Conservation de l'énergie mécanique

Une balançoire oscille librement après une impulsion initiale, comme le montre la figure.

1. a) En quels points du parcours son énergie potentielle est-elle maximale ? Et son énergie cinétique ?
2. b) Décrire la transformation d'énergie qui se produit lors de la descente depuis une extrémité jusqu'au point le plus bas.
3. c) Si personne ne la pousse de nouveau, l'amplitude diminue peu à peu : quelles forces en sont responsables et que devient l'énergie mécanique ?

Vous lancez verticalement vers le haut une balle de $0,5\ \text{kg}$ avec une vitesse de $10\ \text{m/s}$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$ et négliger les frottements), comme le montre la figure.

1. a) Quelle énergie cinétique possède-t-elle en quittant votre main ?
2. b) Écrire la conservation de l'énergie mécanique entre le point de lancer et le point le plus haut (où la vitesse est nulle) et calculer la hauteur maximale atteinte.

Un skieur descend une piste, sans se propulser, d'un sommet jusqu'à la base (négliger les frottements), comme le montre la figure.

1. a) En quel point de la descente sa vitesse est-elle maximale ? Où son énergie potentielle est-elle maximale ?
2. b) Son énergie mécanique change-t-elle pendant la descente ?
3. c) Si une autre piste, de profil totalement différent, reliait le même sommet à la même base, arriverait-il en bas avec une vitesse plus grande, plus petite ou égale ? Justifier avec la conservation de l'énergie.

Une pierre de $2\ \text{kg}$ tombe du haut d'une falaise de $20\ \text{m}$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$ et négliger les frottements de l'air). La situation est représentée sur la figure.

1. a) Quelle énergie potentielle possède-t-elle au début de la chute ?
2. b) Si l'énergie mécanique se conserve, quelle énergie cinétique aura-t-elle en arrivant en bas ?
3. c) Avec quelle vitesse arrivera-t-elle ?

Un wagon de montagnes russes passe au sommet le plus haut du parcours, à $40\ \text{m}$, avec une vitesse de $5\ \text{m/s}$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$ et négliger les frottements). La situation est représentée sur la figure.

1. a) Calculer son énergie mécanique par kilogramme de masse.
2. b) Avec quelle vitesse passera-t-il en un point situé à $10\ \text{m}$ de hauteur ?
3. c) Faut-il connaître la masse du wagon pour répondre ? Justifier à partir de l'équation de conservation.

En laboratoire, la bille de $0,1\ \text{kg}$ d'un pendule est lâchée sans vitesse initiale d'une position $45\ \text{cm}$ plus haute que le point le plus bas de son oscillation (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$ et négliger les frottements), comme le montre la figure.

1. a) Calculer son énergie potentielle initiale par rapport au point le plus bas.
2. b) Écrire la conservation de l'énergie et calculer la vitesse avec laquelle elle passe au point le plus bas.
3. c) Quelle hauteur atteindra-t-elle de l'autre côté de l'oscillation ? Justifier sans refaire de calcul.

Un wagon de montagnes russes part sans vitesse initiale d'un sommet de $45\ \text{m}$ de hauteur, descend dans une vallée située à $25\ \text{m}$, puis aborde un second sommet de $40\ \text{m}$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$ et négliger les frottements). Le profil du parcours est représenté sur la figure.

1. a) Avec quelle vitesse passe-t-il dans la vallée ?
2. b) Avec quelle vitesse passe-t-il au second sommet ?
3. c) S'il y avait un troisième sommet de $50\ \text{m}$, parviendrait-il à le franchir ? Justifier avec les énergies et indiquer de quelle hauteur minimale il devrait partir pour y parvenir (à la limite, en arrivant avec une vitesse nulle).
4. d) Sachant qu'en réalité il y a toujours des frottements, justifier si la hauteur de départ devrait être plus grande ou plus petite que celle calculée à la question précédente.

Un bâton sauteur (pogo stick) possède un ressort qui se comprime à l'atterrissage et se détend au décollage.

