Permutaciones de n elementos tomados de r en r
Ocho velocistas se alinean para la carrera de 100 metros en el campeonato estatal de atletismo. El oro, la plata y el bronce son para los tres primeros lugares, sin empates. ¿Cuántos podios diferentes son posibles? No estás alineando a los 8 corredores, solo eliges a 3 y los pones en orden. Este tipo de conteo aparece todo el tiempo: contraseñas, PIN, placas de carros, mesas directivas de la clase. También es la base de la probabilidad, porque el denominador de muchas probabilidades es "¿cuántos resultados hay?"
Llenar casillas: elecciones ordenadas sin repetición
Dibuja una casilla por cada posición que debas llenar. Luego cuenta cuántas opciones tienes para cada casilla y multiplica. Este es el principio fundamental de conteo: si una tarea puede hacerse de $a$ maneras y, después, una segunda tarea puede hacerse de $b$ maneras, entonces las dos tareas pueden hacerse de $a \times b$ maneras.
En el podio, el oro puede ser para cualquiera de los 8 corredores. Una vez asignado el oro, la plata tiene 7 opciones. El bronce tiene 6.
Esa es la respuesta a la pregunta inicial: 336 podios diferentes. Aquí el orden importa, porque "oro, plata, bronce" es un resultado distinto de "bronce, plata, oro" con los mismos tres corredores.
¿Por qué la forma con factorial? Al multiplicar $n(n-1)\cdots(n-r+1)$ por $(n-r)!$ se obtiene $n!$, así que al dividir entre $(n-r)!$ eliminas los factores sobrantes. En una TI-84, usa MATH → PRB → nPr.
Si $r = n$, estás ordenando todo, y ${}_nP_n = n!$ (es la sección anterior sobre permutaciones).
En una carrera de $100\text{ m}$ planos participan $8$ atletas. ¿De cuántas formas distintas se pueden repartir las medallas de oro, plata y bronce sabiendo que no puede…
En una carrera de $100\text{ m}$ planos participan $8$ atletas. ¿De cuántas formas distintas se pueden repartir las medallas de oro, plata y bronce sabiendo que no puede haber empates?
Cinco amigos van al cine y encuentran una fila con $4$ asientos libres consecutivos. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse para ver la película?
Cinco amigos van al cine y encuentran una fila con $4$ asientos libres consecutivos. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse para ver la película?
En una galería de arte se van a exponer $2$ cuadros seleccionados de una colección privada de $7$ obras. Uno se colocará en la pared izquierda de la sala y el otro en la…
En una galería de arte se van a exponer $2$ cuadros seleccionados de una colección privada de $7$ obras. Uno se colocará en la pared izquierda de la sala y el otro en la pared derecha. ¿De cuántas formas diferentes se puede organizar esta exposición?
Con repetición: $n^r$
Ahora supón que un elemento se puede usar de nuevo. Si lanzas un dado 4 veces, puede salir 6 todas las veces. Nada se "agota", así que cada casilla tiene el mismo número de opciones. Algunos problemas llaman a esto permutaciones con repetición.
Lanzamos una moneda al aire $6$ veces consecutivas y anotamos la secuencia exacta de caras y cruces obtenidas. ¿Cuántas secuencias distintas se pueden llegar a formar?
Lanzamos una moneda al aire $6$ veces consecutivas y anotamos la secuencia exacta de caras y cruces obtenidas. ¿Cuántas secuencias distintas se pueden llegar a formar?
Queremos pintar $3$ buzones alineados en una calle. Disponemos de $4$ colores distintos (rojo, verde, azul y amarillo). Si podemos repetir colores en distintos buzones,…
Queremos pintar $3$ buzones alineados en una calle. Disponemos de $4$ colores distintos (rojo, verde, azul y amarillo). Si podemos repetir colores en distintos buzones, ¿de cuántas formas diferentes podemos pintarlos?
Un examen de opción múltiple consta de $5$ preguntas. Cada pregunta tiene $3$ opciones de respuesta (A, B y C) de las cuales solo se puede marcar una. Si un alumno…
Un examen de opción múltiple consta de $5$ preguntas. Cada pregunta tiene $3$ opciones de respuesta (A, B y C) de las cuales solo se puede marcar una. Si un alumno responde a todas las preguntas, ¿de cuántas formas distintas se puede rellenar el examen?
¿Qué fórmula uso? ¿Se repite o no, y importa el orden?
Antes de calcular, hazte dos preguntas.
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¿Se puede usar el mismo elemento más de una vez?
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¿Intercambiar dos elementos da un resultado diferente?
Si el orden no importa (un comité, una mano de cartas), usas otra herramienta, que viene en las siguientes secciones. En esta página, el orden siempre importa.
