Adivinar el código de 4 dígitos del celular de alguien es una probabilidad de 1 en 10,000. Ganar el premio mayor de Powerball es de alrededor de 1 en 292 millones. Ambos números salen de contar, pero los dos conteos funcionan de manera muy distinta. En Estadística AP, cuando los resultados son igualmente probables, una probabilidad es $\dfrac{\text{resultados favorables}}{\text{resultados totales}}$, así que necesitas contar ambas cantidades sin hacer la lista. Esta página te da las herramientas para lograrlo.
El principio fundamental del conteo
La mayoría de los problemas de conteo construyen un resultado en etapas: elegir un primer dígito, luego un segundo dígito, y así sucesivamente. Dibuja una casilla por etapa y escribe cuántas opciones tiene cada una.
Regla práctica: "etapa y etapa" significa multiplicar. "Caso o caso" (casos que no pueden ocurrir a la vez) significa sumar.
Practica★★☆Sin empezar
Para celebrar el fin de año escolar, un grupo de amigos decide ir a cenar a un restaurante que ofrece un menú cerrado. Los estudiantes deben elegir una entrada entre 4…
Para celebrar el fin de año escolar, un grupo de amigos decide ir a cenar a un restaurante que ofrece un menú cerrado. Los estudiantes deben elegir una entrada entre 4 posibles, un plato principal entre 5 opciones y un postre de una lista de 3. ¿De cuántas formas distintas puede un alumno configurar su menú de cena?
Un estudiante de escuela secundaria quiere crear una contraseña segura para su nuevo perfil en una red social. La contraseña debe tener exactamente 4 dígitos numéricos…
Un estudiante de escuela secundaria quiere crear una contraseña segura para su nuevo perfil en una red social. La contraseña debe tener exactamente 4 dígitos numéricos (del $0$ al $9$). Si se permite que los números se repitan, ¿cuántas combinaciones de códigos diferentes podría generar?
Un nuevo servicio de banca en línea requiere que sus usuarios creen una clave de seguridad personalizada. La clave debe estar formada por exactamente 4 dígitos seguidos…
Un nuevo servicio de banca en línea requiere que sus usuarios creen una clave de seguridad personalizada. La clave debe estar formada por exactamente 4 dígitos seguidos de 2 letras (utilizando el alfabeto español de 26 letras, excluyendo la "ñ").
Calcula cuántas claves distintas se pueden generar en los siguientes supuestos:
a) Los dígitos pueden repetirse, pero las letras deben ser distintas.
b) Tanto los dígitos como las letras pueden repetirse, pero el primer dígito no puede ser cero y la última letra debe ser una vocal ($A, E, I, O, U$).
¿De cuántas maneras puedes ordenar 5 libros distintos en un estante? El primer lugar tiene 5 opciones, el segundo 4 (ya se usó un libro), luego 3, 2, 1.
$n$
3
4
5
6
7
8
10
$n!$
6
24
120
720
5,040
40,320
3,628,800
Practica★★☆Sin empezar
En la biblioteca de la escuela secundaria, un alumno ha seleccionado 5 libros de literatura distintos y quiere colocarlos en un estante de su habitación. ¿De cuántas…
En la biblioteca de la escuela secundaria, un alumno ha seleccionado 5 libros de literatura distintos y quiere colocarlos en un estante de su habitación. ¿De cuántas formas diferentes puede ordenarlos de izquierda a derecha?
¿Cuántas palabras de 5 letras, con o sin sentido, se pueden formar permutando las letras de la palabra $LIBRO$? ¿Y si todas las palabras debieran empezar por la letra…
¿Cuántas palabras de 5 letras, con o sin sentido, se pueden formar permutando las letras de la palabra $LIBRO$? ¿Y si todas las palabras debieran empezar por la letra $L$?
Para la fase de grupos de un torneo de debate académico, se deben organizar las intervenciones de 8 centros educativos diferentes. El equipo organizador ha decidido que…
Para la fase de grupos de un torneo de debate académico, se deben organizar las intervenciones de 8 centros educativos diferentes. El equipo organizador ha decidido que el debate inaugural siempre lo realice el Centro Educativo Atenea y el debate de clausura lo cierre la Escuela Secundaria Newton.
¿De cuántas formas distintas se puede configurar el orden de intervención de los 6 centros restantes para completar el programa del torneo?
Muchas veces no ordenas a todos, solo $r$ de $n$ objetos, y el orden importa: medallas de oro, plata y bronce, o presidente, vicepresidente y tesorero.
Se lee "permutaciones de $n$ objetos tomados de $r$ en $r$". En una TI-84, usa MATH → PRB → nPr.
