Ejercicios: Intervalos de confianza

En una escuela preparatoria (high school) de Texas, un administrador desea estimar la proporción de estudiantes del último año que conducen su propio automóvil para ir a la escuela. Selecciona una muestra aleatoria simple de $150$ estudiantes del último año y descubre que $96$ de ellos conducen su propio automóvil. Calcula el intervalo de confianza del $95\%$ para la verdadera proporción de estudiantes del último año que conducen a la escuela. Asume que se cumplen todas las condiciones para la inferencia.

Un inspector de calidad en una fábrica de cereales en Michigan selecciona una muestra aleatoria de $45$ cajas de la línea de producción. El peso promedio de la muestra es de $12.4$ onzas con una desviación estándar muestral de $0.3$ onzas. Construye un intervalo de confianza del $90\%$ para el peso medio real de todas las cajas de cereal producidas en ese turno.

Una encuesta reciente estimó la proporción de residentes de una ciudad que apoyan la construcción de un nuevo parque. El intervalo de confianza del $95\%$ reportado fue de $(0.42, 0.48)$. Escribe una oración que interprete correctamente este intervalo de confianza en el contexto del problema.

Un fabricante de celulares afirma que está "un $99\%$ seguro de que el tiempo medio de duración de la batería de su nuevo modelo está entre $18.5$ y $20.2$ horas". Explica claramente qué significa el nivel de confianza del $99\%$ en este contexto.

El organizador de una rifa local quiere estimar la proporción de boletos que se imprimieron con defectos. Toma una muestra aleatoria de $60$ boletos y encuentra que $4$ de ellos tienen errores de impresión. Verifica si se cumple la condición de conteos grandes (Large Counts) necesaria para construir un intervalo de confianza $z$ para una proporción. Muestra tus cálculos.

Un investigador quiere estimar la cantidad media de millas que los residentes de Los Ángeles manejan por semana. Toma una muestra aleatoria simple de $15$ residentes. Al analizar los datos, descubre que la distribución de la muestra está fuertemente sesgada hacia la derecha y tiene un valor atípico alto. ¿Se cumple la condición de normalidad/tamaño de muestra para calcular un intervalo de confianza $t$ para la media poblacional? Justifica tu respuesta.

Un equipo de campaña política en Chicago quiere estimar la proporción de votantes que apoyan a su candidato. Quieren que su estimación tenga un margen de error de no más de $0.04$ con un nivel de confianza del $95\%$. Si no tienen una estimación previa de la proporción de apoyo, ¿cuál es el tamaño de muestra mínimo que deben encuestar?

Una investigadora de mercado calcula un intervalo de confianza del $90\%$ para el gasto medio en dólares de los clientes en una tienda de electrónica. Si decidiera usar la misma muestra para calcular un intervalo de confianza del $99\%$, ¿cómo cambiaría el margen de error y la amplitud del intervalo? Explica brevemente el motivo matemático.

Una popular plataforma de streaming desea estimar la proporción de sus suscriptores en Estados Unidos que comparten su contraseña con personas fuera de su hogar. Toman una muestra aleatoria simple de $500$ cuentas y descubren que $185$ de ellas muestran actividad en múltiples ubicaciones lejanas simultáneamente (indicador de contraseñas compartidas).

Verifica las condiciones para la inferencia y calcula un intervalo de confianza del $98\%$ para la verdadera proporción de suscriptores que comparten su contraseña.

El gerente de una cafetería en Seattle quiere estimar la temperatura promedio (en grados Fahrenheit) del café que sirven. Selecciona al azar $18$ tazas de café servidas durante la semana. La temperatura media de la muestra es de $158.4^\circ\text{F}$ con una desviación estándar de $5.2^\circ\text{F}$. Se sabe por estudios previos que la distribución de las temperaturas del café es aproximadamente normal y sin valores atípicos.

