Interpretación de gráficas x-t y v-t
Fátima cuenta su camino al colegio: «salí de casa caminando a paso constante, aceleré al ver que se me hacía tarde y, al llegar a la puerta, frené». Ese relato se puede dibujar sin una sola palabra, con una gráfica. Y de una gráfica se lee, con solo mirarla, qué hace el móvil en cada tramo: reposo, movimiento uniforme o movimiento acelerado.
Gráfica x-t: posición y pendiente
Medimos la posición de una pelota en un pasillo: a los $0\ \text{s}$ está en $0\ \text{m}$, a los $2\ \text{s}$ en $4\ \text{m}$ y a los $4\ \text{s}$ en $8\ \text{m}$. ¿Cómo ver de un vistazo si va rápido o despacio, sin depender de una tabla de números?
En la primera gráfica, $x(t)$, fijate en la inclinación de la recta. En la segunda, $v(t)$, comprobá que es una línea horizontal: la velocidad no cambia.
En una gráfica posición-tiempo (x-t), la línea de un móvil es horizontal durante $10\ \text{s}$, como se muestra en la figura. ¿Qué está haciendo el móvil durante ese…
En una gráfica posición-tiempo (x-t), la línea de un móvil es horizontal durante $10\ \text{s}$, como se muestra en la figura.
¿Qué está haciendo el móvil durante ese tiempo? Justificá tu respuesta.
En una misma gráfica x-t, Ana y Luis aparecen como dos líneas rectas, y la de Ana sube más inclinada que la de Luis, como se muestra en la figura. ¿Quién va más rápido?…
En una misma gráfica x-t, Ana y Luis aparecen como dos líneas rectas, y la de Ana sube más inclinada que la de Luis, como se muestra en la figura.
¿Quién va más rápido? ¿Qué magnitud nos da la pendiente de una gráfica x-t?
La gráfica x-t de un caminante es una recta que pasa por los puntos $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ y $(10\ \text{s},\ 50\ \text{m})$, como se muestra en la figura.…
La gráfica x-t de un caminante es una recta que pasa por los puntos $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ y $(10\ \text{s},\ 50\ \text{m})$, como se muestra en la figura.
Calculá su velocidad.
¿Qué información da la pendiente de una gráfica posición-tiempo? ¿Y la de una gráfica velocidad-tiempo? Contestá con tus palabras y poné un ejemplo numérico de cada una.
¿Qué información da la pendiente de una gráfica posición-tiempo? ¿Y la de una gráfica velocidad-tiempo? Contestá con tus palabras y poné un ejemplo numérico de cada una.
Gráfica v-t: pendiente = aceleración
El velocímetro de una moto marca $0\ \text{m/s}$ en la salida, $10\ \text{m/s}$ a los $2\ \text{s}$ y $20\ \text{m/s}$ a los $4\ \text{s}$. ¿Cómo dibujamos qué tan rápido cambia esa velocidad?
Como $a \neq 0$, la gráfica $v(t)$ ya no es horizontal sino una recta inclinada, y la gráfica $x(t)$ se curva.
Cuando la línea de $v$-$t$ es horizontal, la velocidad es constante y la distancia recorrida es el producto de la velocidad por el tiempo: $d = v \cdot t$. Es el área del rectángulo bajo la línea (se ve con más detalle en la última sección).
El gráfico velocidad-tiempo (v-t) de un avión en crucero es una línea horizontal a $v = 250\ \text{m/s}$ durante $10\ \text{s}$, como se muestra en la figura. ¿Qué tipo…
El gráfico velocidad-tiempo (v-t) de un avión en crucero es una línea horizontal a $v = 250\ \text{m/s}$ durante $10\ \text{s}$, como se muestra en la figura.
¿Qué tipo de movimiento lleva en ese tramo? ¿Qué distancia recorre en esos $10\ \text{s}$?
Tramos combinados: reposo, MRU y regreso
Los movimientos reales casi nunca son de un solo tipo: se arranca, se avanza, se hace una parada y se regresa. La gráfica los junta por tramos, y cada tramo se lee con su propia pendiente.