Practica★★☆Sin empezar
En una competencia de esports participan 8 jugadores. Si solo se premia a los tres primeros clasificados con medallas de oro, plata y bronce respectivamente, ¿cuántos…
En una competencia de esports participan 8 jugadores. Si solo se premia a los tres primeros clasificados con medallas de oro, plata y bronce respectivamente, ¿cuántos podios distintos pueden formarse al finalizar el torneo? Tenga en cuenta que el orden en que queden los jugadores sí determina el tipo de medalla.
Resuelve razonadamente la siguiente ecuación combinatoria para hallar el valor de $n$: $$V_{n, 3} = 5 \cdot V_{n, 2}$$ Sabiendo que $V_{n, k}$ representa las variaciones…
Resuelve razonadamente la siguiente ecuación combinatoria para hallar el valor de $n$:
$$V_{n, 3} = 5 \cdot V_{n, 2}$$
Sabiendo que $V_{n, k}$ representa las variaciones ordinarias de $n$ elementos tomados de $k$ en $k$.
Tres variantes comunes cambian el conteo con factoriales.
Objetos idénticos
Si algunos objetos son indistinguibles, intercambiarlos da el mismo arreglo, así que divides entre esos intercambios.
Arreglos circulares
Alrededor de una mesa redonda, solo importa quién se sienta junto a quién. Rotar a todos un asiento da la misma distribución. Fija a una persona como referencia y luego ordena a las demás: $n$ personas alrededor de una mesa se pueden sentar de $(n-1)!$ maneras.
Bloques
Si algunos objetos deben quedar juntos, pégalos en un solo bloque. Ordena las unidades y luego ordena los objetos dentro de cada bloque. Si dos objetos no deben estar juntos, cuenta todos los arreglos y resta aquellos en los que sí están juntos.
Practica★★☆Sin empezar
En una estantería de una tienda de decoración, se quieren colocar en fila 9 jarrones idénticos en forma pero de distintos colores: 4 jarrones blancos, 3 jarrones azules…
En una estantería de una tienda de decoración, se quieren colocar en fila 9 jarrones idénticos en forma pero de distintos colores: 4 jarrones blancos, 3 jarrones azules y 2 jarrones plateados.
¿De cuántas maneras diferentes se pueden alinear estos 9 jarrones en el estante?
Ocho amigos, entre los que se encuentran una pareja de novios, van a cenar a un restaurante japonés y les asignan una mesa circular. 1. ¿De cuántas formas pueden…
Ocho amigos, entre los que se encuentran una pareja de novios, van a cenar a un restaurante japonés y les asignan una mesa circular.
¿De cuántas formas pueden sentarse a la mesa si los novios quieren estar sentados juntos?
Si tras la cena se enojan y deciden que en el cine (donde tienen 8 asientos en fila) no quieren sentarse juntos ni tener a nadie entre ellos (es decir, debe haber al menos un asiento vacío u otra persona de separación, pero nunca asientos contiguos), ¿de cuántas formas podrán sentarse los ocho amigos en la fila de asientos?
Un equipo de marketing digital está diseñando una campaña publicitaria para una conocida marca de zapatillas. Para una sesión de fotos, deben colocar en línea a sus 10…
Un equipo de marketing digital está diseñando una campaña publicitaria para una conocida marca de zapatillas. Para una sesión de fotos, deben colocar en línea a sus 10 colaboradores estrella: 3 fotógrafos, 4 editores de video y 3 redactores creativos (copywriters). Determina de cuántas formas pueden posar para la foto si se deben cumplir simultáneamente las siguientes condiciones:
Los profesionales de la misma categoría deben estar siempre juntos.
El fotógrafo principal y el redactor jefe no pueden estar en los extremos de la formación total.
Elegir 2 delegados entre Ana, Ben y Cara es distinto de elegir un presidente y un vicepresidente. Si el orden no importa, el par $\{A, B\}$ y el par $\{B, A\}$ son el mismo grupo.
Dos datos útiles: $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ (elegir quién entra es lo mismo que elegir quién queda fuera), y $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$.
Si acomodas los valores de $\binom{n}{r}$ por filas obtienes el triángulo de Pascal: cada entrada es la suma de las dos que tiene encima.
Practica★★☆Sin empezar
En una heladería ofrecen 12 sabores de helado diferentes. Si queremos comprar un vasito con 2 bolas de sabores distintos, ¿cuántas combinaciones de helados posibles…
En una heladería ofrecen 12 sabores de helado diferentes. Si queremos comprar un vasito con 2 bolas de sabores distintos, ¿cuántas combinaciones de helados posibles podemos elegir? Considere que el orden en que se pongan las bolas en el vasito no cambia el producto final.
