Incertitudes de type A et B, chiffres significatifs
En TP à Lille, Léa et Hugo chronomètrent la chute d'une bille. Léa trouve $0{,}62\ \text{s}$, Hugo $0{,}66\ \text{s}$. Qui a raison ? Aucun des deux n'a « tort » : une mesure ne donne jamais LA valeur exacte. Alors, comment annoncer un résultat honnête, et savoir si deux résultats sont compatibles entre eux ou avec la valeur de référence du manuel ? C'est ce que cette page t'apprend.
Une série de mesures : moyenne et dispersion
Quand on répète la même mesure dans les mêmes conditions, on n'obtient pas toujours le même nombre : réflexes de l'opérateur, lecture de l'instrument, petites variations du dispositif. Les valeurs sont dispersées autour d'une valeur centrale.
Léa et Hugo font cinq mesures de la durée de chute : $0{,}62$ ; $0{,}65$ ; $0{,}63$ ; $0{,}64$ ; $0{,}66$ (en s). Placées sur un axe, elles forment un petit nuage. La bande bleue ne montre pas la dispersion des points : elle représente l'incertitude sur la moyenne, $\pm 0{,}008\ \text{s}$, plus étroite que l'étalement des mesures.
On résume la série par deux nombres.
Pourquoi $n-1$ et pas $n$ ? La moyenne est calculée avec les mêmes données : les écarts $x_i - \bar x$ sont un peu trop petits. Diviser par $n-1$ corrige ce biais (c'est la touche $\sigma_{n-1}$ ou « $x\sigma_{n-1}$ » de ta calculatrice).
Une élève mesure cinq fois la durée de dix oscillations d'un pendule : $15,2$ ; $15,4$ ; $15,1$ ; $15,3$ ; $15,5$ (en s). a) Calculer la valeur moyenne. b) Calculer…
Une élève mesure cinq fois la durée de dix oscillations d'un pendule : $15,2$ ; $15,4$ ; $15,1$ ; $15,3$ ; $15,5$ (en s).
- a) Calculer la valeur moyenne.
- b) Calculer l'écart-type expérimental $\sigma_{n-1}$.
Incertitude-type de type A
L'incertitude-type $u(x)$ est un nombre qui traduit le doute sur le résultat : on s'attend à ce que la valeur vraie soit « proche » de $x$, à quelques $u(x)$ près.
Quand on dispose d'une série de mesures répétées, on l'évalue par une méthode statistique : c'est l'évaluation de type A.
Le porquoi : une moyenne est plus fiable qu'une mesure isolée, car les erreurs par excès et par défaut se compensent en partie. Mais le gain est lent : pour diviser $u$ par $2$, il faut quatre fois plus de mesures.
Quand les mêmes valeurs reviennent plusieurs fois (histogramme), on pondère par les effectifs $n_i$ : $\bar x = \dfrac{\sum n_i x_i}{n}$ et $\sigma_{n-1} = \sqrt{\dfrac{\sum n_i (x_i - \bar x)^2}{n-1}}$, avec $n = \sum n_i$.
Pour une série de $n = 10$ mesures, l'écart-type expérimental est $\sigma_{n-1} = 0,30\ \text{s}$. a) Rappeler l'expression de l'incertitude-type de type A. b) Calculer…
Pour une série de $n = 10$ mesures, l'écart-type expérimental est $\sigma_{n-1} = 0,30\ \text{s}$.
- a) Rappeler l'expression de l'incertitude-type de type A.
- b) Calculer cette incertitude.
On réalise $30$ mesures du diamètre d'un fil, regroupées dans un histogramme : $0,24\ \text{mm}$ (4 fois), $0,25\ \text{mm}$ (9 fois), $0,26\ \text{mm}$ (11 fois),…
On réalise $30$ mesures du diamètre d'un fil, regroupées dans un histogramme : $0,24\ \text{mm}$ (4 fois), $0,25\ \text{mm}$ (9 fois), $0,26\ \text{mm}$ (11 fois), $0,27\ \text{mm}$ (6 fois).
