Tableau d'avancement, avancement maximal et mélange stœchiométrique · Physique-chimie Première (sans spé maths)

Le tableau d'avancement

Pendant une transformation chimique, les réactifs disparaissent et les produits apparaissent, mais pas n'importe comment : les quantités évoluent dans les proportions imposées par l'équation de réaction ajustée.

Prenons $2\,\mathrm{H_2(g)} + \mathrm{O_2(g)} \rightarrow 2\,\mathrm{H_2O(g)}$. Chaque fois que 1 mol de $\mathrm{O_2}$ disparaît, 2 mol de $\mathrm{H_2}$ disparaissent et 2 mol de $\mathrm{H_2O}$ apparaissent. On range ces variations dans un seul nombre, l'avancement.

Le tableau d'avancement range ces expressions : une ligne pour l'état initial, une pour l'état en cours, une pour l'état final.

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On considère la réaction de combustion du dihydrogène : $2\,\mathrm{H_2(g)} + \mathrm{O_2(g)} \rightarrow 2\,\mathrm{H_2O(g)}$. On part de…

On considère la réaction de combustion du dihydrogène : $2\,\mathrm{H_2(g)} + \mathrm{O_2(g)} \rightarrow 2\,\mathrm{H_2O(g)}$. On part de $n_i(\mathrm{H_2}) = 4,0\ \text{mol}$ et $n_i(\mathrm{O_2}) = 3,0\ \text{mol}$.

a) Construire le tableau d'avancement de la transformation.
b) Déterminer l'avancement maximal $x_{max}$ et le réactif limitant.

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Avancement maximal et réactif limitant

Une transformation s'arrête quand un réactif est totalement consommé. Pour chaque réactif, on cherche la valeur de $x$ qui annulerait sa quantité de matière :

$$n_i(\mathrm{A}) - a\,x = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{n_i(\mathrm{A})}{a}$$

Pourquoi la plus petite ? Dès que $x$ atteint cette valeur, un réactif est épuisé et la réaction ne peut plus continuer.

Quand les réactifs sont donnés en masse, en volume de solution ou de gaz, on commence par les convertir en quantités de matière : $n = \dfrac{m}{M}$, $n = c \cdot V$, $n = \dfrac{V}{V_m}$.

Réactifs donnés en masse et en solution

$m = 1{,}35\ \mathrm{g}$ d'aluminium et $V = 50{,}0\ \mathrm{mL}$ d'acide chlorhydrique à $c = 2{,}0\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ : $2\,\mathrm{Al(s)} + 6\,\mathrm{H^+(aq)} \rightarrow 2\,\mathrm{Al^{3+}(aq)} + 3\,\mathrm{H_2(g)}$, avec $M(\mathrm{Al}) = 27{,}0\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$.

Quantités initiales : $n_i(\mathrm{Al}) = \dfrac{1{,}35}{27{,}0} = 0{,}050\ \mathrm{mol}$ et $n_i(\mathrm{H^+}) = 2{,}0 \times 50{,}0 \times 10^{-3} = 0{,}10\ \mathrm{mol}$.

Candidats : $\dfrac{0{,}050}{2} = 0{,}025\ \mathrm{mol}$ pour Al et $\dfrac{0{,}10}{6} = 0{,}017\ \mathrm{mol}$ pour $\mathrm{H^+}$.

$x_{max} = 0{,}017\ \mathrm{mol}$ : $\mathrm{H^+}$ est le réactif limitant.

Calcule la quantité de $\mathrm{H_2}$ formée puis son volume avec $V_m = 24{,}0\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}$.

$n(\mathrm{H_2}) = 3\,x_{max} = 0{,}050\ \mathrm{mol}$, donc $V = 0{,}050 \times 24{,}0 = 1{,}2\ \mathrm{L}$.

