Gráficos velocidade-tempo na queda com resistência do ar
Quando uma gota de chuva cai de uma nuvem a 2 km de altura, não chega ao chão a mais de 700 km/h. Se assim fosse, cada aguaceiro seria um bombardeamento. Chega a poucos metros por segundo. O que o gráfico velocidade-tempo nos diz sobre esta queda, e porquê?
O que um gráfico v-t revela
Num gráfico do módulo da velocidade em função do tempo, há duas informações que valem ouro:
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o valor da curva num instante é a velocidade nesse instante;
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o declive da tangente à curva num instante é a aceleração nesse instante.
Porquê o declive? Porque a aceleração mede quanto varia a velocidade por cada segundo: $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$, e isso é exatamente o declive.
Na queda livre (sem resistência do ar), o gráfico é uma reta: o declive é constante e igual a $g$. Com resistência do ar não desprezável, a curva deixa de ser reta.
Da queda até à velocidade terminal
Durante a queda atuam o peso $\vec P$ (constante, vertical para baixo) e a resistência do ar $\vec R_{ar}$ (vertical para cima, aumenta com a velocidade). Em módulo, tomando o sentido da queda como positivo:
$$a = \frac{P - R_{ar}}{m}$$A queda tem três fases:
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Início: $v \approx 0$, logo $R_{ar} \approx 0$. A resultante é quase só o peso, $a \approx g$. A curva sobe com declive próximo de $g$ (aqui, $10\ \mathrm{m/s^2}$).
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Meio: $v$ aumenta, $R_{ar}$ aumenta, a resultante diminui, $a$ diminui. A curva vai encurvando.
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Fim: $R_{ar}$ iguala $P$. A resultante é nula, $a = 0$ e a velocidade fica constante: é a velocidade terminal. A curva torna-se horizontal e o movimento é retilíneo uniforme (1.ª Lei de Newton).
Uma gota de chuva cai de uma nuvem, na vertical. O gráfico da figura mostra como varia o módulo da velocidade da gota em função do tempo, desde o instante em que começa…
Uma gota de chuva cai de uma nuvem, na vertical. O gráfico da figura mostra como varia o módulo da velocidade da gota em função do tempo, desde o instante em que começa a cair.
- a) Indica como se designa a velocidade que a gota atinge na fase final da queda e lê o seu valor no gráfico.
- b) Explica, com base no gráfico, como varia o módulo da aceleração da gota ao longo do tempo.
- c) Justifica, com base nas forças que atuam na gota, a forma da curva na fase inicial do movimento.
Abrir o paraquedas
Um paraquedista, antes de abrir o paraquedas, tem uma área frontal pequena. A velocidade sobe e aproxima-se de uma primeira velocidade terminal, elevada.
Quando abre o paraquedas, a área exposta ao ar aumenta muito e, com ela, a resistência do ar. No instante da abertura, a velocidade ainda é alta, por isso $R_{ar} > P$ de repente. A resultante aponta para cima, e a aceleração, tomando o sentido da queda como positivo, é negativa: o módulo da velocidade diminui (movimento retardado).
À medida que $v$ diminui, $R_{ar}$ também diminui, até voltar a igualar $P$. Aí o paraquedista atinge uma nova velocidade terminal, bem mais baixa, e cai com velocidade constante até ao solo.
Um paraquedista salta de um helicóptero parado e abre o paraquedas a meio da queda. O gráfico da figura representa a evolução do módulo da sua velocidade desde o salto…
Um paraquedista salta de um helicóptero parado e abre o paraquedas a meio da queda. O gráfico da figura representa a evolução do módulo da sua velocidade desde o salto até perto da chegada ao solo.
- a) Indica o instante em que o paraquedas se abre e justifica a resposta com base na forma do gráfico.
- b) Explica, em termos das forças que atuam no paraquedista, por que razão o módulo da velocidade diminui rapidamente logo após a abertura do paraquedas.
- c) Estima, a partir do gráfico, o valor da velocidade terminal do paraquedista antes e depois da abertura do paraquedas.
- d) Identifica os intervalos de tempo em que a resultante das forças que atuam no paraquedista é, aproximadamente, nula.
Método para responder a questões sobre gráficos
Nos itens de construção de exame, pede-se sempre que justifiques. Segue estes passos:
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Lê o gráfico: valores de $v$, instantes, zonas horizontais.
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Relaciona com a aceleração: declive grande, pequeno, nulo ou negativo.
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Liga às forças: compara $P$ e $R_{ar}$ e indica o sentido da resultante.
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Conclui com a Lei de Newton adequada ($\vec F_R = m\vec a$; com $\vec F_R=\vec 0$, velocidade constante).
| Zona do gráfico | Declive | Forças | Movimento |
|---|---|---|---|
| Início da queda | ≈ $g$ | $R_{ar} \approx 0$, $F_R \approx P$ | acelerado |
| Meio da queda | diminui | $R_{ar} < P$, $F_R$ a diminuir | acelerado, $a$ a diminuir |
| Velocidade terminal | 0 | $R_{ar} = P$, $F_R = 0$ | uniforme |
| Após abrir o paraquedas | negativo | $R_{ar} > P$, $F_R$ para cima | retardado |
De volta ao início: a gota de chuva não chega ao chão a centenas de km/h porque a resistência do ar cresce com a velocidade até igualar o peso. A partir daí a velocidade fica constante, a poucos m/s.
Em resumo
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O valor da curva v-t dá a velocidade; o declive da tangente dá a aceleração.
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Com resistência do ar, $a = (P - R_{ar})/m$ diminui à medida que $v$ aumenta; no início $a \approx g$.
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Quando $R_{ar} = P$, $F_R = 0$, $a = 0$: a curva torna-se horizontal e a velocidade é a velocidade terminal.
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Ao abrir o paraquedas, $R_{ar} > P$ durante algum tempo: aceleração negativa, velocidade a diminuir até uma nova velocidade terminal, menor.
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Justifica sempre: gráfico → declive → forças → Lei de Newton.