Emma y cinco amigos están en una fiesta de pizza. Todos se chocan los cinco con todos los demás exactamente una vez. ¿Cuántos choques de manos hay en total? Contarlos uno por uno se complica muy rápido. Al final de esta página los contarás en una sola línea, y también resolverás problemas mucho más difíciles de "escoger un grupo".
Combinaciones y el coeficiente binomial
Una combinación es una selección en la que el orden no importa: un comité, una mano de cartas, los ingredientes de una pizza. Escoger a Ava, luego a Ben y luego a Chloe da el mismo grupo que escoger a Chloe, luego a Ava y luego a Ben.
¿Por qué dividir entre $k!$? Primero cuenta las listas ordenadas: hay $n(n-1)\cdots(n-k+1)$. Cada grupo de $k$ objetos aparece como $k!$ listas distintas (todos sus ordenamientos), así que cada grupo se contó $k!$ veces. Dividir entre $k!$ lo corrige.
Los problemas de cartas también son de escoger. Una baraja estándar de EE. UU. tiene 52 cartas en 4 palos (corazones, diamantes, tréboles y picas) de 13 cartas cada uno. En algunos problemas se usa una baraja de 40 cartas (a veces llamada "baraja española") con 4 palos de 10 cartas, y uno de sus palos se llama "oros". Trata cualquier palo exactamente como los corazones: es solo un grupo de 10 cartas. Sacar cartas "simultáneamente" (o recibir una mano) significa que el orden no importa, así que se usa una combinación.
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Para preparar una ensalada, dispone de $8$ ingredientes diferentes (lechuga, tomate, zanahoria, cebolla, pepino, atún, maíz y aceitunas). Calcule cuántas ensaladas…
Para preparar una ensalada, dispone de $8$ ingredientes diferentes (lechuga, tomate, zanahoria, cebolla, pepino, atún, maíz y aceitunas). Calcule cuántas ensaladas distintas de $4$ ingredientes puede elaborar.
Un examen consta de $10$ preguntas. El profesor indica que los alumnos deben elegir y responder únicamente $6$ de ellas. Determine de cuántas formas distintas puede un…
Un examen consta de $10$ preguntas. El profesor indica que los alumnos deben elegir y responder únicamente $6$ de ellas. Determine de cuántas formas distintas puede un alumno seleccionar las preguntas a responder.
"Todos juegan contra todos una vez" y "todos se dan la mano con todos" son el mismo problema: contar las parejas de personas. Una pareja $\{A, B\}$ es igual a $\{B, A\}$, así que el orden no importa.
Volvamos a la fiesta de pizza: 6 amigos dan $\binom{6}{2}=\dfrac{6\cdot 5}{2}=15$ choques de manos. Eso es exactamente las 15 líneas de la figura.
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En un torneo de ajedrez participan $14$ jugadores. Si cada jugador debe enfrentarse una sola vez a todos los demás, determine el número total de partidas que se…
En un torneo de ajedrez participan $14$ jugadores. Si cada jugador debe enfrentarse una sola vez a todos los demás, determine el número total de partidas que se disputarán en el torneo.
En una reunión de trabajo hay $12$ personas. Al finalizar, todos se despiden estrechándose la mano una sola vez. Calcule cuántos apretones de manos se producen en total.
En una reunión de trabajo hay $12$ personas. Al finalizar, todos se despiden estrechándose la mano una sola vez. Calcule cuántos apretones de manos se producen en total.
Los problemas de geometría son problemas de escoger disfrazados. Dos puntos determinan un segmento y tres puntos no colineales determinan un triángulo.
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Se marcan $7$ puntos sobre una circunferencia. Calcule cuántos segmentos distintos se pueden trazar uniendo dos de estos puntos.
Se marcan $7$ puntos sobre una circunferencia. Calcule cuántos segmentos distintos se pueden trazar uniendo dos de estos puntos.
En una cuadrícula formada por $9$ puntos distribuidos en $3$ filas y $3$ columnas, determine cuántos triángulos distintos se pueden formar utilizando estos puntos como…
En una cuadrícula formada por $9$ puntos distribuidos en $3$ filas y $3$ columnas, determine cuántos triángulos distintos se pueden formar utilizando estos puntos como vértices. Tenga en cuenta que tres puntos alineados no forman un triángulo.