La gráfica x-t de un patinador tiene dos tramos rectos: el primero va de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ a $(10\ \text{s},\ 100\ \text{m})$ y el segundo, de…
La gráfica x-t de un patinador tiene dos tramos rectos: el primero va de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ a $(10\ \text{s},\ 100\ \text{m})$ y el segundo, de $(10\ \text{s},\ 100\ \text{m})$ a $(30\ \text{s},\ 200\ \text{m})$, como se muestra en la figura.
Calculá su velocidad en cada tramo y decí en cuál va más rápido.
La gráfica x-t de una excursión en bici tiene tres tramos rectos, como se muestra en la figura: de $(0\ \text{min},\ 0\ \text{km})$ a $(20\ \text{min},\ 10\ \text{km})$;…
La gráfica x-t de una excursión en bici tiene tres tramos rectos, como se muestra en la figura: de $(0\ \text{min},\ 0\ \text{km})$ a $(20\ \text{min},\ 10\ \text{km})$; horizontal desde ahí hasta $t = 30\ \text{min}$; y de $(30\ \text{min},\ 10\ \text{km})$ a $(60\ \text{min},\ 16\ \text{km})$.
- a) Calculá la velocidad de cada tramo, en $\text{km/min}$.
- b) ¿Qué ocurre en el tramo central? ¿Qué creés que hicieron los ciclistas en ese tiempo?
La gráfica x-t del viaje de un ómnibus escolar tiene estos tramos rectos, como se muestra en la figura: de $(0\ \text{min},\ 0\ \text{km})$ a…
La gráfica x-t del viaje de un ómnibus escolar tiene estos tramos rectos, como se muestra en la figura: de $(0\ \text{min},\ 0\ \text{km})$ a $(10\ \text{min},\ 6\ \text{km})$; horizontal hasta $t = 15\ \text{min}$, mientras recoge a unos alumnos; de $(15\ \text{min},\ 6\ \text{km})$ a $(35\ \text{min},\ 16\ \text{km})$; y por último de $(35\ \text{min},\ 16\ \text{km})$ a $(55\ \text{min},\ 0\ \text{km})$.
- a) Calculá la velocidad de cada tramo, en $\text{km/min}$.
- b) ¿Qué significa el último tramo, cuya pendiente es negativa?
- c) ¿En qué tramo va más rápido el ómnibus? Justificalo comparando las pendientes.
Ampliación: curvas y dos móviles en la misma gráfica
Una curva en $x$-$t$ indica que la velocidad cambia: si se va empinando, el móvil acelera; si se va aplanando, frena. Una curva no prueba por sí sola que la aceleración sea constante; en el MRUA, $x$-$t$ es una parábola y $v$-$t$ una recta.
De la recta a su ecuación
Una recta de $x$-$t$ se puede escribir como una ecuación: $x = x_0 + v \cdot t$. La pendiente es la velocidad $v$, y $x_0$ es la posición en $t = 0$, donde la recta corta el eje vertical (la ordenada al origen).
El cruce en la gráfica
En una misma gráfica x-t, la recta de Carla empieza en $(0\ \text{s},\ 30\ \text{m})$ y pasa por $(10\ \text{s},\ 60\ \text{m})$, y la de Dani empieza en…
En una misma gráfica x-t, la recta de Carla empieza en $(0\ \text{s},\ 30\ \text{m})$ y pasa por $(10\ \text{s},\ 60\ \text{m})$, y la de Dani empieza en $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ y pasa por $(10\ \text{s},\ 60\ \text{m})$, como se muestra en la figura.
- a) Calculá la velocidad de cada uno.
- b) ¿Quién salía por delante? ¿Quién corre más rápido?
- c) ¿Se cruzan en algún momento? ¿Dónde se ve eso en la gráfica?
En una gráfica x-t, la recta de un tren pasa por $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ y $(20\ \text{s},\ 400\ \text{m})$, y la de otro tren, que viene de frente, pasa por…
En una gráfica x-t, la recta de un tren pasa por $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ y $(20\ \text{s},\ 400\ \text{m})$, y la de otro tren, que viene de frente, pasa por $(0\ \text{s},\ 800\ \text{m})$ y $(40\ \text{s},\ 0\ \text{m})$, como se muestra en la figura.
