Pruebas de hipótesis

Una plataforma de streaming asegura que el tiempo medio que sus usuarios pasan viendo series es de $120$ minutos al día. Un grupo de estudiantes sospecha que, debido a los exámenes, este tiempo ha disminuido. Para realizar un contraste de hipótesis sobre esta afirmación:

1. a) Defina de forma clara la hipótesis nula ($H_0$) y la hipótesis alternativa ($H_1$).

1. b) Indique si se trata de un contraste unilateral o bilateral.

Explique con sus propias palabras qué significa cometer un Error de Tipo I en el contexto de un estudio que intenta probar si un nuevo método de estudio mejora las notas de matemáticas (donde $H_0$ es que el método no produce mejoras).

Se está probando un nuevo modelo de tenis de running diseñado para aumentar el rendimiento. El fabricante establece la hipótesis nula $H_0$: "El rendimiento medio con el nuevo modelo es igual al del modelo anterior" frente a la alternativa $H_1$: "El rendimiento medio es superior".

Explique razonadamente qué significaría cometer un error de tipo I y un error de tipo II en este contexto práctico. ¿Cuál de los dos errores cree que sería más perjudicial para la imagen de marca de la empresa si se descubre posteriormente?

Estamos realizando un contraste de hipótesis bilateral para la media de una población normal con $\sigma$ conocida. Tras calcular el estadístico de contraste con los datos de una muestra, obtenemos un valor de $z_{exp} = 2,15$.

Si los valores críticos para un nivel de significación $\alpha = 0,05$ son $-1,96$ y $1,96$, razone si debemos aceptar o rechazar la hipótesis nula.

Una empresa de mensajería para compras en línea asegura que el tiempo medio de entrega de sus paquetes en grandes ciudades es de $48$ horas, con una desviación típica conocida de $\sigma = 6$ horas. Un grupo de usuarios sospecha que el servicio es más lento de lo anunciado. Para comprobarlo, registran los tiempos de entrega de $36$ pedidos elegidos al azar, obteniendo una media de $50,5$ horas.

Establezca las hipótesis nula y alternativa para este caso y realice un contraste de hipótesis unilateral (de cola derecha) con un nivel de confianza del $99\ \%$. ¿Hay evidencia suficiente para afirmar que la empresa tarda más de lo que asegura?

Un estudio sobre salud mental juvenil indica que el tiempo medio diario que los estudiantes de 12.º grado pasan en TikTok es de $120$ minutos, con una desviación típica de $30$ minutos. Un orientador de una escuela secundaria cree que en su centro, debido a la presión de los exámenes de admisión universitaria, el tiempo medio es significativamente menor. Toma una muestra aleatoria de $50$ alumnos y obtiene una media de $112$ minutos.

1. a) Define el contraste de hipótesis adecuado para la creencia del orientador.
2. b) Calcula el p-valor de la muestra obtenida.
3. c) Si se utiliza un nivel de significación del $1\%$, ¿qué conclusión debería extraer el orientador? ¿Y si el nivel de significación fuera del $5\%$?

En el control de calidad de una fábrica de papas fritas, se desea comprobar si el peso medio de las bolsas es realmente de $150$ gramos, como indica el envase. Se sabe que la desviación típica poblacional es $\sigma = 5$ gramos. Si se sospecha que las bolsas pueden pesar tanto más como menos de lo indicado:

1. a) Plantee las hipótesis $H_0$ y $H_1$.

1. b) Si fijamos un nivel de significación de $\alpha = 0,05$, calcule los valores críticos $z_{\alpha/2}$ que delimitan la zona de aceptación.

Dada una población normal con desviación típica $\sigma = 12$, se quiere contrastar $H_0: \mu = 50$ frente a $H_1: \mu > 50$ con un nivel de significación $\alpha = 0,05$.

Calcule el valor crítico de la media muestral $\bar{x}_c$ para una muestra de tamaño $n = 36$ utilizando la fórmula $\bar{x}_c = \mu_0 + z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, sabiendo que para $\alpha = 0,05$ el valor de $z_{\alpha} = 1,645$.

Una plataforma de streaming sospecha que el tiempo medio diario que sus usuarios pasan viendo contenido ha cambiado respecto al año pasado, que era de $120$ minutos. Suponen una distribución normal con $\sigma = 30$ minutos. Toman una muestra aleatoria de $100$ usuarios y observan una media de $126$ minutos.

Determine la región de aceptación y la región crítica para un contraste bilateral con un nivel de significación del $10\ \%$. ¿Cuál es la decisión que debe tomar la plataforma sobre su sospecha?

Una marca de tenis deportivos afirma que el $60\%$ de los corredores de maratón utilizan sus productos. Un periodista deportivo sospecha que la proporción es menor. Para realizar el contraste, se encuesta a $100$ corredores y se encuentra que $52$ de ellos usan dicha marca.

