Introducción al conteo
Tu celular te pide un código de acceso de 6 dígitos. ¿Cuántos códigos distintos son posibles? ¿Y cuántos de ellos no repiten ningún dígito? Escribirlos uno por uno tardaría una eternidad. La combinatoria es el arte de contar sin listar. En Estadística AP la necesitarás para calcular probabilidades y, más adelante, para la distribución binomial. Esta página te da las herramientas básicas.
El principio de multiplicación
Una heladería vende helados con 4 tamaños, 6 sabores y 3 coberturas. Para hacer un pedido eliges una opción en cada etapa, y cada elección no afecta a las demás.
Lanzar dos dados es la misma idea: 6 resultados en el primer dado y 6 en el segundo dan $6 \cdot 6 = 36$ resultados. Pruébalo:
Un restaurante ofrece un menú del día con $4$ entradas, $3$ platos principales y $5$ postres. ¿De cuántas formas distintas se puede pedir un menú completo compuesto por…
Un restaurante ofrece un menú del día con $4$ entradas, $3$ platos principales y $5$ postres. ¿De cuántas formas distintas se puede pedir un menú completo compuesto por una entrada, un plato principal y un postre?
Una marca de bicicletas fabrica un modelo que está disponible en $3$ tamaños diferentes de marco, $5$ colores y con $2$ tipos de frenos distintos. ¿Cuántas versiones…
Una marca de bicicletas fabrica un modelo que está disponible en $3$ tamaños diferentes de marco, $5$ colores y con $2$ tipos de frenos distintos. ¿Cuántas versiones diferentes de este modelo de bicicleta existen en el mercado?
Para ir de la ciudad A a la ciudad B hay $3$ carreteras distintas, y para ir de la ciudad B a la ciudad C hay $2$ carreteras distintas. ¿De cuántas formas se puede…
Para ir de la ciudad A a la ciudad B hay $3$ carreteras distintas, y para ir de la ciudad B a la ciudad C hay $2$ carreteras distintas.
-
¿De cuántas formas se puede viajar de A a C pasando obligatoriamente por B?
-
Dibuje el diagrama de árbol correspondiente a este viaje.
El principio de suma
Ahora supón que no haces ambas cosas, sino que eliges entre dos alternativas. Para ir de Chicago a Milwaukee puedes tomar uno de 4 trenes o uno de 3 autobuses.
En una biblioteca de aula hay $12$ novelas de ciencia ficción, $8$ de novela histórica y $5$ biografías. Si solo tiene tiempo para leer un libro este fin de semana,…
En una biblioteca de aula hay $12$ novelas de ciencia ficción, $8$ de novela histórica y $5$ biografías. Si solo tiene tiempo para leer un libro este fin de semana, ¿cuántas opciones diferentes tiene para elegir?
Una contraseña para un sistema informático debe estar formada por $2$ letras del alfabeto (de $26$ letras posibles) seguidas de $3$ dígitos (del $0$ al $9$), o bien por…
Una contraseña para un sistema informático debe estar formada por $2$ letras del alfabeto (de $26$ letras posibles) seguidas de $3$ dígitos (del $0$ al $9$), o bien por $3$ letras seguidas de $2$ dígitos. Si se permite repetir tanto las letras como los dígitos, ¿cuántas contraseñas distintas se pueden crear en total?
Diagramas de árbol
Un diagrama de árbol lista todos los resultados de un proceso de varias etapas. Cada etapa es un nivel de ramas, y cada camino desde la raíz hasta el final es un resultado. Contar los extremos de las ramas da el mismo número que el principio de multiplicación.
Este es un caso en que las opciones cambian de una etapa a otra. Ava, Ben y Cam son candidatos, y la clase elige un presidente y luego un vicepresidente, que debe ser otra persona.
Hay 3 opciones para presidente y, después, solo 2 para vicepresidente, así que hay $3 \cdot 2 = 6$ hojas. El número de opciones de la segunda etapa cambió (3, luego 2), pero fue el mismo en todas las ramas. Por eso multiplicar sigue funcionando.