Un club de lectura tiene $9$ miembros. Deben elegir una junta directiva formada por una presidencia, una vicepresidencia y una secretaría. Como los cargos son distintos…
Un club de lectura tiene $9$ miembros. Deben elegir una junta directiva formada por una presidencia, una vicepresidencia y una secretaría. Como los cargos son distintos y cada persona solo puede ocupar uno, ¿de cuántas formas puede formarse la junta?
En una liga de básquetbol participan $14$ equipos. Cada equipo debe jugar contra todos los demás dos veces a lo largo del año (un partido en casa y otro como visitante).…
En una liga de básquetbol participan $14$ equipos. Cada equipo debe jugar contra todos los demás dos veces a lo largo del año (un partido en casa y otro como visitante). ¿Cuántos partidos se jugarán en total durante toda la temporada?
Un candado de seguridad para bicicletas tiene $3$ ruedas independientes, cada una numerada del $0$ al $9$. Calcule la diferencia entre el número total de combinaciones…
Un candado de seguridad para bicicletas tiene $3$ ruedas independientes, cada una numerada del $0$ al $9$. Calcule la diferencia entre el número total de combinaciones posibles (permitiendo repetición) y el número de combinaciones en las que los tres dígitos deben ser estrictamente distintos.
Varias etapas y casos con "o"
Muchos problemas reales combinan bloques. Una placa de carro puede tener dígitos seguidos de letras. Solo multiplica los conteos de los bloques, pues cada bloque es otro grupo de casillas.
A veces las opciones se dividen en casos separados que no pueden ocurrir juntos, como señales de longitud 1, 2 o 3. Cuenta cada caso por separado y suma.
El sistema de placas de un país está formado por un bloque de $4$ dígitos (del $0$ al $9$) seguido de un bloque de $2$ letras elegidas de un alfabeto de $20$…
El sistema de placas de un país está formado por un bloque de $4$ dígitos (del $0$ al $9$) seguido de un bloque de $2$ letras elegidas de un alfabeto de $20$ consonantes. En ambos bloques se permite la repetición de caracteres. ¿Cuántas placas distintas se pueden emitir en total con este formato?
En el código Morse, las letras se representan mediante secuencias de puntos y rayas. ¿Cuántas señales distintas se pueden formar utilizando como máximo $3$ símbolos por…
En el código Morse, las letras se representan mediante secuencias de puntos y rayas. ¿Cuántas señales distintas se pueden formar utilizando como máximo $3$ símbolos por señal?
Para acceder a una base de datos segura se requiere una contraseña de $5$ caracteres. Por seguridad, el sistema exige que los dos primeros caracteres sean vocales (se…
Para acceder a una base de datos segura se requiere una contraseña de $5$ caracteres. Por seguridad, el sistema exige que los dos primeros caracteres sean vocales (se permite que se repitan) y los tres últimos caracteres deben ser números del $0$ al $9$ (sin que ninguno se repita). ¿Cuántas contraseñas distintas cumplen este formato?
Restricciones: llena primero la casilla más exigente
Cuando una casilla tiene un requisito especial (número par, primer dígito distinto de cero, debe ser una niña), llena esa casilla primero. Si no, las opciones de las otras casillas se enredan con ella.
Utilizando los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, ¿cuántos números pares de $3$ cifras se pueden formar si no está permitido repetir ninguna cifra en el mismo número?
Utilizando los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, ¿cuántos números pares de $3$ cifras se pueden formar si no está permitido repetir ninguna cifra en el mismo número?
¿Cuántos números de $4$ cifras distintas se pueden formar utilizando únicamente los dígitos $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$? Tenga en cuenta que, por definición, un número válido…
¿Cuántos números de $4$ cifras distintas se pueden formar utilizando únicamente los dígitos $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$? Tenga en cuenta que, por definición, un número válido no puede empezar por la cifra $0$.
Una clase está formada por $6$ chicos y $5$ chicas. Se quiere elegir un comité compuesto por presidencia, vicepresidencia y secretaría. La presidencia debe ocuparla…
Una clase está formada por $6$ chicos y $5$ chicas. Se quiere elegir un comité compuesto por presidencia, vicepresidencia y secretaría. La presidencia debe ocuparla obligatoriamente una chica, la vicepresidencia un chico, y la secretaría puede ocuparla cualquiera de los alumnos restantes. ¿De cuántas formas se puede elegir el comité?
Posiciones fijas y casillas ligadas
A veces una o más casillas ya están decididas. Una casilla con una sola opción aporta un factor de 1, así que solo cuentas el resto. Ten cuidado de preguntarte si los elementos fijos todavía pueden intercambiar lugares entre sí.
