también arroja un $2\%$ de "falsos positivos" en atletas limpios. Si un atleta da positivo en la prueba, calcule la probabilidad de que realmente sea inocente y no haya consumido la sustancia.

Una empresa de logística de última milla distribuye paquetes en una ciudad utilizando tres tipos de vehículos: camionetas eléctricas ($60\,\%$), motocicletas ($30\,\%$) y bicicletas de carga ($10\,\%$). La probabilidad de que un paquete llegue con retraso es del $2\,\%$ si se entrega en camioneta, del $5\,\%$ si es en motocicleta y del $8\,\%$ si es en bicicleta. Si un cliente llama para quejarse porque su paquete ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que el repartidor fuera en bicicleta de carga?

Un fabricante de componentes electrónicos para teléfonos inteligentes tiene tres líneas de producción: A, B y C. La línea A produce el $45\,\%$ de los componentes, la B el $30\,\%$ y la C el $25\,\%$. Se sabe que la probabilidad de que un componente sea defectuoso es del $1\,\%$ en la línea A, del $2\,\%$ en la línea B y del $3\,\%$ en la línea C. Si se selecciona un componente al azar y resulta ser defectuoso, determine razonadamente qué línea de producción es más probable que lo haya fabricado.

Una multinacional tecnológica utiliza tres proveedores distintos para los microchips de sus nuevas computadoras portátiles para gaming. El proveedor $A$ suministra el $45\%$ de los chips, el proveedor $B$ el $35\%$, y el resto proceden del proveedor $C$. Se sabe por controles de calidad previos que el $1\%$ de los chips de $A$ son defectuosos, mientras que para $B$ y $C$ estos porcentajes son del $2\%$ y el $3\%$, respectivamente. Un usuario compra una computadora portátil y, al mes de uso, sufre un fallo crítico debido al microchip. Calcule la probabilidad de que el chip defectuoso haya sido suministrado por el proveedor $B$.

Un centro de reciclaje procesa envases que provienen de dos distritos de la ciudad, Norte y Sur. El $60\,\%$ de los envases provienen del distrito Norte. En la planta de procesamiento se detecta que el $10\,\%$ de los envases del Norte están mal clasificados por los ciudadanos, mientras que en el distrito Sur este porcentaje asciende al $15\,\%$. Si el operario de la cinta selecciona un envase al azar y comprueba que está correctamente clasificado, ¿cuál es la probabilidad de que provenga del distrito Norte?

En un estudio sobre hábitos de lectura en adolescentes, se dividió a la muestra en tres grupos según el tiempo diario frente a pantallas: Bajo ($20\%$), Medio ($50\%$) y Alto ($30\%$). La probabilidad de que un joven del grupo Bajo lea al menos un libro al mes es de $0,7$; para el grupo Medio es de $0,4$ y para el grupo Alto es de $0,15$. Si seleccionamos a un adolescente al azar y afirma no haber leído ningún libro el último mes, calcule la probabilidad de que pertenezca al grupo de consumo de pantallas "Alto".

Una fábrica tiene dos máquinas, $M_1$ y $M_2$, que producen la misma pieza. $M_1$ produce el triple de piezas que $M_2$. El porcentaje de piezas defectuosas de $M_1$ es del $k\%$ y el de $M_2$ es del $4\%$. Se sabe que si se elige una pieza al azar y resulta ser defectuosa, la probabilidad de que proceda de la máquina $M_2$ es de $4/13$. Calcule el valor de $k$ y, a continuación, la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa.