Intervalos de confianza
Un titular dice: "El 54% de los adolescentes de EE. UU. ve videos cortos todos los días (margen de error de ±3 puntos porcentuales)". Emma se pregunta cómo una encuesta de unos 1,000 adolescentes puede decir algo sobre millones de ellos, y qué promete realmente ese "±3". Al final de esta página podrás responder las dos preguntas.
Estimaciones puntuales y margen de error
Casi nunca podemos medir a toda una población. En cambio, tomamos una muestra aleatoria y la usamos para estimar un parámetro, el valor verdadero de la población.
Una estimación puntual casi nunca es exacta, porque otra muestra daría otro número. Por eso damos un rango alrededor de ella.
Para una proporción, el error estándar es $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ y el valor crítico es $z^*$. El valor $z^*$ se elige según el nivel de confianza: el $C\%$ central de una curva normal estándar queda entre $-z^*$ y $z^*$.
| Nivel de confianza | 90% | 95% | 98% | 99% |
|---|---|---|---|---|
| $z^*$ | 1.645 | 1.960 | 2.326 | 2.576 |
La estimación está exactamente en el centro del intervalo. Por eso, si te dan los dos extremos, puedes trabajar al revés:
$$\text{estimación} = \frac{\text{inferior} + \text{superior}}{2}, \qquad \text{ME} = \frac{\text{superior} - \text{inferior}}{2}$$En una escuela preparatoria (high school) de Texas, un administrador desea estimar la proporción de estudiantes del último año que conducen su propio automóvil para ir a…
En una escuela preparatoria (high school) de Texas, un administrador desea estimar la proporción de estudiantes del último año que conducen su propio automóvil para ir a la escuela. Selecciona una muestra aleatoria simple de $150$ estudiantes del último año y descubre que $96$ de ellos conducen su propio automóvil. Calcula el intervalo de confianza del $95\%$ para la verdadera proporción de estudiantes del último año que conducen a la escuela. Asume que se cumplen todas las condiciones para la inferencia.
Un inspector de calidad en una fábrica de cereales en Michigan selecciona una muestra aleatoria de $45$ cajas de la línea de producción. El peso promedio de la muestra…
Un inspector de calidad en una fábrica de cereales en Michigan selecciona una muestra aleatoria de $45$ cajas de la línea de producción. El peso promedio de la muestra es de $12.4$ onzas con una desviación estándar muestral de $0.3$ onzas. Construye un intervalo de confianza del $90\%$ para el peso medio real de todas las cajas de cereal producidas en ese turno.
Una investigadora de mercado calcula un intervalo de confianza del $90\%$ para el gasto medio en dólares de los clientes en una tienda de electrónica. Si decidiera usar…
Una investigadora de mercado calcula un intervalo de confianza del $90\%$ para el gasto medio en dólares de los clientes en una tienda de electrónica. Si decidiera usar la misma muestra para calcular un intervalo de confianza del $99\%$, ¿cómo cambiaría el margen de error y la amplitud del intervalo? Explica brevemente el motivo matemático.
Interpretación de los intervalos y de los niveles de confianza
Obtener el intervalo es la parte fácil. Explicar qué significa es donde más puntos se pierden en el examen AP.
Imagina que la media verdadera $\mu$ es fija pero desconocida. Cada muestra aleatoria da un intervalo distinto. Algunos intervalos capturan a $\mu$ y otros no.
Además, "95% de confianza" no significa que la media muestral probablemente caiga en el intervalo. La media muestral siempre es el centro de su propio intervalo.
También puedes usar un intervalo para evaluar una afirmación. Si un valor no está en el intervalo, no es un valor plausible para el parámetro a ese nivel de confianza. Si sí está, sigue siendo plausible, pero eso no demuestra que sea el valor verdadero.
Una encuesta reciente estimó la proporción de residentes de una ciudad que apoyan la construcción de un nuevo parque. El intervalo de confianza del $95\%$ reportado fue…
Una encuesta reciente estimó la proporción de residentes de una ciudad que apoyan la construcción de un nuevo parque. El intervalo de confianza del $95\%$ reportado fue de $(0.42, 0.48)$. Escribe una oración que interprete correctamente este intervalo de confianza en el contexto del problema.
