Interpretación de gráficas x-t y v-t
Dania cuenta su camino al colegio en Tegucigalpa: «salí de casa caminando a paso constante, aceleré al ver que se me hacía tarde y, al llegar a la puerta, frené». Ese relato se puede dibujar sin una sola palabra, con una gráfica. Y de una gráfica se lee, con solo mirarla, qué hace el móvil en cada tramo: reposo, movimiento uniforme o movimiento acelerado.
Gráfica x-t: posición y pendiente
Medimos la posición de una pelota en un pasillo: a los $0\ \text{s}$ está en $0\ \text{m}$, a los $2\ \text{s}$ en $4\ \text{m}$ y a los $4\ \text{s}$ en $8\ \text{m}$. ¿Cómo ver de un vistazo si va rápido o despacio, sin depender de una tabla de números?
En la primera gráfica, $x(t)$, fíjese en la inclinación de la recta. En la segunda, $v(t)$, compruebe que es una línea horizontal: la velocidad no cambia.
En una gráfica posición-tiempo (x-t), la línea de un móvil es horizontal durante $10\ \text{s}$, como se muestra en la figura. ¿Qué está haciendo el móvil durante ese…
En una gráfica posición-tiempo (x-t), la línea de un móvil es horizontal durante $10\ \text{s}$, como se muestra en la figura.
¿Qué está haciendo el móvil durante ese tiempo? Justifique su respuesta.
En una misma gráfica x-t, Ana y Luis aparecen como dos líneas rectas, y la de Ana sube más inclinada que la de Luis, como se muestra en la figura. ¿Quién va más rápido?…
En una misma gráfica x-t, Ana y Luis aparecen como dos líneas rectas, y la de Ana sube más inclinada que la de Luis, como se muestra en la figura.
¿Quién va más rápido? ¿Qué magnitud nos da la pendiente de una gráfica x-t?
La gráfica x-t de un caminante es una recta que pasa por los puntos $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ y $(10\ \text{s},\ 50\ \text{m})$, como se muestra en la figura.…
La gráfica x-t de un caminante es una recta que pasa por los puntos $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ y $(10\ \text{s},\ 50\ \text{m})$, como se muestra en la figura.
Calcule su velocidad.
¿Qué información da la pendiente de una gráfica posición-tiempo? ¿Y la de una gráfica velocidad-tiempo? Conteste con sus palabras y ponga un ejemplo numérico de cada una.
¿Qué información da la pendiente de una gráfica posición-tiempo? ¿Y la de una gráfica velocidad-tiempo? Conteste con sus palabras y ponga un ejemplo numérico de cada una.
Gráfica v-t: pendiente = aceleración
El velocímetro de una moto marca $0\ \text{m/s}$ en la salida, $10\ \text{m/s}$ a los $2\ \text{s}$ y $20\ \text{m/s}$ a los $4\ \text{s}$. ¿Cómo dibujamos qué tan rápido cambia esa velocidad?
Como $a \neq 0$, la gráfica $v(t)$ ya no es horizontal sino una recta inclinada, y la gráfica $x(t)$ se curva.
La gráfica velocidad-tiempo (v-t) de un avión en crucero es una línea horizontal a $v = 250\ \text{m/s}$ durante $10\ \text{s}$, como se muestra en la figura. ¿Qué tipo…
La gráfica velocidad-tiempo (v-t) de un avión en crucero es una línea horizontal a $v = 250\ \text{m/s}$ durante $10\ \text{s}$, como se muestra en la figura.
¿Qué tipo de movimiento lleva en ese tramo? ¿Qué distancia recorre en esos $10\ \text{s}$?
La gráfica v-t de una moto es una recta que pasa por los puntos $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ y $(4\ \text{s},\ 12\ \text{m/s})$, como se muestra en la figura. Calcule…
La gráfica v-t de una moto es una recta que pasa por los puntos $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ y $(4\ \text{s},\ 12\ \text{m/s})$, como se muestra en la figura.
Calcule su aceleración.
La gráfica v-t de un ciclista es una recta que va de $(0\ \text{s},\ 12\ \text{m/s})$ a $(6\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$, como se muestra en la figura. a) Calcule su…
La gráfica v-t de un ciclista es una recta que va de $(0\ \text{s},\ 12\ \text{m/s})$ a $(6\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$, como se muestra en la figura.
- a) Calcule su aceleración.
- b) ¿Qué significa el signo de esa aceleración?
- c) ¿Qué significaría que la recta continuara por debajo del eje, con velocidades negativas?
Tramos combinados: reposo, MRU y regreso
Los movimientos reales casi nunca son de un solo tipo: se arranca, se avanza, se hace una parada y se regresa. La gráfica los junta por tramos, y cada tramo se lee con su propia pendiente.