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L'équation de la réaction entre le fer et le dioxygène s'écrit : $4\,\mathrm{Fe(s)} + 3\,\mathrm{O_2(g)} \rightarrow 2\,\mathrm{Fe_2O_3(s)}$. On fait réagir…

L'équation de la réaction entre le fer et le dioxygène s'écrit : $4\,\mathrm{Fe(s)} + 3\,\mathrm{O_2(g)} \rightarrow 2\,\mathrm{Fe_2O_3(s)}$. On fait réagir $0,20\ \text{mol}$ de fer avec $0,18\ \text{mol}$ de dioxygène.

a) Calculer l'avancement maximal.
b) Déterminer la composition du système à l'état final.

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Dans un bécher, on introduit $m = 1,35\ \text{g}$ d'aluminium et $V = 50,0\ \text{mL}$ d'une solution d'acide chlorhydrique de concentration…

Dans un bécher, on introduit $m = 1,35\ \text{g}$ d'aluminium et $V = 50,0\ \text{mL}$ d'une solution d'acide chlorhydrique de concentration $c = 2,0\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$. La réaction a pour équation : $2\,\mathrm{Al(s)} + 6\,\mathrm{H^+(aq)} \rightarrow 2\,\mathrm{Al^{3+}(aq)} + 3\,\mathrm{H_2(g)}$.

Donnée : $M(\mathrm{Al}) = 27,0\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$.

a) Calculer les quantités de matière initiales des réactifs.
b) Déterminer le réactif limitant et l'avancement maximal.
c) Calculer le volume de dihydrogène formé, sachant que $V_m = 24,0\ \text{L}\cdot\text{mol}^{-1}$.

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Mélange stœchiométrique

Que se passe-t-il quand les deux valeurs $n_i(\mathrm{A})/a$ et $n_i(\mathrm{B})/b$ sont égales ? Les deux réactifs sont épuisés en même temps : il n'y a pas d'excès.

Exemple : $0{,}30\ \mathrm{mol}$ de $\mathrm{N_2}$ et $0{,}90\ \mathrm{mol}$ de $\mathrm{H_2}$ pour $\mathrm{N_2} + 3\,\mathrm{H_2} \rightarrow 2\,\mathrm{NH_3}$. On trouve $0{,}30/1 = 0{,}30$ et $0{,}90/3 = 0{,}30$ : c'est stœchiométrique, $x_{max} = 0{,}30\ \mathrm{mol}$ et $n(\mathrm{NH_3}) = 2 \times 0{,}30 = 0{,}60\ \mathrm{mol}$.

Réaliser un mélange stœchiométrique

On met $20{,}0\ \mathrm{mL}$ de nitrate d'argent à $0{,}10\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ avec une solution de chlorure de sodium à $0{,}25\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ : $\mathrm{Ag^+(aq)} + \mathrm{Cl^-(aq)} \rightarrow \mathrm{AgCl(s)}$. Quel volume $V$ de chlorure de sodium faut-il ?

$n_i(\mathrm{Ag^+}) = 0{,}10 \times 20{,}0 \times 10^{-3} = 2{,}0 \times 10^{-3}\ \mathrm{mol}$.

Les coefficients valent 1 : stœchiométrique veut dire $n_i(\mathrm{Cl^-}) = n_i(\mathrm{Ag^+})$, soit $0{,}25 \times V = 2{,}0 \times 10^{-3}$ et $V = 8{,}0 \times 10^{-3}\ \mathrm{L} = 8{,}0\ \mathrm{mL}$.

Calcule la masse de précipité, avec $M(\mathrm{AgCl}) = 143{,}3\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$.

$x_{max} = 2{,}0 \times 10^{-3}\ \mathrm{mol}$, donc $m = 2{,}0 \times 10^{-3} \times 143{,}3 = 0{,}29\ \mathrm{g}$.