Un estudio sobre el tiempo de viaje al trabajo (commute) de los empleados de una gran corporación en Nueva York reportó un intervalo de confianza del $99\%$ para el…
Un estudio sobre el tiempo de viaje al trabajo (commute) de los empleados de una gran corporación en Nueva York reportó un intervalo de confianza del $99\%$ para el tiempo medio de viaje, siendo este de $(34.2, 41.8)$ minutos.
A partir de este intervalo, calcula el estimador puntual (la media de la muestra) y el margen de error del estudio. Muestra cómo obtuviste ambos valores.
Al calcular el tamaño de muestra necesario para estimar una proporción poblacional $p$ con un margen de error específico, la fórmula requiere un valor estimado para $p$…
Al calcular el tamaño de muestra necesario para estimar una proporción poblacional $p$ con un margen de error específico, la fórmula requiere un valor estimado para $p$ (comúnmente denotado como $\hat{p}$). Si no se dispone de una estimación previa, los libros de texto recomiendan usar $\hat{p} = 0.5$.
Demuestra algebraicamente por qué el uso de $\hat{p} = 0.5$ es el enfoque más conservador. Es decir, demuestra que la función $f(p) = p(1-p)$ alcanza su valor máximo en el intervalo $[0, 1]$ exactamente cuando $p = 0.5$. Puedes usar cálculo o propiedades de las parábolas.
Condiciones para la inferencia
Las fórmulas solo dan un intervalo confiable si los datos se recopilaron bien. Verifica siempre las condiciones antes de calcular, y escríbelas.
Un equipo de campaña política en Chicago quiere estimar la proporción de votantes que apoyan a su candidato. Quieren que su estimación tenga un margen de error de no más…
Un equipo de campaña política en Chicago quiere estimar la proporción de votantes que apoyan a su candidato. Quieren que su estimación tenga un margen de error de no más de $0.04$ con un nivel de confianza del $95\%$. Si no tienen una estimación previa de la proporción de apoyo, ¿cuál es el tamaño de muestra mínimo que deben encuestar?
Una cadena nacional de comida rápida afirma que su nueva hamburguesa tiene un promedio de $600$ calorías. Una organización independiente de salud toma una muestra…
Una cadena nacional de comida rápida afirma que su nueva hamburguesa tiene un promedio de $600$ calorías. Una organización independiente de salud toma una muestra aleatoria de $50$ de estas hamburguesas y construye un intervalo de confianza del $95\%$ para el contenido medio de calorías, obteniendo $(615.3, 638.7)$ calorías.
Basándote únicamente en este intervalo de confianza, ¿hay evidencia convincente para rechazar la afirmación de la cadena de comida rápida? Explica tu razonamiento.
Un profesor de estadística realiza una simulación por computadora para ilustrar el concepto de nivel de confianza. La simulación extrae $20$ muestras aleatorias…
Un profesor de estadística realiza una simulación por computadora para ilustrar el concepto de nivel de confianza. La simulación extrae $20$ muestras aleatorias independientes de tamaño $n=30$ de una población normal con media $\mu = 50$ y desviación estándar $\sigma = 10$. Para cada muestra, se calcula un intervalo de confianza del $90\%$ para $\mu$.
El gráfico muestra un subconjunto de estos intervalos. En la simulación completa de $20$ intervalos, se observa que $3$ de ellos no contienen el verdadero valor de $\mu = 50$.
¿Es este resultado sorprendente para un nivel de confianza del $90\%$? Utiliza la probabilidad binomial para calcular la probabilidad de que exactamente $3$ de $20$ intervalos del $90\%$ fallen en capturar la verdadera media, y discute si el proceso de simulación funciona como se espera teóricamente.