Dibuje el diagrama de árbol para el experimento que consiste en lanzar una moneda justa y, a continuación, lanzar un dado con forma de tetraedro (con sus caras numeradas…
Dibuje el diagrama de árbol para el experimento que consiste en lanzar una moneda justa y, a continuación, lanzar un dado con forma de tetraedro (con sus caras numeradas del $1$ al $4$). ¿Cuántos resultados posibles tiene este experimento compuesto?
En una urna hay $3$ bolas rojas y $2$ bolas azules. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin devolverlas a la urna (sin reemplazo). Dibuje el diagrama de árbol del…
En una urna hay $3$ bolas rojas y $2$ bolas azules. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin devolverlas a la urna (sin reemplazo). Dibuje el diagrama de árbol del experimento y calcule cuántos resultados distintos se pueden obtener si tenemos en cuenta el orden de extracción y el color de las bolas.
Árboles que se detienen antes
Algunos procesos terminan en cuanto se cumple una condición, como una serie de playoffs. Entonces las ramas no tienen todas la misma longitud, y $2 \cdot 2 \cdot 2$ contaría juegos que nunca se juegan. Dibujar el árbol es el método más seguro.
Dos equipos de básquetbol, Alfa y Beta, juegan una eliminatoria al mejor de $3$ partidos (el primero que consiga ganar $2$ partidos se clasifica). Los empates no son…
Dos equipos de básquetbol, Alfa y Beta, juegan una eliminatoria al mejor de $3$ partidos (el primero que consiga ganar $2$ partidos se clasifica). Los empates no son posibles. Dibuje el diagrama de árbol con todos los desarrollos posibles de la eliminatoria. ¿De cuántas formas distintas puede transcurrir la serie de partidos?
Dos amigos, Carlos y Diana, juegan a un juego de mesa compuesto por varias rondas. El ganador final del juego será el primero que logre ganar $2$ rondas consecutivas o…
Dos amigos, Carlos y Diana, juegan a un juego de mesa compuesto por varias rondas. El ganador final del juego será el primero que logre ganar $2$ rondas consecutivas o bien $3$ rondas en total a lo largo de la partida. Sabiendo que los empates no son posibles en ninguna ronda, dibuje el diagrama de árbol correspondiente y determine el número máximo de rondas que pueden llegar a jugar y cuántos desarrollos distintos tiene el juego.
Contar caminos en una cuadrícula
Un robot se mueve por las líneas de una cuadrícula, solo a la derecha o hacia arriba, de A a B. Un camino es una sucesión de movimientos, y contarlo con un árbol sería largo. Usa mejor el principio de suma.
El robot llega a cualquier punto desde el punto que está a su izquierda o desde el que está justo debajo, y esas son las únicas posibilidades. Estos dos grupos no se traslapan, así que:
$$\text{caminos a un punto} = \text{caminos al punto de la izquierda} + \text{caminos al punto de abajo}$$Los puntos de la fila inferior y de la columna izquierda tienen solo 1 camino. Completa el resto punto por punto.
Observe la cuadrícula de la figura. Un robot se desplaza desde el punto A hasta el punto B moviéndose únicamente hacia la derecha o hacia arriba a través de las líneas…
Observe la cuadrícula de la figura. Un robot se desplaza desde el punto A hasta el punto B moviéndose únicamente hacia la derecha o hacia arriba a través de las líneas de la cuadrícula. ¿Cuántos caminos diferentes puede tomar el robot para llegar a su destino?
Con repetición y sin repetición
La mayoría de los problemas de conteo se reducen a una pregunta: ¿se pueden reutilizar las cosas? Cada etapa tiene su propio número de opciones.
Las hojas de respuestas son un caso clásico de repetición. Cada pregunta es una etapa, y la misma letra se puede usar en muchas preguntas. Dejar una pregunta en blanco es una "respuesta" más que puedes elegir, así que agrega una opción a cada etapa.
Un examen de opción múltiple consta de $10$ preguntas. Cada pregunta tiene $4$ opciones de respuesta, de las cuales solo una es correcta. ¿De cuántas formas diferentes…
Un examen de opción múltiple consta de $10$ preguntas. Cada pregunta tiene $4$ opciones de respuesta, de las cuales solo una es correcta.