- a) Calculer la moyenne et l'écart-type expérimental.
- b) Calculer l'incertitude-type de type A.
- c) Donner le résultat sous la forme $d = \bar d \pm u(d)$ avec un chiffre significatif sur l'incertitude et justifier l'arrondi.
Incertitude-type de type B
Parfois on ne fait qu'une seule mesure : une pesée, une lecture sur une éprouvette. On ne peut plus faire de statistique. On évalue alors l'incertitude à partir des caractéristiques de l'instrument (graduation, notice du constructeur, résolution de l'afficheur) : c'est le type B.
On estime que la valeur vraie se trouve dans un intervalle $[x - \Delta\,;\,x + \Delta]$ autour de la lecture, sans privilégier aucune valeur (loi uniforme).
Pour une lecture sur une graduation, on prend en général $\Delta$ égal à une demi-graduation (ou une graduation entière si la lecture est difficile).
Une burette graduée en $0,1\ \text{mL}$ est lue avec une incertitude de lecture estimée à une demi-graduation. On suppose une loi uniforme et on prend…
Une burette graduée en $0,1\ \text{mL}$ est lue avec une incertitude de lecture estimée à une demi-graduation. On suppose une loi uniforme et on prend $u = \Delta/\sqrt3$ avec $\Delta$ demi-étendue.
- a) Calculer l'incertitude-type de type B sur une lecture.
- b) Calculer l'incertitude-type sur un volume équivalent obtenu par différence de deux lectures.
Chiffres significatifs et écriture du résultat
Un résultat ne doit pas afficher plus de précision que la mesure n'en a. Écrire $12{,}3472\ \text{g}$ quand on connaît la masse à $0{,}02\ \text{g}$ près est trompeur : les derniers chiffres n'ont aucun sens.
L'incertitude relative $\dfrac{u(x)}{x}$ (souvent en %) permet de juger la qualité d'une mesure indépendamment de l'unité.
Un résultat de mesure est $m = 12,3472\ \text{g}$ avec $u(m) = 0,02\ \text{g}$. a) Écrire correctement le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs. b)…
Un résultat de mesure est $m = 12,3472\ \text{g}$ avec $u(m) = 0,02\ \text{g}$.
- a) Écrire correctement le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs.
- b) Calculer l'incertitude relative.
Incertitude sur une grandeur calculée
Souvent, on ne mesure pas directement la grandeur voulue : on calcule $R = U/I$ ou $g = 4\pi^2\ell/T^2$. Les incertitudes des grandeurs mesurées se propagent dans le calcul.
Le porquoi : chaque grandeur apporte son erreur relative, et comme elles sont indépendantes, elles ne s'ajoutent pas toutes dans le même sens, d'où la somme en quadrature (plus petite qu'une somme simple).
On mesure la tension aux bornes d'une résistance : $U = 5,02\ \text{V}$ avec $u(U)=0,03\ \text{V}$ et $I = 0,250\ \text{A}$ avec $u(I)=0,004\ \text{A}$. a) Calculer…
On mesure la tension aux bornes d'une résistance : $U = 5,02\ \text{V}$ avec $u(U)=0,03\ \text{V}$ et $I = 0,250\ \text{A}$ avec $u(I)=0,004\ \text{A}$.
- a) Calculer $R = U/I$.
- b) Calculer son incertitude-type par $u(R)/R = \sqrt{(u(U)/U)^2 + (u(I)/I)^2}$.
- c) Donner le résultat final avec le bon nombre de chiffres significatifs.