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Un mélange initial contient $n_1 = 0,30\ \text{mol}$ de $\mathrm{N_2}$ et $n_2 = 0,90\ \text{mol}$ de $\mathrm{H_2}$. La réaction a pour équation…

Un mélange initial contient $n_1 = 0,30\ \text{mol}$ de $\mathrm{N_2}$ et $n_2 = 0,90\ \text{mol}$ de $\mathrm{H_2}$. La réaction a pour équation $\mathrm{N_2(g)} + 3\,\mathrm{H_2(g)} \rightarrow 2\,\mathrm{NH_3(g)}$.

a) Montrer que le mélange est stœchiométrique.
b) Calculer la quantité de matière d'ammoniac formé si la transformation est totale.

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Un élève mélange $20,0\ \text{mL}$ de solution de nitrate d'argent à $0,10\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$ et $V$ mL de solution de chlorure de sodium à…

Un élève mélange $20,0\ \text{mL}$ de solution de nitrate d'argent à $0,10\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$ et $V$ mL de solution de chlorure de sodium à $0,25\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$. Il se forme un précipité de chlorure d'argent : $\mathrm{Ag^+(aq)} + \mathrm{Cl^-(aq)} \rightarrow \mathrm{AgCl(s)}$.

a) Calculer le volume $V$ pour que le mélange soit stœchiométrique.
b) Calculer la masse de précipité obtenue dans ce cas, avec $M(\mathrm{AgCl}) = 143,3\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$.

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Transformation totale ou non totale

Jusqu'ici, on a supposé que la réaction s'arrête quand le réactif limitant a disparu. Ce n'est pas toujours le cas : parfois la transformation s'arrête avant. On compare alors l'avancement final $x_f$, déduit d'une mesure, à $x_{max}$.

Un cas non total : l'estérification

On mélange $0{,}100\ \mathrm{mol}$ d'acide éthanoïque et $0{,}100\ \mathrm{mol}$ d'éthanol. Équation : $\mathrm{CH_3COOH} + \mathrm{C_2H_5OH} \rightarrow \mathrm{CH_3COOC_2H_5} + \mathrm{H_2O}$. À la fin, il reste $0{,}033\ \mathrm{mol}$ d'acide.

Les coefficients valent 1 et les quantités sont égales : mélange stœchiométrique, donc $x_{max} = 0{,}100\ \mathrm{mol}$.

D'après le tableau, $n_f(\mathrm{acide}) = 0{,}100 - x_f = 0{,}033$, donc $x_f = 0{,}067\ \mathrm{mol}$.

$\tau = \dfrac{0{,}067}{0{,}100} = 0{,}67$, soit $67\ \%$ : $x_f < x_{max}$, la transformation est non totale.

Quelle quantité d'ester s'est formée ?

$n_f(\text{ester}) = x_f = 0{,}067\ \mathrm{mol}$. Pour en obtenir davantage, on peut introduire un des réactifs en excès ou éliminer l'eau au fur et à mesure.

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Une transformation est modélisée par $\mathrm{A} + 2\,\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$. On mélange $n_A = 0,50\ \text{mol}$ et $n_B = 0,80\ \text{mol}$. À l'état…

Une transformation est modélisée par $\mathrm{A} + 2\,\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$. On mélange $n_A = 0,50\ \text{mol}$ et $n_B = 0,80\ \text{mol}$. À l'état final, on mesure $n_f(\mathrm{C}) = 0,32\ \text{mol}$.

a) Déterminer l'avancement maximal.
b) Déterminer l'avancement final $x_f$.
c) La transformation est-elle totale ? Calculer le taux d'avancement $\tau = x_f/x_{max}$.

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On mélange $n_0 = 0,100\ \text{mol}$ d'acide éthanoïque et $n_0 = 0,100\ \text{mol}$ d'éthanol. À l'état final, la mesure montre qu'il reste $0,033\ \text{mol}$ d'acide.…

On mélange $n_0 = 0,100\ \text{mol}$ d'acide éthanoïque et $n_0 = 0,100\ \text{mol}$ d'éthanol. À l'état final, la mesure montre qu'il reste $0,033\ \text{mol}$ d'acide.

a) Écrire l'équation de la réaction d'estérification et dresser le tableau d'avancement.
b) Déterminer $x_f$ et $x_{max}$, puis $\tau$.
c) En déduire que la transformation est non totale et proposer, en justifiant, deux modifications du protocole pour augmenter la quantité d'ester.

