Proporcionalidad directa

En matemática, decimos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una por un número, la otra se multiplica por ese mismo número. Analiza las siguientes situaciones cotidianas e indica cuáles son de proporcionalidad directa:

1. a) El número de seguidores de un streamer y la cantidad de likes que recibe en un video (suponiendo que todos sus seguidores le dan a "me gusta").
2. b) La edad de una persona y su altura en centímetros.
3. c) El número de cajas de pizza que pides y el precio total que pagas (si todas las pizzas cuestan lo mismo).
4. d) La velocidad de un carro y el tiempo que tarda en llegar a su destino.
5. e) Los kilogramos de manzanas que compras y el dinero que cuestan.

En tu videojuego favorito, puedes comprar "Gemas" para conseguir nuevos aspectos para tu personaje. Sabemos que las gemas siempre tienen el mismo precio unitario. Completa la siguiente tabla de proporcionalidad en tu cuaderno para saber cuánto cuestan diferentes cantidades de gemas:

Copia y completa la siguiente tabla de valores directamente proporcionales que relaciona la cantidad de kilogramos de pintura con la superficie que se puede cubrir. Calcula también la constante de proporcionalidad $k$ expresada en $m^2/kg$.

Un paquete de barajitas de la liga de fútbol contiene $6$ barajitas, y $3$ de estos paquetes cuestan $216$ pesos. Si queremos completar el álbum y decidimos comprar $8$ paquetes iguales, ¿cuánto dinero gastaremos en total? Utiliza el método de reducción a la unidad (calcula primero cuánto cuesta un solo paquete).

Para cocinar unos panqueques para $4$ personas, se necesitan exactamente $200$ gramos de harina. Si este fin de semana vienen tus primos a la casa y son un total de $6$ personas, ¿qué cantidad de harina necesitarás para que los panqueques salgan perfectos? Recuerda que las cantidades de la receta son directamente proporcionales al número de comensales.

Un skater recorre una pista a una velocidad constante. En la primera parte del circuito, ha recorrido $150$ metros en $30$ segundos. Si mantiene el mismo ritmo durante todo el trayecto:

1. a) ¿Qué distancia recorrerá en $1$ minuto ($60$ segundos)?
2. b) ¿Cuál es su constante de proporcionalidad (cuántos metros recorre por cada segundo)?

Para celebrar el final del trimestre, un grupo de amigos quiere comprar "gemas" para su videojuego favorito. Han visto que un pack de $1200$ gemas cuesta $\text{RD\$}\ 864$. Si un amigo tiene ahorrados exactamente $\text{RD\$}\ 1\,260$, ¿cuántas gemas podrá comprar si la relación es directamente proporcional?

Para cocinar una paella gigante para $12\text{ personas}$, el chef utiliza $1.5\text{ kg}$ de arroz y $3\text{ litros}$ de caldo. Si de repente se apuntan más personas y ahora son $18$ en total, calcula mediante el método de reducción a la unidad qué cantidad de arroz y de caldo necesitará ahora el chef.

Una llave de agua que gotea pierde aproximadamente $1.2\text{ centilitros}$ de agua cada $10\text{ segundos}$. Si no la arreglamos, ¿cuántos litros de agua habrá desperdiciado al cabo de una hora completa? (Recuerda pasar primero el resultado a la unidad de medida solicitada).

Observa la siguiente imagen que representa dos balanzas en equilibrio. En la primera balanza, $3$ cubos azules pesan exactamente $450$ gramos. En la segunda balanza, queremos saber cuánto pesan $5$ cubos iguales a los anteriores. Calcula el valor de la incógnita $x$.

Halla el valor del término desconocido $x$ en las siguientes proporciones para que se cumpla la igualdad entre las razones:

1. a) $\frac{2}{5} = \frac{10}{x}$

1. b) $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$

1. c) $\frac{7}{x} = \frac{14}{6}$

En un mapa de la Sierra de Guadarrama, la escala indica que $2\text{ cm}$ en el papel representan $5\text{ km}$ en la realidad. Si para realizar una ruta de senderismo entre dos pueblos la distancia medida sobre el mapa es de $8.5\text{ cm}$, ¿cuántos kilómetros recorrerán los excursionistas en la realidad?

Por $3$ entradas para el cine hemos pagado $\text{RD\$}\ 1\,530$. Queremos comprar $7$ entradas para toda la pandilla. Resuelve el problema de las dos formas siguientes:

1. a) Por reducción a la unidad: calcula el precio de una entrada y después el de $7$.
2. b) Con una regla de tres directa: plantea la proporción $\frac{3}{1\,530} = \frac{7}{x}$ y despeja $x$.
3. c) ¿Coinciden los dos resultados? ¿Qué método te parece más cómodo y por qué?

Una impresora 3D tarda $4.5$ horas en imprimir una pieza de $270$ gramos de filamento. Queremos saber cuánto tardará en imprimir otra pieza de $420$ gramos, suponiendo el mismo ritmo.

1. a) Explica por qué el peso de la pieza y el tiempo de impresión son magnitudes directamente proporcionales.
2. b) Plantea la regla de tres directa y calcula el tiempo que tardará la pieza de $420$ gramos.
3. c) ¿Cuántos gramos imprime la máquina en una hora? Comprueba tu resultado del apartado b) usando ese dato.