-
¿De cuántas formas diferentes se puede contestar el examen si es obligatorio marcar una opción en todas las preguntas?
-
¿De cuántas formas se podría contestar si se permite dejar preguntas en blanco?
Se quiere diseñar una bandera con $3$ franjas verticales utilizando una paleta de $5$ colores disponibles. ¿De cuántas formas se puede colorear si dos franjas adyacentes…
Se quiere diseñar una bandera con $3$ franjas verticales utilizando una paleta de $5$ colores disponibles.
-
¿De cuántas formas se puede colorear si dos franjas adyacentes no pueden tener el mismo color?
-
¿De cuántas formas se puede colorear si, además de la condición anterior, la primera y la última franja también deben ser obligatoriamente de colores distintos?
En una clase de $20$ alumnos se debe elegir un equipo directivo formado por un presidente, un vicepresidente y un secretario (cargos distintos que no puede ocupar la…
En una clase de $20$ alumnos se debe elegir un equipo directivo formado por un presidente, un vicepresidente y un secretario (cargos distintos que no puede ocupar la misma persona simultáneamente). Una vez elegido el equipo directivo, se debe escoger a un delegado de deportes entre los $17$ alumnos restantes. ¿De cuántas formas diferentes se puede realizar todo este proceso de selección?
Restricciones y el truco del complemento
A veces una condición limita una posición, como "número par", "el primer dígito no es cero" o "palíndromo". Dos estrategias ayudan.
Utilizando únicamente los dígitos del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5\}$: ¿Cuántos números de $4$ cifras distintas se pueden formar? ¿Cuántos de esos números formados son…
Utilizando únicamente los dígitos del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5\}$:
-
¿Cuántos números de $4$ cifras distintas se pueden formar?
-
¿Cuántos de esos números formados son pares?
Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (por ejemplo, el número $35153$). ¿Cuántos números capicúas de $5$ cifras…
Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (por ejemplo, el número $35153$).
-
¿Cuántos números capicúas de $5$ cifras existen en total?
-
¿Cuántos de esos números capicúas de $5$ cifras son números pares?
En el sistema de numeración decimal, consideramos todos los números enteros comprendidos entre el $1000$ y el $9999$ (ambos inclusive). ¿Cuántos de estos números…
En el sistema de numeración decimal, consideramos todos los números enteros comprendidos entre el $1000$ y el $9999$ (ambos inclusive). ¿Cuántos de estos números contienen la cifra $7$ al menos una vez en su escritura?
Factoriales
Cuando ordenas objetos y en cada paso queda uno menos disponible, siempre aparece el mismo producto: $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1$. Tiene nombre y símbolo propios.
¿Por qué $0! = 1$? Porque $n! = n \cdot (n-1)!$. Si $n = 1$: $1! = 1 \cdot 0!$, y como $1! = 1$, necesitamos que $0! = 1$.
Una calculadora tiene una tecla $n!$, normalmente en el menú de probabilidad. Para simplificar una fracción de factoriales, no desarrolles todo. Escribe el factorial mayor hasta el menor y cancela.
Un producto de números descendentes se puede escribir con factoriales "completando" el resto del factorial y dividiéndolo:
Calcule el valor de las siguientes expresiones numéricas utilizando las propiedades de los factoriales: $\frac{8!}{6!}$ $4! + 3!$
Calcule el valor de las siguientes expresiones numéricas utilizando las propiedades de los factoriales:
-
$\frac{8!}{6!}$
-
$4! + 3!$
Exprese los siguientes productos utilizando la notación matemática de factorial: $15 \cdot 14 \cdot 13$ $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$
Exprese los siguientes productos utilizando la notación matemática de factorial:
-
$15 \cdot 14 \cdot 13$
-
$7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$
Factoriales con variables
La misma idea de desarrollar el factorial mayor funciona con álgebra. Usa siempre $(k+1)! = (k+1) \cdot k!$, bajando solo hasta donde necesites.
$$\frac{(x+3)!}{x!} = \frac{(x+3)(x+2)(x+1)\,x!}{x!} = (x+3)(x+2)(x+1)$$Simplifique la expresión algebraica $\frac{(x+2)!}{x!}$ y, a continuación, resuelva la ecuación $\frac{(x+2)!}{x!} = 72$.