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Faire varier les quantités initiales

On fixe $n_\mathrm{A}$ et on augmente $n_\mathrm{B}$. Pour $2\,\mathrm{A} + \mathrm{B} \rightarrow 2\,\mathrm{C}$ avec $n_\mathrm{A} = 0{,}60\ \mathrm{mol}$ :

A limitant si $\dfrac{0{,}60}{2} < n_\mathrm{B}$, soit $n_\mathrm{B} > 0{,}30\ \mathrm{mol}$ : $x_{max} = 0{,}30\ \mathrm{mol}$ et $n_f(\mathrm{C}) = 0{,}60\ \mathrm{mol}$ (constant).
B limitant si $n_\mathrm{B} < 0{,}30\ \mathrm{mol}$ : $x_{max} = n_\mathrm{B}$ et $n_f(\mathrm{C}) = 2\,n_\mathrm{B}$ (droite).

La courbe $n_f(\mathrm{C})$ en fonction de $n_\mathrm{B}$ présente une cassure au point $(0{,}30 ; 0{,}60)$ : c'est le mélange stœchiométrique.

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On considère la réaction $a\,\mathrm{A} + b\,\mathrm{B} \rightarrow c\,\mathrm{C}$ avec $a=2$, $b=1$, $c=2$. On fait varier la quantité initiale $n_B$ de $0$ à…

On considère la réaction $a\,\mathrm{A} + b\,\mathrm{B} \rightarrow c\,\mathrm{C}$ avec $a=2$, $b=1$, $c=2$. On fait varier la quantité initiale $n_B$ de $0$ à $1,0\ \text{mol}$ avec $n_A = 0,60\ \text{mol}$ fixée, la transformation étant totale.

a) Exprimer $x_{max}$ en fonction de $n_B$ selon la valeur de $n_B$.
b) Exprimer $n_f(\mathrm{C})$ en fonction de $n_B$ et tracer l'allure de la courbe en précisant les coordonnées du point de rupture de pente.
c) Interpréter ce point en termes de mélange stœchiométrique.

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Application : combustion et air disponible

Revenons à la bouteille de camping : $m = 450\ \mathrm{g}$ de propane, $M(\mathrm{C_3H_8}) = 44{,}0\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$, équation $\mathrm{C_3H_8} + 5\,\mathrm{O_2} \rightarrow 3\,\mathrm{CO_2} + 4\,\mathrm{H_2O}$. L'air contient $20\ \%$ de dioxygène en quantité de matière.

Quel volume d'air pour brûler tout le propane ?

$n(\mathrm{C_3H_8}) = \dfrac{450}{44{,}0} = 10{,}2\ \mathrm{mol}$.

Mélange stœchiométrique : $n(\mathrm{O_2}) = 5 \times 10{,}2 = 51\ \mathrm{mol}$.

L'air contient $20\ \%$ de $\mathrm{O_2}$ : $n(\text{air}) = \dfrac{51}{0{,}20} = 255\ \mathrm{mol}$.

Calcule le volume d'air avec $V_m = 24{,}0\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}$.

$V = 255 \times 24{,}0 \approx 6{,}1 \times 10^{3}\ \mathrm{L} = 6{,}1\ \mathrm{m^3}$. Avec seulement $2{,}0\ \mathrm{m^3}$ d'air, soit $2{,}0 \times 10^{3}\ \mathrm{L}$, on a $n(\text{air}) = \dfrac{2{,}0 \times 10^{3}}{24{,}0} = 83\ \mathrm{mol}$ et $n(\mathrm{O_2}) = 0{,}20 \times 83 = 17\ \mathrm{mol}$. Comparons : $\dfrac{10{,}2}{1} = 10{,}2$ pour le propane et $\dfrac{17}{5} = 3{,}3$ pour $\mathrm{O_2}$, donc $x_{max} = 3{,}3\ \mathrm{mol}$ et le dioxygène est limitant : une partie du propane ne brûle pas (ou brûle mal, en produisant du monoxyde de carbone). Il ne faut jamais utiliser un réchaud dans un local fermé.