Un entrenador de básquetbol dispone de 10 jugadores en su equipo para un partido. Si para el salto inicial debe elegir un quinteto (5 jugadores) y no importa la posición…
Un entrenador de básquetbol dispone de 10 jugadores en su equipo para un partido. Si para el salto inicial debe elegir un quinteto (5 jugadores) y no importa la posición específica que ocupe cada uno en ese momento, ¿cuántos equipos iniciales diferentes puede presentar?
Una clase de 12.º grado tiene que elegir una comisión de convivencia formada por 3 alumnos. Si en la clase hay 25 alumnos y todos son elegibles, ¿cuántos grupos…
Una clase de 12.º grado tiene que elegir una comisión de convivencia formada por 3 alumnos. Si en la clase hay 25 alumnos y todos son elegibles, ¿cuántos grupos distintos de 3 personas se pueden formar? Razone si en este caso importa o no el orden de selección de los miembros.
Muchos problemas eligen de varias categorías a la vez. Elige de cada categoría y luego multiplica. Para condiciones de "al menos", separa en casos y suma.
Dividir en grupos
Para dividir personas en grupos, llena los grupos uno a la vez con combinaciones. Si los grupos no tienen nombre, divide entre el número de maneras de reordenar grupos idénticos.
Practica★★☆Sin empezar
Un chef está diseñando un menú degustación para una cena de gala. El menú debe consistir en 3 entradas, 2 platos principales y 2 postres. Si en su recetario dispone de 6…
Un chef está diseñando un menú degustación para una cena de gala. El menú debe consistir en 3 entradas, 2 platos principales y 2 postres.
Si en su recetario dispone de 6 opciones de entradas, 4 opciones de platos principales y 3 opciones de postres, ¿cuántas combinaciones diferentes de menús puede ofrecer a sus clientes?
En una empresa de desarrollo de videojuegos, el departamento de arte tiene un equipo de 12 diseñadores, de los cuales 7 son expertos en modelado 3D y 5 son expertos en…
En una empresa de desarrollo de videojuegos, el departamento de arte tiene un equipo de 12 diseñadores, de los cuales 7 son expertos en modelado 3D y 5 son expertos en diseño de texturas.
Para un nuevo proyecto, se debe elegir un equipo de trabajo compuesto por 4 diseñadores. ¿De cuántas formas se puede elegir el equipo si se exige que haya al menos dos expertos en modelado 3D?
Se quiere organizar un torneo de pádel relámpago con 12 alumnos de una clase. El profesor quiere formar 6 parejas distintas. 1. ¿De cuántas formas pueden quedar…
Se quiere organizar un torneo de pádel relámpago con 12 alumnos de una clase. El profesor quiere formar 6 parejas distintas.
¿De cuántas formas pueden quedar constituidas las 6 parejas si no importa el orden de las mismas ni el orden de los jugadores dentro de cada pareja?
Si entre los alumnos hay 4 que son jugadores de nivel avanzado y el profesor decide que cada uno de ellos debe estar en una pareja distinta (para equilibrar el nivel), ¿de cuántas formas se pueden formar las parejas ahora?
Cuando un problema tiene una restricción, tienes tres herramientas.
Llenar primero la casilla con restricción.
Complemento: cuenta todo y resta los resultados que no quieres.
Casos: separa según lo que ocurre en la posición clave.
Practica★★☆Sin empezar
Se va a celebrar un torneo relámpago de ajedrez en un centro juvenil. Al finalizar la fase clasificatoria, quedan 10 jugadores. La organización debe entregar tres…
Se va a celebrar un torneo relámpago de ajedrez en un centro juvenil. Al finalizar la fase clasificatoria, quedan 10 jugadores. La organización debe entregar tres trofeos diferentes: uno al campeón, otro al subcampeón y un tercero al tercer clasificado. Además, se entregará una medalla de participación a los 7 jugadores restantes.
a) ¿De cuántas formas pueden repartirse los tres trofeos principales?
b) Si entre los 10 finalistas hay una pareja de hermanos y queremos saber en cuántas de esas clasificaciones los dos hermanos reciben trofeo (independientemente de cuál sea).
Para acceder a una zona VIP de un festival de música, los asistentes deben generar un código personal de 7 caracteres. Las reglas de la organización son estrictas para…
Para acceder a una zona VIP de un festival de música, los asistentes deben generar un código personal de 7 caracteres. Las reglas de la organización son estrictas para evitar hackeos:
Los 3 primeros caracteres deben ser letras mayúsculas distintas (de un alfabeto de 26 letras, excluyendo la Ñ).
Los 4 caracteres restantes deben ser dígitos del $0$ al $9$, que pueden repetirse.
Restricción adicional: El código no es válido si los tres dígitos centrales del bloque numérico son iguales entre sí (por ejemplo, ABC-1222 o ABC-5550 no valdrían, pero ABC-5505 sí).