Intervalo z para una proporción
¿Por qué funciona? Cuando se cumplen las condiciones, la distribución muestral de $\hat{p}$ es aproximadamente normal y está centrada en $p$, con desviación estándar cercana a $\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$. Alrededor del $C\%$ de las muestras da un $\hat{p}$ a menos de $z^*$ errores estándar de $p$.
En el examen AP, responde en cuatro pasos: Plantear (parámetro y nivel de confianza), Planear (nombrar el procedimiento y verificar condiciones), Hacer (calcular) y Concluir (interpretar en contexto). En una TI-84 la herramienta es STAT → TESTS → A:1-PropZInt.
Cuando fallan los conteos grandes: el intervalo "más cuatro"
Si la muestra tiene menos de 10 éxitos o menos de 10 fracasos, el modelo normal es deficiente y el intervalo estándar puede capturar a $p$ con menos frecuencia de la anunciada. Una solución común es el método más cuatro (plus-four, de Agresti-Coull). Agrega 2 éxitos y 2 fracasos a los datos y usa la misma fórmula:
$$\tilde{p} = \frac{x + 2}{n + 4}, \qquad \tilde{p} \pm z^*\sqrt{\frac{\tilde{p}(1-\tilde{p})}{n + 4}}$$Una popular plataforma de streaming* desea estimar la proporción de sus suscriptores en Estados Unidos que comparten su contraseña con personas fuera de su hogar. Toman…
Una popular plataforma de streaming desea estimar la proporción de sus suscriptores en Estados Unidos que comparten su contraseña con personas fuera de su hogar. Toman una muestra aleatoria simple de $500$ cuentas y descubren que $185$ de ellas muestran actividad en múltiples ubicaciones lejanas simultáneamente (indicador de contraseñas compartidas).
Verifica las condiciones para la inferencia y calcula un intervalo de confianza del $98\%$ para la verdadera proporción de suscriptores que comparten su contraseña.
Un estudiante de AP Statistics lee en un artículo que un intervalo de confianza del $90\%$ para el salario promedio de los maestros en un distrito escolar es de…
Un estudiante de AP Statistics lee en un artículo que un intervalo de confianza del $90\%$ para el salario promedio de los maestros en un distrito escolar es de $(\$52,000, \$58,000)$. El estudiante interpreta esto diciendo: "Hay un $90\%$ de probabilidad de que el verdadero salario promedio de los maestros en este distrito esté entre $\$52,000$ y $\$58,000$".
Explica por qué la interpretación de este estudiante es estadísticamente incorrecta y proporciona la interpretación correcta.
Una empresa fabrica bombillas LED y afirma que el $98\%$ de ellas duran más de $10,000$ horas. Una organización de derechos del consumidor sospecha que la verdadera…
Una empresa fabrica bombillas LED y afirma que el $98\%$ de ellas duran más de $10,000$ horas. Una organización de derechos del consumidor sospecha que la verdadera proporción es menor. Toman una muestra aleatoria masiva y construyen un intervalo de confianza del $99\%$ para la proporción de bombillas que duran más de $10,000$ horas, obteniendo $(0.952, 0.976)$.
Basado en este intervalo, ¿qué conclusión debe extraer la organización sobre la afirmación de la empresa? Además, si la organización hubiera utilizado un nivel de confianza del $95\%$ con la misma muestra, ¿sería más o menos probable que el intervalo contuviera el valor $0.98$? Explica matemáticamente por qué.
La distribución t y los valores críticos
Para una media, la desviación estándar de $\bar{x}$ es $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Pero casi nunca conocemos la desviación estándar poblacional $\sigma$. La reemplazamos por la desviación estándar muestral $s$, lo que da el error estándar:
$$\text{SE}_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}}$$Esa sustitución agrega incertidumbre, porque $s$ cambia de una muestra a otra. Para tenerlo en cuenta, usamos una distribución t en lugar de la curva normal.
