Ejercicios: Combinatoria

Un nuevo servicio de banca en línea requiere que sus usuarios creen una clave de seguridad personalizada. La clave debe estar formada por exactamente 4 dígitos seguidos de 2 letras (utilizando el alfabeto español de 26 letras, excluyendo la "ñ").

Calcula cuántas claves distintas se pueden generar en los siguientes supuestos:

1. a) Los dígitos pueden repetirse, pero las letras deben ser distintas.
2. b) Tanto los dígitos como las letras pueden repetirse, pero el primer dígito no puede ser cero y la última letra debe ser una vocal ($A, E, I, O, U$).

Para la fase de grupos de un torneo de debate académico, se deben organizar las intervenciones de 8 centros educativos diferentes. El equipo organizador ha decidido que el debate inaugural siempre lo realice el Centro Educativo Atenea y el debate de clausura lo cierre la Escuela Secundaria Newton.

¿De cuántas formas distintas se puede configurar el orden de intervención de los 6 centros restantes para completar el programa del torneo?

En una empresa de desarrollo de videojuegos, el departamento de arte tiene un equipo de 12 diseñadores, de los cuales 7 son expertos en modelado 3D y 5 son expertos en diseño de texturas.

Para un nuevo proyecto, se debe elegir un equipo de trabajo compuesto por 4 diseñadores. ¿De cuántas formas se puede elegir el equipo si se exige que haya al menos dos expertos en modelado 3D?

Un chef está diseñando un menú degustación para una cena de gala. El menú debe consistir en 3 entradas, 2 platos principales y 2 postres.

Si en su recetario dispone de 6 opciones de entradas, 4 opciones de platos principales y 3 opciones de postres, ¿cuántas combinaciones diferentes de menús puede ofrecer a sus clientes?

Resuelve razonadamente la siguiente ecuación combinatoria para hallar el valor de $n$:

Sabiendo que $V_{n, k}$ representa las variaciones ordinarias de $n$ elementos tomados de $k$ en $k$.

En una estantería de una tienda de decoración, se quieren colocar en fila 9 jarrones idénticos en forma pero de distintos colores: 4 jarrones blancos, 3 jarrones azules y 2 jarrones plateados.

¿De cuántas maneras diferentes se pueden alinear estos 9 jarrones en el estante?

Se va a celebrar un torneo relámpago de ajedrez en un centro juvenil. Al finalizar la fase clasificatoria, quedan 10 jugadores. La organización debe entregar tres trofeos diferentes: uno al campeón, otro al subcampeón y un tercero al tercer clasificado. Además, se entregará una medalla de participación a los 7 jugadores restantes.

1. a) ¿De cuántas formas pueden repartirse los tres trofeos principales?
2. b) Si entre los 10 finalistas hay una pareja de hermanos y queremos saber en cuántas de esas clasificaciones los dos hermanos reciben trofeo (independientemente de cuál sea).

Una heladería ofrece a sus clientes la posibilidad de crear una "Copa Especial" eligiendo 3 bolas de helado de entre sus 15 sabores disponibles.

1. a) Si un cliente quiere que las 3 bolas sean de sabores diferentes, ¿cuántas copas distintas puede crear?
2. b) Si el cliente es un entusiasta de un sabor particular y permite que las bolas sean del mismo sabor (es decir, puede repetir sabores), ¿cuántas combinaciones de copas son posibles ahora?

Para celebrar el fin de año escolar, un grupo de amigos decide ir a cenar a un restaurante que ofrece un menú cerrado. Los estudiantes deben elegir una entrada entre 4 posibles, un plato principal entre 5 opciones y un postre de una lista de 3. ¿De cuántas formas distintas puede un alumno configurar su menú de cena?

En una competencia de esports participan 8 jugadores. Si solo se premia a los tres primeros clasificados con medallas de oro, plata y bronce respectivamente, ¿cuántos podios distintos pueden formarse al finalizar el torneo? Tenga en cuenta que el orden en que queden los jugadores sí determina el tipo de medalla.

Un estudiante de escuela secundaria quiere crear una contraseña segura para su nuevo perfil en una red social. La contraseña debe tener exactamente 4 dígitos numéricos (del $0$ al $9$). Si se permite que los números se repitan, ¿cuántas combinaciones de códigos diferentes podría generar?

En la biblioteca de la escuela secundaria, un alumno ha seleccionado 5 libros de literatura distintos y quiere colocarlos en un estante de su habitación. ¿De cuántas formas diferentes puede ordenarlos de izquierda a derecha?

Una clase de 12.º grado tiene que elegir una comisión de convivencia formada por 3 alumnos. Si en la clase hay 25 alumnos y todos son elegibles, ¿cuántos grupos distintos de 3 personas se pueden formar? Razone si en este caso importa o no el orden de selección de los miembros.

