Exercices: Incertitudes de type A et B, chiffres significatifs

Une élève mesure cinq fois la durée de dix oscillations d'un pendule : $15,2$ ; $15,4$ ; $15,1$ ; $15,3$ ; $15,5$ (en s).

1. a) Calculer la valeur moyenne.
2. b) Calculer l'écart-type expérimental $\sigma_{n-1}$.

Pour une série de $n = 10$ mesures, l'écart-type expérimental est $\sigma_{n-1} = 0,30\ \text{s}$.

1. a) Rappeler l'expression de l'incertitude-type de type A.
2. b) Calculer cette incertitude.

Un résultat de mesure est $m = 12,3472\ \text{g}$ avec $u(m) = 0,02\ \text{g}$.

1. a) Écrire correctement le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs.
2. b) Calculer l'incertitude relative.

Une burette graduée en $0,1\ \text{mL}$ est lue avec une incertitude de lecture estimée à une demi-graduation. On suppose une loi uniforme et on prend $u = \Delta/\sqrt3$ avec $\Delta$ demi-étendue.

1. a) Calculer l'incertitude-type de type B sur une lecture.
2. b) Calculer l'incertitude-type sur un volume équivalent obtenu par différence de deux lectures.

On mesure la tension aux bornes d'une résistance : $U = 5,02\ \text{V}$ avec $u(U)=0,03\ \text{V}$ et $I = 0,250\ \text{A}$ avec $u(I)=0,004\ \text{A}$.

1. a) Calculer $R = U/I$.
2. b) Calculer son incertitude-type par $u(R)/R = \sqrt{(u(U)/U)^2 + (u(I)/I)^2}$.
3. c) Donner le résultat final avec le bon nombre de chiffres significatifs.

Une série de mesures de la célérité du son à Lyon donne la moyenne $\bar v = 338\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, avec $u(v) = 4\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. La valeur de référence est $v_{ref} = 343\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

1. a) Calculer le rapport $|\bar v - v_{ref}|/u(v)$.
2. b) Comparer à la valeur de référence en précisant si la mesure est compatible (critère : rapport inférieur à $2$).

Pour mesurer l'accélération de la pesanteur à Strasbourg, on mesure la période $T = 1,42\ \text{s}$ d'un pendule de longueur $\ell = 0,500\ \text{m}$ via $g = 4\pi^2\ell/T^2$. On donne $u(T) = 0,01\ \text{s}$ et $u(\ell) = 0,002\ \text{m}$. Pour une loi de produits-quotients, $u(g)/g = \sqrt{(u(\ell)/\ell)^2 + (2\,u(T)/T)^2}$.

1. a) Calculer $g$.
2. b) Calculer $u(g)$.
3. c) Comparer avec $g_{ref} = 9,81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ en justifiant.

Deux groupes mesurent la concentration d'une solution par titrage. Groupe 1 : $c_1 = 0,102\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$, $u(c_1) = 0,002\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$. Groupe 2 : $c_2 = 0,108\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$, $u(c_2) = 0,003\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$.

1. a) Calculer l'écart normalisé $E_N = |c_1 - c_2|/\sqrt{u(c_1)^2+u(c_2)^2}$.
2. b) Conclure sur la compatibilité des deux mesures.
3. c) Proposer deux actions pour réduire l'incertitude sur la valeur finale.

On réalise $30$ mesures du diamètre d'un fil, regroupées dans un histogramme : $0,24\ \text{mm}$ (4 fois), $0,25\ \text{mm}$ (9 fois), $0,26\ \text{mm}$ (11 fois), $0,27\ \text{mm}$ (6 fois).

1. a) Calculer la moyenne et l'écart-type expérimental.
2. b) Calculer l'incertitude-type de type A.
3. c) Donner le résultat sous la forme $d = \bar d \pm u(d)$ avec un chiffre significatif sur l'incertitude et justifier l'arrondi.