Las colas más pesadas significan que debemos alejarnos más del centro para capturar el $C\%$ central. Por eso, con el mismo nivel de confianza, $t^* > z^*$, y cuanto más pequeña es la muestra, mayor es $t^*$.
| gl | 90% | 95% | 99% |
|---|---|---|---|
| 10 | 1.812 | 2.228 | 3.169 |
| 20 | 1.725 | 2.086 | 2.845 |
| 30 | 1.697 | 2.042 | 2.750 |
| $\infty$ ($z^*$) | 1.645 | 1.960 | 2.576 |
En una TI-84, usa invT(área a la izquierda, gl). Para un intervalo del $C\%$, el área a la izquierda es $1 - \dfrac{1 - C}{2}$. Para 95% de confianza es $0.975$.
Un fabricante de celulares afirma que está "un $99\%$ seguro de que el tiempo medio de duración de la batería de su nuevo modelo está entre $18.5$ y $20.2$ horas".…
Un fabricante de celulares afirma que está "un $99\%$ seguro de que el tiempo medio de duración de la batería de su nuevo modelo está entre $18.5$ y $20.2$ horas". Explica claramente qué significa el nivel de confianza del $99\%$ en este contexto.
Un investigador quiere estimar la cantidad media de millas que los residentes de Los Ángeles manejan por semana. Toma una muestra aleatoria simple de $15$ residentes. Al…
Un investigador quiere estimar la cantidad media de millas que los residentes de Los Ángeles manejan por semana. Toma una muestra aleatoria simple de $15$ residentes. Al analizar los datos, descubre que la distribución de la muestra está fuertemente sesgada hacia la derecha y tiene un valor atípico alto. ¿Se cumple la condición de normalidad/tamaño de muestra para calcular un intervalo de confianza $t$ para la media poblacional? Justifica tu respuesta.
Construcción de un intervalo t
Usa los mismos cuatro pasos de antes: Plantear, Planear, Hacer y Concluir. El único cambio es la tercera condición. Para una media, debes justificar que la distribución muestral de $\bar{x}$ es aproximadamente normal.
También puedes trabajar al revés a partir de un intervalo, igual que con las proporciones. El punto medio da $\bar{x}$ y la mitad del ancho da el $\text{ME}$. Como $\text{ME} = t^*\dfrac{s}{\sqrt{n}}$, despeja $s$:
$$s = \frac{\text{ME}\cdot\sqrt{n}}{t^*}$$Una agencia inmobiliaria en Miami desea estimar la renta mensual promedio de los apartamentos de una habitación en el centro de la ciudad. Basados en estudios de…
Una agencia inmobiliaria en Miami desea estimar la renta mensual promedio de los apartamentos de una habitación en el centro de la ciudad. Basados en estudios de ciudades similares, asumen que la desviación estándar de las rentas es de aproximadamente $\$250$. ¿Cuántos apartamentos deben seleccionar al azar para estar un $90\%$ seguros de que su estimación esté dentro de un margen de error de $\$40$ del verdadero promedio poblacional?
Una agencia encuestadora realizó una encuesta a $1,000$ votantes registrados y reportó un margen de error del $3.1\%$ con un nivel de confianza del $95\%$. Si la agencia…
Una agencia encuestadora realizó una encuesta a $1,000$ votantes registrados y reportó un margen de error del $3.1\%$ con un nivel de confianza del $95\%$. Si la agencia quisiera reducir el margen de error a la mitad (es decir, $1.55\%$) manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿cuál debería ser el nuevo tamaño de la muestra? Asume que la proporción muestral se mantiene constante.
Dos encuestadoras rivales estiman la proporción de votantes a favor de una nueva ley de impuestos. La Encuestadora A utiliza una muestra de tamaño $n$ y reporta un…
Dos encuestadoras rivales estiman la proporción de votantes a favor de una nueva ley de impuestos.
La Encuestadora A utiliza una muestra de tamaño $n$ y reporta un margen de error de $E$.
La Encuestadora B desea reportar un margen de error que sea exactamente un tercio del de la Encuestadora A (es decir, $E/3$), utilizando el mismo nivel de confianza y asumiendo que ambas encuentran proporciones muestrales similares.