Nous retrouvons ainsi la question de l'introduction : le tableau d'avancement permet de chiffrer ce qui reste de propane (ici $10{,}2 - 3{,}3 \approx 6{,}9\ \mathrm{mol}$) et de justifier la consigne de sécurité.

Calculer la composition finale avec Python

On automatise le calcul de $x_{max}$ et de l'état final pour $2\,\mathrm{Al} + 6\,\mathrm{H^+} \rightarrow 2\,\mathrm{Al^{3+}} + 3\,\mathrm{H_2}$, avec $n_i(\mathrm{Al}) = 0{,}050\ \mathrm{mol}$ et $n_i(\mathrm{H^+}) = 0{,}10\ \mathrm{mol}$.

n_Al = 50e-3

n_H = 100e-3

x_max = min(n_Al / 2, n_H / 6)

print("x_max =", x_max)

print("Al :", n_Al - 2 * x_max)

print("H+ :", n_H - 6 * x_max)

print("H2 :", 3 * x_max)

La fonction min choisit la plus petite des valeurs $n_i/\text{coefficient}$ : c'est $x_{max}$.

On obtient $x_{max} \approx 0{,}017\ \mathrm{mol}$, $n_f(\mathrm{Al}) \approx 0{,}017\ \mathrm{mol}$, $n_f(\mathrm{H^+}) = 0$ et $n_f(\mathrm{H_2}) \approx 0{,}050\ \mathrm{mol}$.

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On étudie la combustion du propane : $\mathrm{C_3H_8(g)} + 5\,\mathrm{O_2(g)} \rightarrow 3\,\mathrm{CO_2(g)} + 4\,\mathrm{H_2O(g)}$. Une bouteille de camping contient…

On étudie la combustion du propane : $\mathrm{C_3H_8(g)} + 5\,\mathrm{O_2(g)} \rightarrow 3\,\mathrm{CO_2(g)} + 4\,\mathrm{H_2O(g)}$. Une bouteille de camping contient $m = 450\ \text{g}$ de propane, brûlé dans l'air (20 % de dioxygène en quantité de matière). Données : $M(\mathrm{C_3H_8}) = 44,0\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$, $V_m = 24,0\ \text{L}\cdot\text{mol}^{-1}$.

a) Calculer le volume d'air nécessaire pour une combustion complète.
b) Dans un local mal ventilé, on ne dispose que de $2,0\ \text{m}^3$ d'air. Déterminer le réactif limitant et la quantité de propane restant.
c) Justifier que la combustion incomplète est dangereuse dans ce cas.

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À s'entraîner ! 9 exercices dans cette section

★☆☆ On considère la réaction de combustion du dihydrogène :…★☆☆ L'équation de la réaction entre le fer et le dioxygène s'écrit :…★☆☆ Un mélange initial contient $n_1 = 0,30\ \text{mol}$ de $\mathrm{N_2}$ et…

L'essentiel

Le tableau d'avancement donne $n(\text{espèce})$ en fonction de $x$ : $n_i - a\,x$ pour un réactif, $n_i + c\,x$ pour un produit.
$x_{max}$ est la plus petite valeur de $n_i/\text{coefficient}$ ; le réactif correspondant est le réactif limitant.
Un mélange est stœchiométrique si $\dfrac{n_i(\mathrm{A})}{a} = \dfrac{n_i(\mathrm{B})}{b}$ : les deux réactifs sont épuisés ensemble.
Transformation totale : $x_f = x_{max}$ ; non totale : $x_f < x_{max}$. Le taux d'avancement est $\tau = x_f / x_{max}$.
Convertis toujours d'abord en moles : $n = m/M$, $n = c\,V$, $n = V/V_m$.