Calcula cuántos códigos diferentes se pueden crear bajo estas condiciones.
En una liga escolar de E-sports participan 14 jugadores. Se debe seleccionar un comité de 5 representantes para la federación nacional. Entre los 14 jugadores, hay una…
En una liga escolar de E-sports participan 14 jugadores. Se debe seleccionar un comité de 5 representantes para la federación nacional. Entre los 14 jugadores, hay una pareja de hermanos que se llevan muy mal y han declarado que no formarán parte del comité si el otro también es elegido. Además, en el comité debe haber al menos un representante de los 3 jugadores más veteranos. ¿De cuántas formas distintas se puede elegir el comité de 5 personas?
En una tienda de donas con 4 sabores, puedes comprar 6 donas y repetir sabores. El orden de las donas en la caja no importa, pero ahora se puede elegir otra vez el mismo sabor. Esto es una combinación con repetición.
Dibuja cada dona como una estrella y usa barras para separar los sabores.
Límites en cuántos van en cada lugar
Coloca primero los objetos que crean "huecos" y luego mete los demás en los huecos.
Practica★★☆Sin empezar
Una heladería ofrece a sus clientes la posibilidad de crear una "Copa Especial" eligiendo 3 bolas de helado de entre sus 15 sabores disponibles. a) Si un cliente quiere…
Una heladería ofrece a sus clientes la posibilidad de crear una "Copa Especial" eligiendo 3 bolas de helado de entre sus 15 sabores disponibles.
a) Si un cliente quiere que las 3 bolas sean de sabores diferentes, ¿cuántas copas distintas puede crear?
b) Si el cliente es un entusiasta de un sabor particular y permite que las bolas sean del mismo sabor (es decir, puede repetir sabores), ¿cuántas combinaciones de copas son posibles ahora?
Tres amigos han ganado un sorteo de 12 boletos idénticos para un parque temático y deciden repartirlos entre ellos. 1. ¿De cuántas formas pueden repartirse los boletos…
Tres amigos han ganado un sorteo de 12 boletos idénticos para un parque temático y deciden repartirlos entre ellos.
¿De cuántas formas pueden repartirse los boletos si cada uno debe recibir al menos uno?
¿Y si deciden que la repartición sea tal que uno de los amigos (el que compró el boleto del sorteo) siempre reciba más boletos que los otros dos juntos?
Una aplicación de mensajería utiliza un sistema de cifrado basado en secuencias binarias de 12 bits (ceros y unos). Por motivos de eficiencia del algoritmo, se requiere…
Una aplicación de mensajería utiliza un sistema de cifrado basado en secuencias binarias de 12 bits (ceros y unos). Por motivos de eficiencia del algoritmo, se requiere que cada secuencia cumpla dos propiedades:
Debe contener exactamente seis ceros y seis unos.
Condición crítica: No puede haber tres o más unos consecutivos en ninguna parte de la secuencia.
Calcula el número de secuencias válidas que puede generar este sistema.
Cuando desarrollas $(a+b)^n$, multiplicas $n$ factores de $(a+b)$. Cada término sale de elegir $a$ o $b$ en cada factor. El término $a^{n-k}b^k$ aparece cuando se elige $b$ en exactamente $k$ de los $n$ factores, y eso puede ocurrir de $\binom{n}{k}$ maneras.
Para hallar un término específico, escribe el término general, simplifica el exponente de $x$ y resuelve para $k$. Si la solución no es un número entero de $0$ a $n$, ese término no existe.
Practica★★★Sin empezar
Considera el desarrollo del binomio de Newton para la expresión: $$\left( 3x^3 - \frac{1}{2x^2} \right)^{15}$$ Sin desarrollar toda la potencia, calcula: 1. El valor del…
Considera el desarrollo del binomio de Newton para la expresión:
$$\left( 3x^3 - \frac{1}{2x^2} \right)^{15}$$
Sin desarrollar toda la potencia, calcula:
El valor del coeficiente del término que contiene a $x^{20}$.
Determina razonadamente si existe algún término independiente de $x$ en este desarrollo. En caso afirmativo, indica qué posición ocupa.
Volvamos al inicio: Un código de 4 dígitos son 4 casillas con 10 opciones cada una (los dígitos pueden repetirse y el orden importa), así que hay $10^4 = 10{,}000$ códigos. Un boleto de Powerball son 5 bolas blancas distintas de 69, donde el orden no importa, y 1 bola roja de 26. Eso es $\binom{69}{5} \cdot 26 = 11{,}238{,}513 \cdot 26 = 292{,}201{,}338$ boletos, así que un boleto tiene una probabilidad de $\dfrac{1}{292{,}201{,}338}$ de ganar el premio mayor.
Resumen
¡A practicar! 16 ejercicios de nivel medio en este apartado