Expresa el tamaño de muestra requerido por la Encuestadora B en términos de $n$. Si la Encuestadora A encuestó a $400$ personas, ¿cuántas personas adicionales debe encuestar la Encuestadora B para lograr su objetivo?
Qué controla el ancho de un intervalo
Un intervalo estrecho es más preciso, y eso queremos. Pero tres factores afectan el margen de error $\text{ME} = (\text{valor crítico}) \times \text{SE}$:
| Cambio | Efecto en el ME | Por qué |
|---|---|---|
| Mayor nivel de confianza | Más ancho | Se necesita un $z^*$ o $t^*$ mayor para capturar el $C\%$ central |
| Mayor tamaño de muestra $n$ | Más estrecho | El SE tiene $\sqrt{n}$ en el denominador |
| Más variabilidad ($\hat{p}$ cerca de 0.5, o $s$ mayor) | Más ancho | Los individuos varían más, así que las estimaciones varían más |
Hay un equilibrio entre confianza y precisión. Un intervalo del 99% tiene más probabilidad de capturar el parámetro que uno del 90%, pero es más ancho y dice menos.
El efecto del tamaño de la muestra no es proporcional. Por la raíz cuadrada, para reducir el margen de error a la mitad necesitas cuatro veces más observaciones. Usa el control deslizante para ver cómo cambia el margen de error de una proporción (con $\hat{p} = 0.5$) según $n$ y según el valor crítico $z$.
Una empresa de ingeniería civil compra cables de acero a un proveedor que afirma que la resistencia media a la rotura de los cables es de $10,500$ libras. La empresa…
Una empresa de ingeniería civil compra cables de acero a un proveedor que afirma que la resistencia media a la rotura de los cables es de $10,500$ libras. La empresa toma una muestra aleatoria de $24$ cables y prueba su resistencia. La media muestral es de $10,280$ libras con una desviación estándar de $410$ libras.
Observando el diagrama de caja de los datos de la muestra proporcionado arriba, justifica si es apropiado utilizar un procedimiento $t$ de una muestra para construir un intervalo de confianza. Si es apropiado, calcula un intervalo de confianza del $99\%$ para la verdadera resistencia media e indica si el intervalo apoya la afirmación del proveedor.
El director de una preparatoria con $3,000$ estudiantes quiere estimar la proporción de estudiantes que planean asistir al baile de graduación (prom). Para ahorrar…
El director de una preparatoria con $3,000$ estudiantes quiere estimar la proporción de estudiantes que planean asistir al baile de graduación (prom). Para ahorrar tiempo, encuesta a los primeros $50$ estudiantes que llegan a la escuela un lunes por la mañana. Descubre que $40$ de ellos planean asistir. El director calcula un intervalo de confianza de una proporción y anuncia los resultados.
Identifica qué condición crítica para la inferencia se ha violado. Explica la dirección del sesgo probable en el estimador puntual del director y argumenta por qué el intervalo de confianza calculado carece de validez estadística.
Cómo elegir el tamaño de la muestra
Antes de recopilar datos, podemos decidir qué tan grande debe ser $n$ para que el margen de error no pase de un valor deseado $m$. Plantea $\text{ME} \le m$ y despeja $n$.
Para una proporción necesitas un valor aproximado de $\hat{p}$. Si tienes una estimación previa de un estudio anterior, úsala. Si no tienes ninguna, usa $\hat{p} = 0.5$. Es la opción conservadora, porque $\hat{p}(1-\hat{p})$ es máximo en $0.5$ (vale $0.25$), así que garantiza una muestra suficientemente grande sea cual sea el valor verdadero.
Para una media, usa una estimación razonable de la desviación estándar poblacional $\sigma$ (de estudios anteriores o de una muestra piloto). Aquí usamos $z^*$ porque todavía no conocemos $n$, así que no podemos obtener los grados de libertad para $t^*$.
El costo también importa. Si cada persona de la muestra cuesta dinero, calcula primero el $n$ necesario, multiplícalo por el costo por persona y compáralo con el presupuesto. Si el presupuesto es demasiado pequeño, puedes trabajar al revés: el mayor $n$ que puedes pagar da el menor margen de error alcanzable $\text{ME} = z^*\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$.