- a) Calculá la velocidad de cada tren, con su signo.
- b) Las dos rectas se cortan en un punto: explicá qué significa ese punto.
- c) Calculá en qué instante y en qué posición se cruzan los trenes.
En una gráfica x-t, la recta de un ciclista pasa por $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ y $(30\ \text{s},\ 300\ \text{m})$, y la de un peatón, que va en sentido contrario,…
En una gráfica x-t, la recta de un ciclista pasa por $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ y $(30\ \text{s},\ 300\ \text{m})$, y la de un peatón, que va en sentido contrario, por $(0\ \text{s},\ 500\ \text{m})$ y $(50\ \text{s},\ 0\ \text{m})$, como se muestra en la figura.
- a) Calculá la velocidad de cada uno, con su signo.
- b) Escribí la ecuación de la posición de cada uno.
- c) El punto donde las rectas se cortan es el cruce: calculá cuándo y dónde se produce.
- d) Comprobá el resultado sustituyendo en las dos ecuaciones.
Una compañera dibuja la gráfica x-t de un corredor con estos dos tramos, como se muestra en la figura: primero una recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ a…
Una compañera dibuja la gráfica x-t de un corredor con estos dos tramos, como se muestra en la figura: primero una recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ a $(10\ \text{s},\ 40\ \text{m})$ y después una recta que va de $(10\ \text{s},\ 40\ \text{m})$ a $(5\ \text{s},\ 20\ \text{m})$.
- a) Calculá la velocidad del primer tramo.
- b) Explicá por qué el segundo tramo es imposible en la realidad: fijate en cómo avanza el tiempo.
- c) ¿Cómo debería ser un tramo en el que el corredor sí vuelve hacia el punto de partida? Describilo y poné un ejemplo con números.
Podés hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En una gráfica x-t, un ciclista aparece como una recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ a $(60\ \text{s},\ 300\ \text{m})$. Una moto sale más tarde y su recta pasa por…
En una gráfica x-t, un ciclista aparece como una recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ a $(60\ \text{s},\ 300\ \text{m})$. Una moto sale más tarde y su recta pasa por $(20\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ y $(40\ \text{s},\ 300\ \text{m})$, como se muestra en la figura.
- a) Calculá la velocidad de cada uno.
- b) Escribí sus ecuaciones de posición (recordá que la moto parte en $t = 20\ \text{s}$).
- c) ¿En qué instante y en qué posición la moto alcanza al ciclista?
- d) ¿Quién va por delante en $t = 25\ \text{s}$? Justificalo con los cálculos.
Ampliación: el área bajo la gráfica v-t
Si un móvil va a $10\ \text{m/s}$ durante $20\ \text{s}$, recorre $10 \times 20 = 200\ \text{m}$. Eso es el área del rectángulo bajo la línea horizontal de la gráfica $v$-$t$.
La gráfica v-t de un tranvía es horizontal a $10\ \text{m/s}$ entre $t = 0\ \text{s}$ y $t = 20\ \text{s}$, y horizontal a $5\ \text{m/s}$ entre $t = 20\ \text{s}$ y…
La gráfica v-t de un tranvía es horizontal a $10\ \text{m/s}$ entre $t = 0\ \text{s}$ y $t = 20\ \text{s}$, y horizontal a $5\ \text{m/s}$ entre $t = 20\ \text{s}$ y $t = 40\ \text{s}$, como se muestra en la figura.
- a) ¿Qué distancia recorre en el primer tramo? ¿Y en el segundo?
- b) ¿Qué distancia total recorre en los $40\ \text{s}$?
- c) ¿Cuál es su velocidad media en todo el trayecto?
Volvé al principio: el relato de Fátima, en una gráfica $v$-$t$, es una línea horizontal (paso constante), un tramo inclinado hacia arriba (acelera) y un tramo inclinado hacia abajo hasta el eje del tiempo (frena hasta detenerse).