Determina los grados de libertad, encuentra el valor crítico $t^*$ apropiado y calcula el intervalo de confianza del $95\%$ para la temperatura media de todas las tazas de café servidas.

Una agencia inmobiliaria en Miami desea estimar la renta mensual promedio de los apartamentos de una habitación en el centro de la ciudad. Basados en estudios de ciudades similares, asumen que la desviación estándar de las rentas es de aproximadamente $\$250$. ¿Cuántos apartamentos deben seleccionar al azar para estar un $90\%$ seguros de que su estimación esté dentro de un margen de error de $\$40$ del verdadero promedio poblacional?

Un estudio sobre el tiempo de viaje al trabajo (commute) de los empleados de una gran corporación en Nueva York reportó un intervalo de confianza del $99\%$ para el tiempo medio de viaje, siendo este de $(34.2, 41.8)$ minutos.

A partir de este intervalo, calcula el estimador puntual (la media de la muestra) y el margen de error del estudio. Muestra cómo obtuviste ambos valores.

El Departamento de Transporte de California quiere estimar la proporción de vehículos nuevos registrados que son completamente eléctricos. Un estudio similar realizado el año pasado indicó que la proporción era de $0.18$. Utilizando esta estimación previa, determina el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción actual con un margen de error de $0.025$ y un nivel de confianza del $95\%$.

Una cadena nacional de comida rápida afirma que su nueva hamburguesa tiene un promedio de $600$ calorías. Una organización independiente de salud toma una muestra aleatoria de $50$ de estas hamburguesas y construye un intervalo de confianza del $95\%$ para el contenido medio de calorías, obteniendo $(615.3, 638.7)$ calorías.

Basándote únicamente en este intervalo de confianza, ¿hay evidencia convincente para rechazar la afirmación de la cadena de comida rápida? Explica tu razonamiento.

Una agencia encuestadora realizó una encuesta a $1,000$ votantes registrados y reportó un margen de error del $3.1\%$ con un nivel de confianza del $95\%$. Si la agencia quisiera reducir el margen de error a la mitad (es decir, $1.55\%$) manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿cuál debería ser el nuevo tamaño de la muestra? Asume que la proporción muestral se mantiene constante.

Un estudiante de AP Statistics lee en un artículo que un intervalo de confianza del $90\%$ para el salario promedio de los maestros en un distrito escolar es de $(\$52,000, \$58,000)$. El estudiante interpreta esto diciendo: "Hay un $90\%$ de probabilidad de que el verdadero salario promedio de los maestros en este distrito esté entre $\$52,000$ y $\$58,000$".

Explica por qué la interpretación de este estudiante es estadísticamente incorrecta y proporciona la interpretación correcta.

Una empresa de ingeniería civil compra cables de acero a un proveedor que afirma que la resistencia media a la rotura de los cables es de $10,500$ libras. La empresa toma una muestra aleatoria de $24$ cables y prueba su resistencia. La media muestral es de $10,280$ libras con una desviación estándar de $410$ libras.

Observando el diagrama de caja de los datos de la muestra proporcionado arriba, justifica si es apropiado utilizar un procedimiento $t$ de una muestra para construir un intervalo de confianza. Si es apropiado, calcula un intervalo de confianza del $99\%$ para la verdadera resistencia media e indica si el intervalo apoya la afirmación del proveedor.

Una tienda de reparación de computadoras quiere estimar el costo promedio de las reparaciones de pantallas de cierto modelo de computadora portátil. En un estudio piloto con $n=12$ reparaciones, encontraron una desviación estándar muestral de $s = \$35.50$.

Quieren realizar un estudio más grande para estimar el verdadero costo promedio con un margen de error máximo de $\$10$ y un nivel de confianza del $95\%$. ¿Deberían usar el valor crítico $z^*$ o el valor crítico $t^*$ del estudio piloto para calcular el tamaño de muestra necesario? Calcula el tamaño de muestra requerido usando el método más conservador (que garantice el margen de error deseado) y justifica tu elección.