Cerramos el titular. El titular de Emma informaba un margen de error de $\pm 3$ puntos. Con 95% de confianza y $\hat{p} = 0.5$, necesitamos $n \ge \left(\dfrac{1.96}{0.03}\right)^2(0.25) \approx 1{,}067.1$, así que $n = 1{,}068$. Por eso las encuestas nacionales entrevistan a "unas 1,000" personas. Una muestra aleatoria bien elegida de ese tamaño puede hablar por millones de adolescentes, y el margen de error te dice cuánto confiar en el número.
El organizador de una rifa local quiere estimar la proporción de boletos que se imprimieron con defectos. Toma una muestra aleatoria de $60$ boletos y encuentra que $4$…
El organizador de una rifa local quiere estimar la proporción de boletos que se imprimieron con defectos. Toma una muestra aleatoria de $60$ boletos y encuentra que $4$ de ellos tienen errores de impresión. Verifica si se cumple la condición de conteos grandes (Large Counts) necesaria para construir un intervalo de confianza $z$ para una proporción. Muestra tus cálculos.
El gerente de una cafetería en Seattle quiere estimar la temperatura promedio (en grados Fahrenheit) del café que sirven. Selecciona al azar $18$ tazas de café servidas…
El gerente de una cafetería en Seattle quiere estimar la temperatura promedio (en grados Fahrenheit) del café que sirven. Selecciona al azar $18$ tazas de café servidas durante la semana. La temperatura media de la muestra es de $158.4^\circ\text{F}$ con una desviación estándar de $5.2^\circ\text{F}$. Se sabe por estudios previos que la distribución de las temperaturas del café es aproximadamente normal y sin valores atípicos.
Determina los grados de libertad, encuentra el valor crítico $t^*$ apropiado y calcula el intervalo de confianza del $95\%$ para la temperatura media de todas las tazas de café servidas.
Una tienda de reparación de computadoras quiere estimar el costo promedio de las reparaciones de pantallas de cierto modelo de computadora portátil. En un estudio piloto…
Una tienda de reparación de computadoras quiere estimar el costo promedio de las reparaciones de pantallas de cierto modelo de computadora portátil. En un estudio piloto con $n=12$ reparaciones, encontraron una desviación estándar muestral de $s = \$35.50$.
Quieren realizar un estudio más grande para estimar el verdadero costo promedio con un margen de error máximo de $\$10$ y un nivel de confianza del $95\%$. ¿Deberían usar el valor crítico $z^*$ o el valor crítico $t^*$ del estudio piloto para calcular el tamaño de muestra necesario? Calcula el tamaño de muestra requerido usando el método más conservador (que garantice el margen de error deseado) y justifica tu elección.
Resumen
-
Un intervalo de confianza es estimación $\pm$ margen de error, donde $\text{ME} = (\text{valor crítico}) \times \text{SE}$. La estimación es el punto medio del intervalo.
-
Interpreta un intervalo así: "Tenemos $C\%$ de confianza en que el intervalo de $a$ a $b$ captura el verdadero [parámetro en contexto]". El nivel de confianza describe la tasa de éxito a la larga del método.
-
Verifica primero las condiciones: Aleatoria, 10% y Conteos grandes (proporciones) o Normal/$n \ge 30$ (medias).
-
Proporción: $\hat{p} \pm z^*\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$. Media: $\bar{x} \pm t^* s/\sqrt{n}$ con $gl = n - 1$.
-
Mayor confianza hace el intervalo más ancho. Un $n$ mayor lo hace más estrecho, y reducir el ME a la mitad requiere cuatro veces la muestra.
-
Tamaño de muestra: $n \ge (z^*/m)^2\hat{p}(1-\hat{p})$ o $n \ge (z^*\sigma/m)^2$. Usa $\hat{p} = 0.5$ si no hay estimación previa y redondea siempre hacia arriba.