Cuando la incógnita aparece dentro de un coeficiente binomial, desarrolla la fórmula con factoriales, simplifica y resuelve. El resultado suele ser una ecuación lineal o cuadrática, así que quizá tengas que factorizar o usar la fórmula cuadrática.
Cuando una ecuación tiene dos coeficientes, desarróllalos ambos, ponlos sobre un denominador común y combina términos semejantes antes de resolver. Muchas veces ocurren muchas cancelaciones.
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Resuelva la siguiente ecuación para encontrar el valor del número natural $n$: $C_{n, 2} = 45$
Resuelva la siguiente ecuación para encontrar el valor del número natural $n$:
Muchas selecciones tienen condiciones como "2 estudiantes de 11.º grado y 3 de 12.º grado" o "exactamente 3 de cierto tipo". Divide el problema en bloques independientes, cuenta cada bloque con una combinación y multiplica.
Cuando un problema dice "exactamente $k$ de un tipo especial", divide todo en "especiales" y "otros". Escoge $k$ del grupo especial y el resto del otro grupo. En un problema de lotería, por ejemplo, los números "especiales" son los ganadores. En un problema de cartas, las cartas "especiales" pueden ser todas las de un palo.
Practica★★☆Sin empezar
Una empresa necesita formar un equipo de proyecto compuesto por $3$ ingenieros y $2$ economistas. Si en la plantilla hay $8$ ingenieros y $5$ economistas disponibles,…
Una empresa necesita formar un equipo de proyecto compuesto por $3$ ingenieros y $2$ economistas. Si en la plantilla hay $8$ ingenieros y $5$ economistas disponibles, calcule cuántos equipos distintos se pueden formar.
Se extraen $5$ cartas simultáneamente de una baraja española de $40$ cartas (dividida en $4$ palos de $10$ cartas cada uno). Determine en cuántos de los resultados…
Se extraen $5$ cartas simultáneamente de una baraja española de $40$ cartas (dividida en $4$ palos de $10$ cartas cada uno). Determine en cuántos de los resultados posibles hay exactamente $3$ cartas del palo de oros.
El juego de la Lotería Primitiva consiste en elegir $6$ números de un total de $49$. Si ya se conoce la combinación ganadora de $6$ números, calcule cuántas apuestas…
El juego de la Lotería Primitiva consiste en elegir $6$ números de un total de $49$. Si ya se conoce la combinación ganadora de $6$ números, calcule cuántas apuestas diferentes de las posibles obtendrían exactamente $4$ aciertos.
Hay dos tipos más de condiciones que aparecen todo el tiempo.
Miembros obligatorios. Si algunos objetos deben escogerse, ya están en el grupo. Escoge el resto de entre los objetos que quedan.
"Al menos". Tienes dos estrategias.
Sumar los casos: "al menos 3" significa exactamente 3, exactamente 4, y así sucesivamente. Suma esos conteos.
Complemento: "al menos 1" significa todo menos "ninguno". Cuenta todos los grupos y luego resta los grupos que no cumplen.
Practica★★☆Sin empezar
En un cuestionario de $12$ preguntas, debe contestar obligatoriamente un total de $8$. Sin embargo, las $3$ primeras preguntas son de respuesta obligatoria. Determine de…
En un cuestionario de $12$ preguntas, debe contestar obligatoriamente un total de $8$. Sin embargo, las $3$ primeras preguntas son de respuesta obligatoria. Determine de cuántas formas diferentes puede completar su selección de preguntas.
Un hospital debe formar un equipo de guardia nocturna de $5$ personas, seleccionado de un grupo de $7$ médicos y $6$ enfermeros. Calcule cuántos equipos distintos se…
Un hospital debe formar un equipo de guardia nocturna de $5$ personas, seleccionado de un grupo de $7$ médicos y $6$ enfermeros. Calcule cuántos equipos distintos se pueden formar si la normativa exige que el equipo contenga al menos $3$ médicos.
Una urna contiene $6$ bolas rojas, $5$ bolas azules y $4$ bolas verdes. Se extraen $4$ bolas simultáneamente. Calcule cuántos resultados distintos contienen exactamente…
Una urna contiene $6$ bolas rojas, $5$ bolas azules y $4$ bolas verdes. Se extraen $4$ bolas simultáneamente. Calcule cuántos resultados distintos contienen exactamente $2$ bolas rojas y al menos $1$ bola azul.