Pour mesurer l'accélération de la pesanteur à Strasbourg, on mesure la période $T = 1,42\ \text{s}$ d'un pendule de longueur $\ell = 0,500\ \text{m}$ via…
Pour mesurer l'accélération de la pesanteur à Strasbourg, on mesure la période $T = 1,42\ \text{s}$ d'un pendule de longueur $\ell = 0,500\ \text{m}$ via $g = 4\pi^2\ell/T^2$. On donne $u(T) = 0,01\ \text{s}$ et $u(\ell) = 0,002\ \text{m}$. Pour une loi de produits-quotients, $u(g)/g = \sqrt{(u(\ell)/\ell)^2 + (2\,u(T)/T)^2}$.
- a) Calculer $g$.
- b) Calculer $u(g)$.
- c) Comparer avec $g_{ref} = 9,81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ en justifiant.
Comparer à une valeur de référence
Une mesure est-elle « bonne » ? On la compare à une valeur de référence (tableau de données, valeur tabulée) en regardant l'écart par rapport à l'incertitude. En première, cette comparaison reste qualitative : on regarde si la valeur de référence se trouve proche de l'intervalle $x \pm u(x)$.
Pour comparer deux mesures $x_1$ et $x_2$ entre elles, on utilise l'écart normalisé :
$$E_N = \frac{|x_1 - x_2|}{\sqrt{u(x_1)^2 + u(x_2)^2}}$$Avec le même critère : $EN < 2$ donne des mesures compatibles.
Pour réduire l'incertitude, on peut : augmenter le nombre de mesures (type A), choisir un instrument plus précis (type B), mesurer une plus grande quantité (une longueur plus grande réduit l'incertitude relative), ou soigner le protocole.
Retour au début : Léa ($0{,}62\ \text{s}$) et Hugo ($0{,}66\ \text{s}$) ont chacun une mesure de la série de cinq, et le résultat commun est $t = 0{,}640 \pm 0{,}008\ \text{s}$. L'incertitude $u(\bar t)$ concerne la moyenne, pas chaque mesure. Les écarts de Léa ($-0{,}02\ \text{s}$) et de Hugo ($+0{,}02\ \text{s}$) sont comparables à $\sigma_{n-1} \approx 0{,}016\ \text{s}$, pas à $u(\bar t)$ : ils sont normaux. Personne n'avait tort.
Une série de mesures de la célérité du son à Lyon donne la moyenne $\bar v = 338\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, avec $u(v) = 4\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. La valeur de…
Une série de mesures de la célérité du son à Lyon donne la moyenne $\bar v = 338\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, avec $u(v) = 4\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. La valeur de référence est $v_{ref} = 343\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.
- a) Calculer le rapport $|\bar v - v_{ref}|/u(v)$.
- b) Comparer à la valeur de référence en précisant si la mesure est compatible (critère : rapport inférieur à $2$).
Deux groupes mesurent la concentration d'une solution par titrage. Groupe 1 : $c_1 = 0,102\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$,…
Deux groupes mesurent la concentration d'une solution par titrage. Groupe 1 : $c_1 = 0,102\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$, $u(c_1) = 0,002\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$. Groupe 2 : $c_2 = 0,108\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$, $u(c_2) = 0,003\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$.
- a) Calculer l'écart normalisé $E_N = |c_1 - c_2|/\sqrt{u(c_1)^2+u(c_2)^2}$.
- b) Conclure sur la compatibilité des deux mesures.
- c) Proposer deux actions pour réduire l'incertitude sur la valeur finale.
L'essentiel
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Une mesure est entachée d'incertitude. Pour une série : $\bar x$ et $\sigma_{n-1}$.
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Type A (série de mesures) : $u(\bar x) = \sigma_{n-1}/\sqrt n$.
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Type B (mesure unique, instrument) : $u = \Delta/\sqrt 3$. Pour somme et différence : $\sqrt{u_1^2 + u_2^2}$.
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Produit ou quotient : on compose les incertitudes relatives en quadrature.
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Écriture : $u$ arrondie par excès à 1 chiffre significatif, valeur à la même décimale, avec l'unité.
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Compatibilité : $|x - x_{\text{ref}}|/u(x) < 2$ ; entre deux mesures, $E_N < 2$.