1. a) Décrire la chaîne de transformations d'énergie au cours d'un saut complet, depuis le moment où le ressort est comprimé au maximum jusqu'à ce que le sauteur atteigne la hauteur maximale.
2. b) L'énergie mécanique se conserve-t-elle pendant que le ressort pousse ? Et pendant le vol ? Justifier les deux réponses.

Un ressort de $k = 200\ \text{N/m}$, comprimé de $0,1\ \text{m}$, pousse sur une table horizontale sans frottements un bloc de $0,5\ \text{kg}$ initialement au repos. Le schéma est représenté sur la figure.

1. a) Quelle énergie potentielle élastique possède le ressort comprimé ?
2. b) Écrire la conservation de l'énergie entre le ressort comprimé et le bloc déjà séparé du ressort, et calculer la vitesse avec laquelle il est projeté.
3. c) Expliquer quelles forces s'exercent sur le bloc à chaque instant et pourquoi l'énergie mécanique se conserve.

Un ressort de $k = 500\ \text{N/m}$, comprimé de $0,2\ \text{m}$, lance un bloc de $1\ \text{kg}$ sur un sol horizontal dont le coefficient de frottement est $\mu = 0,25$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$). Le bloc parcourt une certaine distance et s'arrête.

1. a) Calculer l'énergie potentielle élastique initiale du ressort.
2. b) Calculer la force de frottement qui s'exerce sur le bloc une fois qu'il est en mouvement.
3. c) Justifier pourquoi toute l'énergie élastique finit par être dissipée et calculer la distance parcourue par le bloc avant de s'arrêter.
4. d) Si le ressort était comprimé de $0,4\ \text{m}$ (le double), quelle distance le bloc parcourrait-il ? Commenter la relation observée.

Une masse de $1\ \text{kg}$ est suspendue à un ressort vertical de $k = 100\ \text{N/m}$. Elle est lâchée sans vitesse initiale au point où le ressort n'est pas déformé et tombe en l'étirant (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$ et négliger les frottements). Le schéma est représenté sur la figure.

1. a) Expliquer pourquoi, aussi bien au moment du lâcher qu'au point le plus bas de la chute, son énergie cinétique est nulle, et écrire la conservation de l'énergie entre ces deux points : $m \cdot g \cdot x = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$, où $x$ est l'allongement maximal.
2. b) Calculer l'allongement maximal $x$.
3. c) La position d'équilibre statique (où la masse suspendue resterait au repos) vérifie $k \cdot x_e = m \cdot g$ : la calculer et comparer avec $x$. Expliquer le facteur $2$ qui apparaît : où se trouve l'« énergie en trop » lorsque la masse passe par la position d'équilibre ?

Un colis de $2\ \text{kg}$ glisse le long d'une rampe métallique depuis $5\ \text{m}$ de hauteur et arrive en bas avec une vitesse de $8\ \text{m/s}$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$). Le schéma est représenté sur la figure.

1. a) Quelle énergie potentielle possédait-il en haut ?
2. b) Quelle énergie cinétique possède-t-il en arrivant en bas ?
3. c) L'énergie mécanique s'est-elle conservée ? Calculer l'énergie dissipée, qui coïncide en valeur absolue avec le travail de la force de frottement, $W_{\text{frott}} = \Delta E_m$.
4. d) Si la rampe mesure $10\ \text{m}$, calculer la force de frottement moyenne qui s'est exercée sur le colis.

Une caisse de $4\ \text{kg}$ glisse sur un sol horizontal avec une vitesse initiale de $6\ \text{m/s}$ et s'arrête à cause des frottements. Le coefficient de frottement est $\mu = 0,3$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Quelle énergie cinétique possédait-elle au début du glissement ?
2. b) Calculer la force de frottement, $F_{frott} = \mu \cdot m \cdot g$.
3. c) Le travail des frottements consomme toute l'énergie cinétique : calculer la distance parcourue avant l'arrêt.

Une balle de $0,1\ \text{kg}$ est lâchée d'une hauteur de $2\ \text{m}$ et, après avoir rebondi sur le sol, ne remonte que jusqu'à $1,5\ \text{m}$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$), comme le montre la figure.