Relacione cada descripción de una gráfica x-t con el movimiento que le corresponde y justifique sus elecciones: a) Una recta horizontal. b) Una recta inclinada que sube.…
Relacione cada descripción de una gráfica x-t con el movimiento que le corresponde y justifique sus elecciones:
- a) Una recta horizontal.
- b) Una recta inclinada que sube.
- c) Una curva cada vez más empinada.
Movimientos: está parado; se mueve a velocidad constante; se mueve cada vez más rápido.
La gráfica x-t de un patinador tiene dos tramos rectos: el primero va de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ a $(10\ \text{s},\ 100\ \text{m})$ y el segundo, de…
La gráfica x-t de un patinador tiene dos tramos rectos: el primero va de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ a $(10\ \text{s},\ 100\ \text{m})$ y el segundo, de $(10\ \text{s},\ 100\ \text{m})$ a $(30\ \text{s},\ 200\ \text{m})$, como se muestra en la figura.
Calcule su velocidad en cada tramo e indique en cuál va más rápido.
La gráfica x-t de una excursión en bicicleta tiene tres tramos rectos, como se muestra en la figura: de $(0\ \text{min},\ 0\ \text{km})$ a…
La gráfica x-t de una excursión en bicicleta tiene tres tramos rectos, como se muestra en la figura: de $(0\ \text{min},\ 0\ \text{km})$ a $(20\ \text{min},\ 10\ \text{km})$; horizontal desde ahí hasta $t = 30\ \text{min}$; y de $(30\ \text{min},\ 10\ \text{km})$ a $(60\ \text{min},\ 16\ \text{km})$.
- a) Calcule la velocidad de cada tramo, en $\text{km/min}$.
- b) ¿Qué ocurre en el tramo central? ¿Qué cree que hicieron los ciclistas en ese tiempo?
La gráfica v-t de un carro tiene tres tramos, como se muestra en la figura: de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(10\ \text{s},\ 20\ \text{m/s})$; horizontal a…
La gráfica v-t de un carro tiene tres tramos, como se muestra en la figura: de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(10\ \text{s},\ 20\ \text{m/s})$; horizontal a $20\ \text{m/s}$ hasta $t = 30\ \text{s}$; y de $(30\ \text{s},\ 20\ \text{m/s})$ a $(35\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$.
- a) Calcule la aceleración de cada tramo.
- b) Describa con palabras lo que hace el carro durante todo el recorrido.
Un carro espera parado en un semáforo; cuando se pone en verde, arranca ganando velocidad de forma uniforme, circula un rato a velocidad constante y, al final, frena…
Un carro espera parado en un semáforo; cuando se pone en verde, arranca ganando velocidad de forma uniforme, circula un rato a velocidad constante y, al final, frena hasta detenerse. ¿Cuál de estas descripciones de gráficas v-t corresponde al carro? Justifique su elección y explique por qué se descartan las otras:
- a) Una recta horizontal por encima de cero durante todo el tiempo.
- b) Partiendo de cero: una recta que sube, después un tramo horizontal y después una recta que baja hasta cero.
- c) Una recta que baja desde un valor alto hasta cero y se queda en cero.
La gráfica x-t del viaje de un autobús escolar tiene estos tramos rectos, como se muestra en la figura: de $(0\ \text{min},\ 0\ \text{km})$ a…
La gráfica x-t del viaje de un autobús escolar tiene estos tramos rectos, como se muestra en la figura: de $(0\ \text{min},\ 0\ \text{km})$ a $(10\ \text{min},\ 6\ \text{km})$; horizontal hasta $t = 15\ \text{min}$, mientras recoge a unos alumnos; de $(15\ \text{min},\ 6\ \text{km})$ a $(35\ \text{min},\ 16\ \text{km})$; y por último de $(35\ \text{min},\ 16\ \text{km})$ a $(55\ \text{min},\ 0\ \text{km})$.
- a) Calcule la velocidad de cada tramo, en $\text{km/min}$.
- b) ¿Qué significa el último tramo, cuya pendiente es negativa?
- c) ¿En qué tramo va más rápido el autobús? Justifíquelo comparando las pendientes.
Ampliación: curvas y dos móviles en la misma gráfica
Una curva en $x$-$t$ indica que la velocidad cambia: si se va empinando, el móvil acelera; si se va aplanando, frena. Una curva no prueba por sí sola que la aceleración sea constante; en el MRUA, $x$-$t$ es una parábola y $v$-$t$ una recta.