Las combinaciones también cuentan rutas. Supón que un robot (o tú, caminando por las cuadras de una ciudad) debe ir de $A$ a $B$ moviéndose solo a la derecha o hacia arriba. Si el viaje necesita $m$ pasos a la derecha y $p$ pasos hacia arriba, cada ruta es una sucesión de $m+p$ pasos. Una ruta queda determinada cuando decides cuáles de esos pasos van a la derecha.
Practica★★☆Sin empezar
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el punto $A$ hasta el punto $B$. Solo puede realizar movimientos hacia la derecha o hacia arriba, avanzando una…
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el punto $A$ hasta el punto $B$. Solo puede realizar movimientos hacia la derecha o hacia arriba, avanzando una intersección en cada paso. Calcule el número de trayectorias distintas que puede seguir.
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$, moviéndose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. Debe pasar obligatoriamente por el…
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$, moviéndose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. Debe pasar obligatoriamente por el nodo $C$ para recoger un paquete. Determine cuántas rutas válidas existen.
¿Y si puedes escoger el mismo objeto más de una vez? En una tienda de yogur helado puedes pedir 3 bolas de 4 sabores, y "dos de vainilla y una de menta" está permitido. El orden sigue sin importar, pero ahora se permiten repeticiones.
La misma fórmula cuenta las maneras de repartir objetos idénticos entre personas distintas. Por cada objeto decides quién lo recibe y, como los objetos son idénticos, solo importan los totales. Las personas hacen el papel de los "tipos".
Dominós: parejas sin orden con repetición
Una ficha de dominó tiene dos mitades, y cada una muestra un valor. La ficha $[2|5]$ es la misma que $[5|2]$, así que el orden no importa. Pero ambas mitades pueden mostrar el mismo valor (un "doble" como $[3|3]$), así que se permiten repeticiones. Un juego de dominó es, por lo tanto, un conteo de parejas sin orden con repetición: $k=2$, y $n$ es el número de valores distintos en una mitad.
Para contar las fichas que no son dobles, observa que son las parejas con dos valores distintos. Eso es una combinación común, $\binom{n}{2}$. También puedes obtenerlo restando: total de fichas menos los $n$ dobles.
Practica★★☆Sin empezar
En una pastelería se venden $6$ tipos diferentes de pasteles. Determine de cuántas formas distintas se pueden comprar $4$ pasteles, teniendo en cuenta que se pueden…
En una pastelería se venden $6$ tipos diferentes de pasteles. Determine de cuántas formas distintas se pueden comprar $4$ pasteles, teniendo en cuenta que se pueden elegir varios del mismo tipo.
Dispone de $8$ entradas idénticas para un concierto y quiere repartirlas entre sus $4$ mejores amigos. Calcule de cuántas formas puede distribuirlas, sabiendo que a un…
Dispone de $8$ entradas idénticas para un concierto y quiere repartirlas entre sus $4$ mejores amigos. Calcule de cuántas formas puede distribuirlas, sabiendo que a un amigo le pueden tocar varias entradas o incluso ninguna.
El juego del dominó tradicional llega hasta el doble seis (las puntuaciones van del $0$ al $6$). Un fabricante decide crear un "súper dominó" que llegue hasta el doble…
El juego del dominó tradicional llega hasta el doble seis (las puntuaciones van del $0$ al $6$). Un fabricante decide crear un "súper dominó" que llegue hasta el doble nueve (las puntuaciones van del $0$ al $9$). Calcule cuántas fichas en total tendrá este nuevo juego y cuántas de ellas no serán dobles.
¿Y si cada tipo debe aparecer al menos una vez? Hazlo en dos pasos. Primero reserva un objeto de cada tipo, de modo que se cumpla el requisito. Luego reparte lo que queda sin restricciones.
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En una heladería ofrecen $5$ sabores diferentes. Quiere comprar $8$ vasitos de helado para una fiesta, pero desea asegurarse de llevar al menos un vasito de cada uno de…
En una heladería ofrecen $5$ sabores diferentes. Quiere comprar $8$ vasitos de helado para una fiesta, pero desea asegurarse de llevar al menos un vasito de cada uno de los $5$ sabores. Calcule de cuántas formas distintas puede hacer su pedido.