Tres agricultores han trabajado en la recolección de una finca de naranjas de forma proporcional al tiempo que cada uno ha dedicado. Si han cobrado en total $\text{RD\$}\ 1500$ y los tiempos de trabajo han sido:

• Agricultor A: $12\text{ horas}$

• Agricultor B: $18\text{ horas}$

• Agricultor C: $20\text{ horas}$

¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno de ellos?

Tres clases de 1.° de secundaria han decidido organizar una campaña de recolección de alimentos. El número de kilos recolectados es directamente proporcional al número de alumnos de cada clase. La clase A tiene $24$ alumnos y ha recolectado $36\ kg$.

1. a) Completa la siguiente tabla justificando los cálculos:

1. b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que relaciona los kilos por cada alumno? Exprésala como una fracción irreducible.

Una empresa de mensajería utiliza furgonetas eléctricas. El costo del consumo eléctrico es directamente proporcional a los kilómetros recorridos. El mes pasado, una furgoneta recorrió $1,250\ km$ con un costo total de $\text{RD\$}\ 2\,250$ en electricidad.

1. a) Este mes el precio de la electricidad subió un $20\%$. ¿Cuál será la nueva constante de proporcionalidad (costo por kilómetro)?
2. b) Con el nuevo precio, ¿cuánto costará recorrer una ruta de $420\ km$?

Una marca de ropa sostenible utiliza fibras recicladas para fabricar sus camisetas. La relación entre el peso de las botellas de plástico recogidas y el hilo obtenido es directamente proporcional. Se sabe que con $3.6\ kg$ de botellas se pueden fabricar exactamente $8$ camisetas de la talla L.

1. a) Si cada camiseta de la talla L necesita $225\ g$ de hilo, ¿cuántos gramos de hilo se obtienen por cada kilogramo de botellas de plástico?
2. b) La alcaldía de una ciudad ha recogido $1.2\ toneladas$ de botellas. ¿Cuántas camisetas se podrían fabricar en total?

Para teñir telas con tintes naturales, una artesana mezcla extracto de remolacha y agua. La cantidad de extracto es directamente proporcional al volumen de agua. En su cuaderno tiene anotado que para $1.5\ litros$ de agua necesita $120\ ml$ de extracto. Sin embargo, ella quiere preparar una tina con un volumen total de mezcla (agua + extracto) de $10.8\ litros$. ¿Qué cantidad exacta de agua y de extracto debe mezclar para mantener la proporción?

Un servidor de videojuegos distribuye datos a los jugadores de forma directamente proporcional al tiempo de conexión. Un jugador ha descargado $1.8\ GB$ en los últimos $12$ minutos.

1. a) Calcula la tasa de transferencia en $MB$ por minuto (Recuerda que $1\ GB = 1,024\ MB$).
2. b) Si la actualización total del juego pesa $15\ GB$, ¿cuántas horas y minutos tardará en completarse la descarga si la velocidad se mantiene constante?

En las gráficas de proporcionalidad directa, la relación entre las dos magnitudes siempre se representa mediante una línea recta que pasa por el punto $(0,0)$. Observa el siguiente gráfico que relaciona el número de lapiceros comprados y su costo total. Si $4$ lapiceros cuestan $360$ pesos, identifica el punto en el gráfico y calcula cuánto costarían $10$ lapiceros.

Un coche híbrido consume una media de $4.5\text{ litros}$ de combustible por cada $100\text{ km}$ recorridos. Si el depósito tiene una capacidad total de $54\text{ litros}$ y actualmente está lleno, ¿qué distancia máxima podrá recorrer el vehículo antes de quedarse sin combustible?

La siguiente gráfica muestra la relación entre el tiempo que está encendida una fuente de agua y los litros que arroja. Observa el punto marcado y determina cuántos litros arrojará la fuente si se mantiene abierta durante $15\text{ minutos}$.

El siguiente gráfico muestra la relación entre el tiempo de carga de un nuevo modelo de celular y el porcentaje de batería recuperado. El fabricante afirma que la carga es directamente proporcional durante los primeros $40$ minutos.

1. a) Observando el punto destacado, calcula cuántos minutos tarda el celular en cargar un $1\%$ de batería.
2. b) Si el celular tiene actualmente un $12\%$ de batería y necesitas salir de casa en $18$ minutos, ¿con qué porcentaje de batería saldrás?

En un taller de robótica, los alumnos están programando un dron para inspeccionar un parque natural. El dron consume batería de forma directamente proporcional a la distancia recorrida. Si para recorrer $2.5\ km$ el dron consume un $15\%$ de su batería total:

1. a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad si expresamos la relación como "porcentaje de batería por cada kilómetro"?
2. b) Si el punto de retorno está a $7,200\ metros$ de la base, ¿tendrá suficiente batería para ir y volver si despega con la carga completa? Justifica tu respuesta con cálculos.

En un mapa de alta montaña con escala $1:25,000$, la distancia entre dos refugios es de $14.4\ cm$. Un grupo de excursionistas sabe que su velocidad media de ascenso es constante y que tardan $45$ minutos en recorrer $1,500\ metros$ reales en ese terreno.

1. a) Calcula la distancia real entre los dos refugios en kilómetros.
2. b) ¿A qué hora llegarán al segundo refugio si salen del primero a las $08:30$ de la mañana?