De la recta a su ecuación
Una recta de $x$-$t$ se puede escribir como una ecuación: $x = x_0 + v \cdot t$. La pendiente es la velocidad $v$, y $x_0$ es la posición en $t = 0$, donde la recta corta el eje vertical (la ordenada al origen).
El cruce en la gráfica
La gráfica x-t de un carro que arranca es una curva que empieza poco inclinada y se va empinando cada vez más, como se muestra en la figura. a) Su velocidad, ¿aumenta,…
La gráfica x-t de un carro que arranca es una curva que empieza poco inclinada y se va empinando cada vez más, como se muestra en la figura.
- a) Su velocidad, ¿aumenta, disminuye o se mantiene? Razone la respuesta a partir de cómo cambia la pendiente.
- b) ¿Cómo sería la curva si, en cambio, el carro frenara hasta detenerse? Descríbala con palabras.
En una misma gráfica x-t, la recta de Carla empieza en $(0\ \text{s},\ 30\ \text{m})$ y pasa por $(10\ \text{s},\ 60\ \text{m})$, y la de Dani empieza en…
En una misma gráfica x-t, la recta de Carla empieza en $(0\ \text{s},\ 30\ \text{m})$ y pasa por $(10\ \text{s},\ 60\ \text{m})$, y la de Dani empieza en $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ y pasa por $(10\ \text{s},\ 60\ \text{m})$, como se muestra en la figura.
- a) Calcule la velocidad de cada uno.
- b) ¿Quién salía por delante? ¿Quién corre más rápido?
- c) ¿Se cruzan en algún momento? ¿Dónde se ve eso en la gráfica?
En una gráfica x-t, la recta de un tren pasa por $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ y $(20\ \text{s},\ 400\ \text{m})$, y la de otro tren, que viene de frente, pasa por…
En una gráfica x-t, la recta de un tren pasa por $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ y $(20\ \text{s},\ 400\ \text{m})$, y la de otro tren, que viene de frente, pasa por $(0\ \text{s},\ 800\ \text{m})$ y $(40\ \text{s},\ 0\ \text{m})$, como se muestra en la figura.
- a) Calcule la velocidad de cada tren, con su signo.
- b) Las dos rectas se cortan en un punto: explique qué significa ese punto.
- c) Calcule en qué instante y en qué posición se cruzan los trenes.
En una gráfica x-t, la recta de un ciclista pasa por $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ y $(30\ \text{s},\ 300\ \text{m})$, y la de un peatón, que va en sentido contrario,…
En una gráfica x-t, la recta de un ciclista pasa por $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ y $(30\ \text{s},\ 300\ \text{m})$, y la de un peatón, que va en sentido contrario, por $(0\ \text{s},\ 500\ \text{m})$ y $(50\ \text{s},\ 0\ \text{m})$, como se muestra en la figura.
- a) Calcule la velocidad de cada uno, con su signo.
- b) Escriba la ecuación de la posición de cada uno.
- c) El punto donde las rectas se cortan es el cruce: calcule cuándo y dónde se produce.
- d) Compruebe el resultado sustituyendo en las dos ecuaciones.
Una compañera dibuja la gráfica x-t de un corredor con estos dos tramos, como se muestra en la figura: primero una recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ a…
Una compañera dibuja la gráfica x-t de un corredor con estos dos tramos, como se muestra en la figura: primero una recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ a $(10\ \text{s},\ 40\ \text{m})$ y después una recta que va de $(10\ \text{s},\ 40\ \text{m})$ a $(5\ \text{s},\ 20\ \text{m})$.
- a) Calcule la velocidad del primer tramo.
- b) Explique por qué el segundo tramo es imposible en la realidad: fíjese en cómo avanza el tiempo.
- c) ¿Cómo debería ser un tramo en el que el corredor sí vuelve hacia el punto de partida? Descríbalo y ponga un ejemplo con números.
Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.
En una gráfica x-t, un ciclista aparece como una recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ a $(60\ \text{s},\ 300\ \text{m})$. Una moto sale más tarde y su recta pasa por…
En una gráfica x-t, un ciclista aparece como una recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ a $(60\ \text{s},\ 300\ \text{m})$. Una moto sale más tarde y su recta pasa por $(20\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ y $(40\ \text{s},\ 300\ \text{m})$, como se muestra en la figura.
- a) Calcule la velocidad de cada uno.
- b) Escriba sus ecuaciones de posición (recuerde que la moto parte en $t = 20\ \text{s}$).
- c) ¿En qué instante y en qué posición la moto alcanza al ciclista?
- d) ¿Quién va por delante en $t = 25\ \text{s}$? Justifíquelo con los cálculos.
