La ley de la probabilidad total

En una repisa de una habitación juvenil hay dos cajas de videojuegos. La Caja A contiene 3 juegos de acción y 2 de estrategia. La Caja B contiene 2 juegos de acción y 4 de estrategia. Si elegimos una caja al azar lanzando una moneda y extraemos un juego sin mirar, calcule la probabilidad de que el videojuego elegido sea de acción.

Un estudiante de 12.º grado utiliza dos aplicaciones para repasar matemáticas: App Alpha y App Beta. El $60 \%$ de las veces usa Alpha y el resto del tiempo usa Beta. La probabilidad de que encuentre un ejercicio resuelto correctamente en Alpha es de $0,9$, mientras que en Beta es de $0,7$. Si el estudiante abre una aplicación al azar y selecciona un ejercicio, ¿cuál es la probabilidad de que el ejercicio esté correctamente resuelto?

Para ir a la escuela secundaria, un alumno puede ir en autobús o caminando. El $70 \%$ de los días utiliza el autobús y el $30 \%$ va a pie. Cuando va en autobús, llega tarde el $5 \%$ de las veces, mientras que si va caminando, llega tarde solo el $2 \%$ de los días. Calcule la probabilidad de que un día cualquiera el alumno llegue tarde a clase.

En un club de tenis, el $20 \%$ de los socios son profesionales y el $80 \%$ son aficionados. En un torneo interno, la probabilidad de que un profesional gane su primer partido es de $0,95$, mientras que para un aficionado es de $0,40$. Si elegimos un socio al azar para observar su debut, ¿cuál es la probabilidad de que gane su primer partido?

Tenemos dos urnas con camisetas de una marca de ropa urbana. La Urna 1 contiene 6 camisetas blancas y 4 negras. La Urna 2 contiene 3 camisetas blancas y 7 negras. Lanzamos un dado equilibrado: si sale un número menor que 3, extraemos una camiseta de la Urna 1; en caso contrario, la extraemos de la Urna 2. Halla la probabilidad de que la camiseta extraída sea blanca.

En una plataforma de streaming, el contenido se divide en tres géneros: Acción (45 %), Comedia (35 %) y Documentales (20 %). Se sabe que la probabilidad de que un usuario termine de ver una película completa si es de Acción es de $0,7$; si es de Comedia es de $0,85$, y si es un Documental es de $0,5$. Elegida una película al azar de la plataforma, calcula la probabilidad de que un usuario la vea hasta el final.

En una tienda de tecnología, el $60\ \%$ de los smartphones vendidos son de la marca X, el $30\ \%$ de la marca Y y el $10\ \%$ de la marca Z. Se estima que el $2\ \%$ de los teléfonos de la marca X fallan antes del primer año, mientras que para la marca Y la falla es del $5\ \%$ y para la marca Z del $8\ \%$. Calcula la probabilidad de que un smartphone comprado en esa tienda no presente ninguna falla durante el primer año.

En una fábrica de componentes para smartphones, el $5\,\%$ de las pantallas producidas por la mañana son defectuosas, mientras que por la tarde el porcentaje de defectos sube al $8\,\%$. El volumen de producción es constante durante toda la jornada, pero debido a una falla en el sistema de almacenamiento, se mezclan los lotes de tres días consecutivos. El tercer día, una máquina nueva mejoró el rendimiento, haciendo que solo el $2\,\%$ de las pantallas de ese día fueran defectuosas. Si se elige una pantalla al azar del almacén (que contiene la producción total de los tres días), calcula la probabilidad de que la pantalla no sea defectuosa.

En un laboratorio de biotecnología se están estudiando tres cepas bacterianas diferentes: $A$, $B$ y $C$. Se sabe que el $40\,\%$ de las muestras contienen la cepa $A$, el $35\,\%$ la cepa $B$ y el resto la cepa $C$. La probabilidad de que un antibiótico específico elimine la bacteria es de $0,8$ para la cepa $A$ y de $0,5$ para la cepa $B$. Si se sabe que la probabilidad total de que el antibiótico elimine una bacteria elegida al azar es del $62\,\%$, calcula razonadamente la probabilidad de que el antibiótico sea eficaz contra la cepa $C$.

Una empresa de logística utiliza tres rutas para repartir paquetes en una gran ciudad: Norte ($R_1$), Centro ($R_2$) y Sur ($R_3$). El $30\,\%$ de los envíos van por $R_1$, el $50\,\%$ por $R_2$ y el $20\,\%$ por $R_3$. Los retrasos son habituales debido al tráfico: en $R_1$ hay retraso el $15\,\%$ de las veces y en $R_3$ el $25\,\%$. Se sabe que la probabilidad de que un paquete llegue a tiempo es de $0,82$. Determina el porcentaje de paquetes que sufren retrasos cuando circulan por la ruta del Centro ($R_2$).

En un torneo de e-sports, un jugador profesional tiene que enfrentarse a tres niveles de dificultad: Fácil, Normal y Leyenda. Al inicio, se le asigna un nivel al azar mediante un sorteo donde el nivel Fácil tiene probabilidad $p$, el Normal $2p$ y el Leyenda $0,1$. Si el jugador supera el nivel asignado, gana el torneo. Las probabilidades de ganar son $0,9$ en Fácil, $0,6$ en Normal y $0,2$ en Leyenda.

1. a) Halla el valor de $p$ para que la distribución de niveles sea una ley de probabilidad válida.
2. b) Calcula la probabilidad de que el jugador gane el torneo.

Tenemos dos urnas con composiciones diferentes. La Urna 1 contiene 4 bolas rojas y 6 azules. La Urna 2 contiene 7 bolas rojas y 3 azules. Se lanza un dado equilibrado: si sale un número primo, se extrae una bola de la Urna 1 y se introduce en la Urna 2, para luego extraer una bola definitiva de esta segunda urna. Si sale un número no primo, se extrae una bola de la Urna 2 y se introduce en la Urna 1, para luego extraer la bola definitiva de la Urna 1. Calcula la probabilidad de que la bola extraída al final de todo el proceso sea de color rojo.

Un estudiante de 12.º grado se presenta a un examen de opción múltiple. Para cada pregunta, el estudiante o bien conoce la respuesta, o bien la desconoce y elige una al azar entre las 4 opciones posibles. Se estima que el estudiante conoce la respuesta del $70\,\%$ de las preguntas del temario. Sin embargo, el examen está mal diseñado y el $10\,\%$ de las preguntas que el estudiante "conoce" tienen una redacción ambigua que le hace fallar a pesar de saber el concepto. Calcula la probabilidad de que el estudiante acierte una pregunta elegida al azar.

Se dispone de una baraja española de 40 cartas y un dado de seis caras. Se extrae una carta de la baraja. Si es una figura, se lanza el dado una vez. Si la carta no es una figura, se lanza el dado dos veces y se suma la puntuación.

1. a) Calcula la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas sea igual a 6.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga al menos un 5 en el total de lanzamientos realizados (ya sea uno o dos lanzamientos)?