1. a) Calcule el estadístico de prueba (proporción muestral) $\hat{p}$.

1. b) Escriba la expresión del estadístico de contraste tipificado $Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 \cdot q_0}{n}}}$ para este caso.

Un sociólogo afirma que el $35\%$ de los adolescentes estadounidenses prefiere el formato físico al digital para leer libros. Para contrastar esta afirmación frente a la sospecha de que la proporción es distinta, se elige una muestra aleatoria. Determine la región de aceptación para la proporción muestral si se utiliza un nivel de confianza del $95\%$ y el tamaño de la muestra es de $n = 400$ personas.

Un fabricante de componentes electrónicos para smartphones garantiza que el porcentaje de piezas defectuosas en su producción es, como máximo, del $2\%$. Un control de calidad externo decide realizar un muestreo de $2500$ componentes para verificar esta garantía. Tras el análisis, se encuentran $62$ piezas defectuosas.

1. a) Formula las hipótesis para un contraste unilateral derecho.
2. b) Calcula el valor del estadístico de contraste.
3. c) Determina el nivel de significación crítico (p-valor). A la vista del resultado, ¿crees que el fabricante debería revisar su proceso de producción? Justifica tu respuesta.

Se ha realizado un estudio sobre el gasto mensual en ocio de los estudiantes universitarios de una ciudad, asumiendo que sigue una distribución normal con $\$\sigma = 20$. Se ha obtenido para la media un intervalo de confianza al $95\ \%$ de $(75,1; 84,9)$.

Sin realizar nuevos cálculos de tipificación, utilice la relación entre intervalos de confianza y contrastes de hipótesis para responder: ¿Se rechazaría la hipótesis nula $\$H₀: \mu = 70$ frente a $\$H_1: \mu \neq 70$ con un nivel de significación de $\alpha = 0,05$? ¿Y si la hipótesis nula fuera $\$H₀: \mu = 80$? Justifique su respuesta.

Se desea investigar si un nuevo método de estudio mejora el rendimiento en Matemáticas. La nota media histórica en una comunidad es de $6,4$ con una desviación típica $\sigma = 1,2$. Se aplica el nuevo método a un grupo experimental de $36$ alumnos y se obtiene una nota media de $6,9$.

1. a) Realiza un contraste de hipótesis unilateral para un nivel de significación $\alpha = 0,05$.
2. b) Si el intervalo de confianza al $95\%$ para la media de este grupo fuera $(6,508 ; 7,292)$, ¿podrías haber respondido al apartado anterior sin calcular el estadístico de contraste? Explica la relación entre intervalos de confianza y contraste de hipótesis.

Una marca de auriculares inalámbricos asegura que la batería de su nuevo modelo "Pro-Z" dura, de media, $24$ horas. Se sabe que la duración de las baterías sigue una distribución normal con desviación típica $\sigma = 2,5$ horas. Un grupo de probadores técnicos analiza $100$ auriculares y encuentra una duración media de $23,4$ horas.

1. a) Realiza un contraste de hipótesis unilateral para comprobar si la batería dura menos de lo prometido con un nivel de significación $\alpha = 0,05$.
2. b) Explica, en el contexto del problema, en qué consistiría cometer un error de Tipo II.
3. c) ¿Cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que, con una media de $23,4$, el resultado fuera significativo al $1\%$?

En un debate sobre sostenibilidad, se afirma que el $75\%$ de los jóvenes de una ciudad separan los envases de plástico del resto de la basura. Para verificarlo, se selecciona una muestra de $150$ jóvenes y se observa que $105$ de ellos reciclan correctamente.

1. a) Plantea el test de hipótesis para comprobar si la proporción real es inferior a la afirmada.
2. b) ¿Es aceptable la afirmación inicial para un nivel de significación del $10\%$?
3. c) Supongamos que la proporción real fuera del $65\%$. ¿Qué decisión se tomaría más probablemente con este test si la muestra fuera de solo $20$ personas? Razona sobre la importancia del tamaño de la muestra en la potencia del test.

Una escuela técnica afirma que el sueldo medio inicial de sus graduados es de $\$1550$ mensuales. Se sabe que los sueldos siguen una distribución normal con $\$\sigma = 210$. Un sindicato selecciona una muestra de $49$ graduados y obtiene un sueldo medio de $\$1480$.

1. a) Contrasta la hipótesis del centro frente a la sospecha del sindicato de que el sueldo es inferior, usando $\alpha = 0,01$.
2. b) Calcula la probabilidad de cometer un error de Tipo I si decidimos rechazar la hipótesis nula para cualquier media muestral inferior a $\$1500$.
3. c) ¿Cómo afectaría a la región de aceptación un aumento de la desviación típica de la población?