Ampliación: el área bajo la gráfica v-t
Si un móvil va a $10\ \text{m/s}$ durante $20\ \text{s}$, recorre $10 \times 20 = 200\ \text{m}$. Eso es el área del rectángulo bajo la línea horizontal de la gráfica $v$-$t$.
La gráfica v-t de un tranvía es horizontal a $10\ \text{m/s}$ entre $t = 0\ \text{s}$ y $t = 20\ \text{s}$, y horizontal a $5\ \text{m/s}$ entre $t = 20\ \text{s}$ y…
La gráfica v-t de un tranvía es horizontal a $10\ \text{m/s}$ entre $t = 0\ \text{s}$ y $t = 20\ \text{s}$, y horizontal a $5\ \text{m/s}$ entre $t = 20\ \text{s}$ y $t = 40\ \text{s}$, como se muestra en la figura.
- a) ¿Qué distancia recorre en el primer tramo? ¿Y en el segundo?
- b) ¿Qué distancia total recorre en los $40\ \text{s}$?
- c) ¿Cuál es su velocidad media en todo el trayecto?
La gráfica v-t de un carro tiene estos tramos, como se muestra en la figura: sube en línea recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(5\ \text{s},\ 10\ \text{m/s})$;…
La gráfica v-t de un carro tiene estos tramos, como se muestra en la figura: sube en línea recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(5\ \text{s},\ 10\ \text{m/s})$; se mantiene a $10\ \text{m/s}$ hasta $t = 25\ \text{s}$; y baja en línea recta hasta $(35\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$.
- a) Calcule la aceleración de cada tramo.
- b) Calcule la distancia recorrida en el tramo de velocidad constante.
- c) En los tramos con aceleración, la distancia coincide con el área del triángulo que queda bajo la gráfica. Calcule la distancia del primer y del tercer tramo con esa idea y obtenga la distancia total del recorrido.
Dos carros salen a la vez de un semáforo. La gráfica v-t del carro A sube en línea recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(10\ \text{s},\ 20\ \text{m/s})$. La del…
Dos carros salen a la vez de un semáforo. La gráfica v-t del carro A sube en línea recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(10\ \text{s},\ 20\ \text{m/s})$. La del carro B sube de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(5\ \text{s},\ 20\ \text{m/s})$ y después se mantiene a $20\ \text{m/s}$ hasta $t = 10\ \text{s}$, como se muestra en la figura.
- a) Calcule la aceleración de cada carro durante su arranque.
- b) Calculando las áreas bajo cada gráfica, obtenga la distancia que recorre cada carro en esos $10\ \text{s}$.
- c) ¿Cuál va por delante al llegar a los $10\ \text{s}$? Justifíquelo con los resultados.
La gráfica v-t de un ascensor que sube tiene estos tramos, como se muestra en la figura: de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(2\ \text{s},\ 4\ \text{m/s})$; horizontal…
La gráfica v-t de un ascensor que sube tiene estos tramos, como se muestra en la figura: de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(2\ \text{s},\ 4\ \text{m/s})$; horizontal a $4\ \text{m/s}$ hasta $t = 8\ \text{s}$; y de $(8\ \text{s},\ 4\ \text{m/s})$ a $(10\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$.
- a) Calcule la aceleración de cada tramo.
- b) Calcule la distancia de cada tramo a partir del área bajo la gráfica y la altura total que sube el ascensor.
- c) Describa con palabras cómo sería la gráfica x-t de este ascensor: ¿en qué tramos sería una curva y en cuáles una recta? ¿Cómo cambia su pendiente? Justifíquelo.
La gráfica v-t de una final de $100\ \text{m}$ muestra a dos atletas, como se muestra en la figura: Vera sube en línea recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a…
La gráfica v-t de una final de $100\ \text{m}$ muestra a dos atletas, como se muestra en la figura: Vera sube en línea recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(4\ \text{s},\ 10\ \text{m/s})$ y después mantiene $10\ \text{m/s}$ hasta el final; Hugo sube de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(2\ \text{s},\ 10\ \text{m/s})$ y también mantiene $10\ \text{m/s}$.
- a) Calcule la aceleración de arranque de cada atleta.
- b) Calcule la distancia recorrida por cada uno a los $10\ \text{s}$ (áreas bajo la gráfica).
- c) Si ambos mantienen esa velocidad máxima, ¿quién cruza antes la meta de los $100\ \text{m}$ y en qué instante? Razone todos los cálculos.
Vuelva al principio: el relato de Dania, en una gráfica $v$-$t$, es una línea horizontal (paso constante), un tramo inclinado hacia arriba (acelera) y un tramo inclinado hacia abajo hasta el eje del tiempo (frena hasta detenerse).