1. a) Calculer son énergie potentielle avant la chute et au point le plus haut après le rebond.
2. b) Quelle quantité d'énergie a-t-elle perdue lors du rebond ? Quel pourcentage de l'énergie initiale cela représente-t-il ?
3. c) En quoi cette énergie s'est-elle transformée ?
4. d) Si la balle continuait à rebondir de la même façon, que se passerait-il à la longue pour son énergie mécanique ?

La bille de $0,2\ \text{kg}$ d'un pendule passe par le point le plus bas avec une vitesse de $4\ \text{m/s}$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Quelle énergie cinétique possède-t-elle en ce point ?
2. b) En l'absence de frottements, quelle hauteur maximale atteindrait-elle de l'autre côté ?
3. c) En réalité, elle ne monte que de $0,6\ \text{m}$ : calculer l'énergie dissipée au cours de cette demi-oscillation, $W_{\text{frott}} = \Delta E_m$.
4. d) Expliquer, à partir de ces valeurs, pourquoi le pendule finira par s'arrêter et en quoi son énergie s'est convertie.

Une voiture de $1200\ \text{kg}$ freine jusqu'à l'arrêt sur une chaussée sèche, avec un coefficient de frottement $\mu = 0,6$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calculer la force de frottement pendant le freinage.
2. b) Si elle roulait à $30\ \text{m/s}$, calculer son énergie cinétique et la distance de freinage (le travail des frottements consomme toute l'énergie cinétique).
3. c) Refaire le calcul pour une vitesse initiale de $15\ \text{m/s}$.
4. d) Quelle relation y a-t-il entre les deux distances de freinage ? Expliquer quelle conséquence ce résultat a pour les limitations de vitesse en ville.

Un bloc de $2\ \text{kg}$ glisse sans vitesse initiale le long d'un plan incliné de $3\ \text{m}$ de hauteur. L'angle du plan vérifie $\sin \theta = 0,6$ et $\cos \theta = 0,8$, et le coefficient de frottement est $\mu = 0,3$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$). Le schéma est représenté sur la figure.

1. a) Calculer la longueur du plan parcourue par le bloc et la réaction normale du support sur lui, $N = m \cdot g \cdot \cos \theta$.
2. b) Calculer la force de frottement et son travail, $W_{frott} = -F_{frott} \cdot L$.
3. c) Appliquer $W_{frott} = \Delta E_m$ pour calculer l'énergie cinétique du bloc en arrivant en bas et sa vitesse.
4. d) Quel pourcentage de l'énergie potentielle initiale a été dissipé par les frottements ?

Une personne et son équipement, $80\ \text{kg}$ au total, se lancent sur une tyrolienne de $100\ \text{m}$ de câble qui franchit un dénivelé de $45\ \text{m}$. Les frottements moyens (poulie, air) sont de $200\ \text{N}$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$). Le schéma est représenté sur la figure.

1. a) Quelle énergie potentielle possède-t-elle au début du parcours ?
2. b) Calculer le travail des frottements pendant toute la descente, $W_{frott} = -F_{frott} \cdot d$.
3. c) Calculer l'énergie cinétique et la vitesse avec laquelle elle arrive à la fin du câble.
4. d) Avec quelle vitesse arriverait-elle en l'absence de frottements ? Commenter le résultat et expliquer pourquoi les tyroliennes nécessitent un système de freinage à l'arrivée.

Indiquer dans lesquelles de ces situations l'énergie mécanique se conserve et dans lesquelles elle ne se conserve pas, en justifiant en une phrase dans chaque cas :

1. a) Un satellite en orbite circulaire autour de la Terre.
2. b) Une voiture qui freine brusquement jusqu'à l'arrêt.
3. c) Une pomme qui se détache de la branche et tombe (négliger les frottements).
4. d) Un ascenseur qui monte à vitesse constante.

Dans toutes les montagnes russes, le premier sommet du parcours est le plus haut de tout le circuit. Observer le schéma :

Expliquer, à l'aide de la conservation de l'énergie mécanique, pourquoi aucun sommet suivant ne peut dépasser la hauteur du premier si le wagon en part presque sans vitesse initiale, et quel rôle jouent les frottements dans cette conclusion.