Un entrenador de básquetbol dispone de 10 jugadores en su equipo para un partido. Si para el salto inicial debe elegir un quinteto (5 jugadores) y no importa la posición específica que ocupe cada uno en ese momento, ¿cuántos equipos iniciales diferentes puede presentar?

¿Cuántas palabras de 5 letras, con o sin sentido, se pueden formar permutando las letras de la palabra $LIBRO$? ¿Y si todas las palabras debieran empezar por la letra $L$?

En una heladería ofrecen 12 sabores de helado diferentes. Si queremos comprar un vasito con 2 bolas de sabores distintos, ¿cuántas combinaciones de helados posibles podemos elegir? Considere que el orden en que se pongan las bolas en el vasito no cambia el producto final.

Un equipo de marketing digital está diseñando una campaña publicitaria para una conocida marca de zapatillas. Para una sesión de fotos, deben colocar en línea a sus 10 colaboradores estrella: 3 fotógrafos, 4 editores de video y 3 redactores creativos (copywriters). Determina de cuántas formas pueden posar para la foto si se deben cumplir simultáneamente las siguientes condiciones:

1. Los profesionales de la misma categoría deben estar siempre juntos.

2. El fotógrafo principal y el redactor jefe no pueden estar en los extremos de la formación total.

Para acceder a una zona VIP de un festival de música, los asistentes deben generar un código personal de 7 caracteres. Las reglas de la organización son estrictas para evitar hackeos:

• Los 3 primeros caracteres deben ser letras mayúsculas distintas (de un alfabeto de 26 letras, excluyendo la Ñ).

• Los 4 caracteres restantes deben ser dígitos del $0$ al $9$, que pueden repetirse.

• Restricción adicional: El código no es válido si los tres dígitos centrales del bloque numérico son iguales entre sí (por ejemplo, ABC-1222 o ABC-5550 no valdrían, pero ABC-5505 sí).

Calcula cuántos códigos diferentes se pueden crear bajo estas condiciones.

En una liga escolar de E-sports participan 14 jugadores. Se debe seleccionar un comité de 5 representantes para la federación nacional. Entre los 14 jugadores, hay una pareja de hermanos que se llevan muy mal y han declarado que no formarán parte del comité si el otro también es elegido. Además, en el comité debe haber al menos un representante de los 3 jugadores más veteranos. ¿De cuántas formas distintas se puede elegir el comité de 5 personas?

Ocho amigos, entre los que se encuentran una pareja de novios, van a cenar a un restaurante japonés y les asignan una mesa circular.

1. ¿De cuántas formas pueden sentarse a la mesa si los novios quieren estar sentados juntos?

2. Si tras la cena se enojan y deciden que en el cine (donde tienen 8 asientos en fila) no quieren sentarse juntos ni tener a nadie entre ellos (es decir, debe haber al menos un asiento vacío u otra persona de separación, pero nunca asientos contiguos), ¿de cuántas formas podrán sentarse los ocho amigos en la fila de asientos?

Una aplicación de mensajería utiliza un sistema de cifrado basado en secuencias binarias de 12 bits (ceros y unos). Por motivos de eficiencia del algoritmo, se requiere que cada secuencia cumpla dos propiedades:

• Debe contener exactamente seis ceros y seis unos.

• Condición crítica: No puede haber tres o más unos consecutivos en ninguna parte de la secuencia.

Calcula el número de secuencias válidas que puede generar este sistema.

Tres amigos han ganado un sorteo de 12 boletos idénticos para un parque temático y deciden repartirlos entre ellos.

1. ¿De cuántas formas pueden repartirse los boletos si cada uno debe recibir al menos uno?

2. ¿Y si deciden que la repartición sea tal que uno de los amigos (el que compró el boleto del sorteo) siempre reciba más boletos que los otros dos juntos?

Considera el desarrollo del binomio de Newton para la expresión:

Sin desarrollar toda la potencia, calcula:

1. El valor del coeficiente del término que contiene a $x^{20}$.

2. Determina razonadamente si existe algún término independiente de $x$ en este desarrollo. En caso afirmativo, indica qué posición ocupa.

Se quiere organizar un torneo de pádel relámpago con 12 alumnos de una clase. El profesor quiere formar 6 parejas distintas.

1. ¿De cuántas formas pueden quedar constituidas las 6 parejas si no importa el orden de las mismas ni el orden de los jugadores dentro de cada pareja?

2. Si entre los alumnos hay 4 que son jugadores de nivel avanzado y el profesor decide que cada uno de ellos debe estar en una pareja distinta (para equilibrar el nivel), ¿de cuántas formas se pueden formar las parejas ahora?