Un profesor de estadística realiza una simulación por computadora para ilustrar el concepto de nivel de confianza. La simulación extrae $20$ muestras aleatorias independientes de tamaño $n=30$ de una población normal con media $\mu = 50$ y desviación estándar $\sigma = 10$. Para cada muestra, se calcula un intervalo de confianza del $90\%$ para $\mu$.

El gráfico muestra un subconjunto de estos intervalos. En la simulación completa de $20$ intervalos, se observa que $3$ de ellos no contienen el verdadero valor de $\mu = 50$.

¿Es este resultado sorprendente para un nivel de confianza del $90\%$? Utiliza la probabilidad binomial para calcular la probabilidad de que exactamente $3$ de $20$ intervalos del $90\%$ fallen en capturar la verdadera media, y discute si el proceso de simulación funciona como se espera teóricamente.

Un investigador publicó un intervalo de confianza del $95\%$ para el número medio de horas que los adolescentes pasan en sus celulares diariamente. El intervalo publicado es $(5.8, 7.2)$ horas. El artículo también menciona que la muestra consistió en $64$ adolescentes.

Trabajando hacia atrás a partir de esta información, determina la desviación estándar muestral ($s$) que se obtuvo en el estudio original. Muestra paso a paso tu álgebra y justifica el uso de $t^*$ o $z^*$.

Al calcular el tamaño de muestra necesario para estimar una proporción poblacional $p$ con un margen de error específico, la fórmula requiere un valor estimado para $p$ (comúnmente denotado como $\hat{p}$). Si no se dispone de una estimación previa, los libros de texto recomiendan usar $\hat{p} = 0.5$.

Demuestra algebraicamente por qué el uso de $\hat{p} = 0.5$ es el enfoque más conservador. Es decir, demuestra que la función $f(p) = p(1-p)$ alcanza su valor máximo en el intervalo $[0, 1]$ exactamente cuando $p = 0.5$. Puedes usar cálculo o propiedades de las parábolas.

El director de una preparatoria con $3,000$ estudiantes quiere estimar la proporción de estudiantes que planean asistir al baile de graduación (prom). Para ahorrar tiempo, encuesta a los primeros $50$ estudiantes que llegan a la escuela un lunes por la mañana. Descubre que $40$ de ellos planean asistir. El director calcula un intervalo de confianza de una proporción y anuncia los resultados.

Identifica qué condición crítica para la inferencia se ha violado. Explica la dirección del sesgo probable en el estimador puntual del director y argumenta por qué el intervalo de confianza calculado carece de validez estadística.

Una empresa fabrica bombillas LED y afirma que el $98\%$ de ellas duran más de $10,000$ horas. Una organización de derechos del consumidor sospecha que la verdadera proporción es menor. Toman una muestra aleatoria masiva y construyen un intervalo de confianza del $99\%$ para la proporción de bombillas que duran más de $10,000$ horas, obteniendo $(0.952, 0.976)$.

Basado en este intervalo, ¿qué conclusión debe extraer la organización sobre la afirmación de la empresa? Además, si la organización hubiera utilizado un nivel de confianza del $95\%$ con la misma muestra, ¿sería más o menos probable que el intervalo contuviera el valor $0.98$? Explica matemáticamente por qué.

Dos encuestadoras rivales estiman la proporción de votantes a favor de una nueva ley de impuestos.

La Encuestadora A utiliza una muestra de tamaño $n$ y reporta un margen de error de $E$.

La Encuestadora B desea reportar un margen de error que sea exactamente un tercio del de la Encuestadora A (es decir, $E/3$), utilizando el mismo nivel de confianza y asumiendo que ambas encuentran proporciones muestrales similares.

Expresa el tamaño de muestra requerido por la Encuestadora B en términos de $n$. Si la Encuestadora A encuestó a $400$ personas, ¿cuántas personas adicionales debe encuestar la Encuestadora B para lograr su objetivo?