Expliquer avec vos propres mots ce qu'est une force conservative, en prenant comme exemples le poids et la force de rappel élastique d'un ressort, et ce qu'il advient de l'énergie mécanique d'un système lorsque seules des forces de ce type agissent. Donner ensuite un exemple de force non conservative, indiquer le signe du travail qu'elle effectue sur un corps en mouvement et expliquer son effet sur l'énergie mécanique du corps.

Un chariot de laboratoire entre à la base d'une piste courbe avec une vitesse de $4\ \text{m/s}$ et monte le long de celle-ci sans se propulser (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$ et négliger les frottements).

1. a) Quelle hauteur maximale atteint-il ?
2. b) S'il entrait à une vitesse double, $8\ \text{m/s}$, monterait-il deux fois plus haut ? Le calculer et commenter le résultat.
3. c) Écrire la relation de proportionnalité entre la hauteur atteinte et la vitesse d'entrée.

Un colis de $2\ \text{kg}$ se détache d'un drone de livraison immobile à $45\ \text{m}$ de hauteur (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$ et négliger les frottements de l'air).

1. a) Quelle est son énergie mécanique au début de la chute ?
2. b) Lorsqu'il passe à $25\ \text{m}$ de hauteur, quelle énergie potentielle et quelle énergie cinétique possède-t-il ? Avec quelle vitesse passe-t-il en ce point ?
3. c) Avec quelle vitesse arrive-t-il au sol ?
4. d) Les vitesses calculées dépendent-elles de la masse du colis ? Justifier à partir de l'équation de conservation.

Un wagon de montagnes russes part sans vitesse initiale d'un sommet de $45\ \text{m}$ et aborde une boucle (looping) de $12,5\ \text{m}$ de rayon, dont le point le plus haut se trouve donc à $25\ \text{m}$ du sol (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$ et négliger les frottements). Le schéma est représenté sur la figure.

1. a) Avec quelle vitesse passe-t-il au point le plus bas du circuit ?
2. b) Avec quelle vitesse passe-t-il au point le plus haut de la boucle ?
3. c) Pour des raisons de sécurité, la vitesse au point le plus haut de la boucle doit être au moins de $15\ \text{m/s}$ (donnée). Le wagon la dépasse-t-il ? Calculer de quelle hauteur minimale le wagon pourrait partir pour satisfaire tout juste cette exigence.
4. d) Justifier pourquoi, dans la conception réelle, le sommet de départ est nettement au-dessus de cette hauteur minimale théorique.

Défi du thème. Quelle quantité d'énergie mécanique est dissipée lors d'un rebond ? Étudier expérimentalement la dégradation de l'énergie chez vous.

1. Recueil des données : Peser une balle sur une balance de cuisine ($\pm 1\text{ g}$) et la lâcher verticalement de quatre hauteurs ($h_1$ : $0,40$ ; $0,60$ ; $0,80$ ; $1,00\text{ m}$). Avec un mètre ruban ($\pm 0,005\text{ m}$), mesurer la hauteur maximale du rebond ($h_2$). Filmer devant un mur de référence et répéter $3$ fois par hauteur pour calculer la moyenne et son incertitude.

2. Traitement des données : Élaborer un tableau avec l'énergie potentielle initiale ($E_{p1} = m \cdot g \cdot h_1$), la finale ($E_{p2} = m \cdot g \cdot h_2$, en prenant $g = 9,8\text{ m/s}^2$) et le travail dissipé par les forces non conservatives ($W_{nc} = \Delta E_m$). Représenter graphiquement $E_{p2}$ en fonction de $E_{p1}$ et ajuster la droite.

3. Compte rendu de conclusions : Rédiger un bref compte rendu justifiant la transformation d'énergie potentielle en énergie cinétique, le rôle de la déformation inélastique pendant le choc et le pourcentage moyen d'énergie dégradée en son et en chaleur.

Seront évalués :

• La rigueur métrologique dans la prise de mesures à la maison et le traitement des incertitudes.

• L'exactitude du tableau et du nuage de points avec sa droite de tendance.

• La qualité de la justification théorique sur la conservation de l'énergie mécanique et le calcul de $W_{nc}$.