Simplifique la expresión algebraica $\frac{(x+2)!}{x!}$ y, a continuación, resuelva la ecuación $\frac{(x+2)!}{x!} = 72$.
Resuelva la siguiente ecuación con factoriales, sabiendo que $n$ es un número natural: $$ \frac{(n+1)!}{(n-1)!} - \frac{(n-1)!}{(n-3)!} = 22 $$
Resuelva la siguiente ecuación con factoriales, sabiendo que $n$ es un número natural:
$$ \frac{(n+1)!}{(n-1)!} - \frac{(n-1)!}{(n-3)!} = 22 $$Demuestre algebraicamente la siguiente identidad válida para cualquier número natural $n \ge 1$: $$ n! + (n-1)! = (n+1) \cdot (n-1)! $$ Una vez demostrada, aplique este…
Demuestre algebraicamente la siguiente identidad válida para cualquier número natural $n \ge 1$:
$$ n! + (n-1)! = (n+1) \cdot (n-1)! $$Una vez demostrada, aplique este resultado para simplificar y calcular el valor exacto de la expresión $\frac{10! + 9!}{11!}$.
El principio del palomar
Si hay más palomas que nidos, algún nido debe tener al menos dos palomas. Suena obvio, pero es una herramienta poderosa: puede garantizar que algo se repite sin encontrar cuál.
La geometría también puede proporcionar las cajas. En un cuadrado de $3 \times 3$, elige 10 puntos cualesquiera. Corta el cuadrado en nueve cuadrados de $1 \times 1$. Como $10 > 9$, algún cuadrado pequeño contiene dos puntos. Lo más lejos que pueden estar dos puntos en un cuadrado unitario es la longitud de su diagonal, $\sqrt{2}$, así que esos dos puntos están a lo sumo a $\sqrt{2}$ de distancia. La estrategia es cortar la figura en "regiones estratégicas" cuyo tamaño controlas. (Con 5 puntos en un cuadrado de lado 2, la misma idea usa cuatro cuadrados de $1 \times 1$ como cajas.)
En el cajón de una cómoda hay calcetines sueltos de $3$ colores distintos (negros, blancos y azules). Si hay un apagón y saca calcetines a oscuras, ¿cuál es el número…
En el cajón de una cómoda hay calcetines sueltos de $3$ colores distintos (negros, blancos y azules). Si hay un apagón y saca calcetines a oscuras, ¿cuál es el número mínimo de calcetines que debe extraer para asegurarse de tener al menos un par del mismo color?
En una escuela secundaria hay $400$ estudiantes matriculados. Justifique matemáticamente por qué puede asegurar que al menos dos alumnos cumplen años el mismo día del…
En una escuela secundaria hay $400$ estudiantes matriculados.
-
Justifique matemáticamente por qué puede asegurar que al menos dos alumnos cumplen años el mismo día del año.
-
¿Cuántos alumnos se necesitarían como mínimo en la escuela para garantizar que al menos tres de ellos comparten fecha de cumpleaños? (Considere años no bisiestos de $365$ días).
Se eligen al azar $5$ puntos en el interior de un cuadrado de lado $2\text{ cm}$. Demuestre, utilizando el principio del palomar, que siempre habrá al menos dos puntos…
Se eligen al azar $5$ puntos en el interior de un cuadrado de lado $2\text{ cm}$. Demuestre, utilizando el principio del palomar, que siempre habrá al menos dos puntos cuya distancia entre ellos sea menor o igual a $\sqrt{2}\text{ cm}$. (Pista: divida el cuadrado en regiones estratégicas).
Volvamos al principio: un código de 6 dígitos tiene 6 posiciones con 10 opciones de dígito cada una, así que hay $10^6 = 1{,}000{,}000$ códigos. Sin repetir ningún dígito, las opciones disminuyen en cada etapa: $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 151{,}200$.