En informática, un byte es una secuencia de $8$ bits (donde cada bit puede ser un $0$ o un $1$). ¿Cuántos bytes diferentes existen que comiencen exactamente por la…
En informática, un byte es una secuencia de $8$ bits (donde cada bit puede ser un $0$ o un $1$). ¿Cuántos bytes diferentes existen que comiencen exactamente por la secuencia $10$?
Una empresa tiene $8$ empleados y debe asignar $5$ tareas diferentes a $5$ empleados distintos (una tarea por persona). Si se sabe que la primera tarea debe ser…
Una empresa tiene $8$ empleados y debe asignar $5$ tareas diferentes a $5$ empleados distintos (una tarea por persona). Si se sabe que la primera tarea debe ser realizada obligatoriamente por el empleado más veterano, ¿de cuántas formas se pueden repartir las tareas?
Cinco personas suben a un vagón de tren en el que hay $8$ asientos libres. Dos de estas personas son pareja y quieren sentarse obligatoriamente en un par de asientos…
Cinco personas suben a un vagón de tren en el que hay $8$ asientos libres. Dos de estas personas son pareja y quieren sentarse obligatoriamente en un par de asientos contiguos específicos que están junto a la ventana. Sabiendo que a la pareja le importa quién se sienta en la ventana y quién en el pasillo, ¿de cuántas formas distintas pueden ocupar los asientos las cinco personas?
Casillas ligadas: patrones y vecinos
En algunos problemas una casilla determina a otra, o sus opciones dependen de la casilla vecina. Busca las casillas que son libres y cuenta solo esas.
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Un palíndromo se lee igual hacia adelante y hacia atrás. En un palíndromo de 5 dígitos, el dígito 5 debe ser igual al dígito 1 y el dígito 4 igual al dígito 2, así que solo los tres primeros dígitos son libres.
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Una regla de "dos adyacentes no pueden ser iguales" significa que cada casilla después de la primera tiene una opción menos: todos los colores excepto el que se acaba de usar.
¿Cuántos números de $4$ cifras se pueden formar con los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (pudiendo repetir cifras) que sean estrictamente mayores que $3000$?
¿Cuántos números de $4$ cifras se pueden formar con los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (pudiendo repetir cifras) que sean estrictamente mayores que $3000$?
Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (por ejemplo, $35853$). ¿Cuántos números capicúas de $5$ cifras se pueden…
Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (por ejemplo, $35853$). ¿Cuántos números capicúas de $5$ cifras se pueden formar utilizando únicamente los dígitos del $1$ al $9$?
Se quiere diseñar una bandera con $4$ franjas verticales. Se dispone de $5$ colores distintos. ¿De cuántas formas se puede colorear la bandera si la única condición es…
Se quiere diseñar una bandera con $4$ franjas verticales. Se dispone de $5$ colores distintos. ¿De cuántas formas se puede colorear la bandera si la única condición es que dos franjas adyacentes (juntas) no pueden tener el mismo color?
Hacia atrás: ecuaciones con ${}_nP_r$
A veces conoces el conteo total y necesitas $n$. Escribe ${}_nP_2 = n(n-1)$, iguálalo al total y resuelve la ecuación cuadrática. Puedes resolverla por factorización o con la fórmula cuadrática, como en Matemáticas de 8.º grado y Álgebra 1.
La misma idea funciona cuando la ecuación compara dos conteos. Por ejemplo, si $n^2$ (con repetición) excede a $n(n-1)$ (sin repetición) en 12, entonces
$$n^2 - n(n-1) = 12 \quad\Rightarrow\quad n^2 - n^2 + n = 12 \quad\Rightarrow\quad n = 12.$$Los términos $n^2$ se cancelan, así que obtienes una ecuación lineal y no hace falta factorizar.
En un torneo de ajedrez se juega a doble vuelta (cada jugador se enfrenta a todos los demás dos veces, alternando el color de las piezas). Si se sabe que en total se han…
En un torneo de ajedrez se juega a doble vuelta (cada jugador se enfrenta a todos los demás dos veces, alternando el color de las piezas). Si se sabe que en total se han disputado $90$ partidas, plantee la ecuación correspondiente utilizando la fórmula de las variaciones y halle cuántos jugadores participaron en el torneo.
Sabiendo que el número de variaciones con repetición de $x$ elementos tomados de $2$ en $2$ excede en $12$ al número de variaciones sin repetición de los mismos $x$…
Sabiendo que el número de variaciones con repetición de $x$ elementos tomados de $2$ en $2$ excede en $12$ al número de variaciones sin repetición de los mismos $x$ elementos tomados de $2$ en $2$, plantee la ecuación matemática correspondiente y halle el valor de $x$.
Resumen
De vuelta al inicio: los 8 velocistas pueden terminar en oro, plata y bronce de ${}_8P_3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ maneras.