Problemas con ecuaciones
Yaritza y sus dos amigas juntan dinero para comprar un regalo, pero cada una pone una cantidad distinta. ¿Cómo saber cuánto puso cada una? Resolver la ecuación es la parte mecánica, la que ya sabes hacer. Lo difícil (y lo que de verdad importa) es plantearla: convertir un enunciado en una igualdad con una $x$. Con un método claro y unos pocos modelos, la mayoría de problemas se vuelven rutina.
El método en pasos
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Elige la incógnita y escribe qué significa: «$x$ = canciones que tiene Wilkin». No te quedes solo con la letra, apunta a qué número se refiere.
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Traduce cada dato de la frase usando esa misma $x$.
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Plantea la ecuación con el dato que falta (normalmente un total o una igualdad) y resuélvela.
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Comprueba con el enunciado, no con la ecuación (podría estar mal planteada), y responde con una frase y unidades.
Si a un número le sumas su consecutivo (el número que va justo después), el resultado es $43$. Plantea una ecuación para averiguar de qué número se trata.
Si a un número le sumas su consecutivo (el número que va justo después), el resultado es $43$. Plantea una ecuación para averiguar de qué número se trata.
Un grupo de amigos compra una pizza familiar que cuesta $720$ pesos. Si después de pagarla les sobran $480$ pesos del dinero que habían reunido, ¿cuánto dinero tenían al…
Un grupo de amigos compra una pizza familiar que cuesta $720$ pesos. Si después de pagarla les sobran $480$ pesos del dinero que habían reunido, ¿cuánto dinero tenían al principio? Representa la cantidad inicial con la letra $x$.
Números, «el doble que» y edades
Dos tipos de datos aparecen una y otra vez:
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Números consecutivos: si el primero es $x$, el siguiente es $x + 1$ y el otro $x + 2$.
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«El doble/triple que otra cantidad»: si Enmanuel tiene $x$ canciones y Yohanna el doble, Yohanna tiene $2x$. Si además Raysa tiene $10$ más que Enmanuel, Raysa tiene $x + 10$.
Para las edades conviene hacer una pequeña tabla con «hoy» y «dentro de» tantos años: el tiempo pasa igual para todos, así que se suma lo mismo a cada edad.
| Hoy | Dentro de 8 años | |
|---|---|---|
| Pamela | $x$ | $x + 8$ |
| Yeison | $x + 5$ | $x + 13$ |
Cuando la edad de una persona es el triple que la de otra, la ecuación sale de comparar las dos filas de la tabla. Por ejemplo, si la madre tiene $3x$ hoy y $3x + 12$ dentro de 12 años, y su hija tiene $x$ y $x + 12$, entonces «la madre tendrá el doble» se escribe $3x + 12 = 2(x + 12)$. Aquí el paréntesis es necesario: el doble se aplica a la edad completa de la hija.
Amina tiene $3$ años más que su hermano pequeño. Si entre los dos suman $19$ años, ¿qué edad tiene cada uno? Llama $x$ a la edad del hermano pequeño.
Amina tiene $3$ años más que su hermano pequeño. Si entre los dos suman $19$ años, ¿qué edad tiene cada uno? Llama $x$ a la edad del hermano pequeño.
Marcos está jugando a un videojuego y ha conseguido en el nivel actual el doble de puntos que en el nivel anterior. Si entre los dos niveles suma un total de $150$…
Marcos está jugando a un videojuego y ha conseguido en el nivel actual el doble de puntos que en el nivel anterior. Si entre los dos niveles suma un total de $150$ puntos, ¿cuántos puntos obtuvo en cada nivel? Llama $x$ a los puntos del primer nivel.
Tres amigos están comparando cuántas canciones tienen en su lista de reproducción favorita. Lucía tiene el doble de canciones que Marcos, y Sara tiene 15 canciones más…
Tres amigos están comparando cuántas canciones tienen en su lista de reproducción favorita. Lucía tiene el doble de canciones que Marcos, y Sara tiene 15 canciones más que Marcos. Si entre los tres suman un total de 155 canciones, ¿cuántas canciones tiene cada uno en su lista? Plantea una ecuación donde $x$ sea el número de canciones de Marcos.
Héctor tiene 5 años más que su hermana Ainhoa. Dentro de 8 años, la suma de sus edades será de 41 años. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno? (Recuerda sumar 8 años a la…
Héctor tiene 5 años más que su hermana Ainhoa. Dentro de 8 años, la suma de sus edades será de 41 años. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno?
(Recuerda sumar 8 años a la edad de cada uno para plantear la suma futura).
La madre de Salma tiene actualmente el triple de edad que ella. Dentro de $12$ años, la edad de la madre será solo el doble que la de Salma. ¿Qué edad tienen actualmente…
La madre de Salma tiene actualmente el triple de edad que ella. Dentro de $12$ años, la edad de la madre será solo el doble que la de Salma. ¿Qué edad tienen actualmente cada una? Ayúdate de una tabla para organizar los datos del presente y del futuro.
Balanzas y partes de un total
Una ecuación es como una balanza en equilibrio: lo que hay en un plato pesa lo mismo que lo que hay en el otro. Si en un plato hay $x$ y una pesa de $12$ g, y en el otro hay $4$ piedras como la primera, escribimos $x + 12 = 4x$.
Otros problemas hablan de dos tipos de objetos (carros y motos, o monedas de dos valores). Si el total de objetos es $32$ y llamas $x$ a los de un tipo, los del otro tipo son $32 - x$. Después se cuenta la cantidad que los distingue (ruedas, dinero…).
Lo mismo con dinero: si hay $x$ monedas de $\text{RD}\$10$ y $30 - x$ de $\text{RD}\$5$, el valor total es $10x + 5(30 - x)$.
Y cuando un problema habla de fracciones, recuerda que lo que queda se calcula sobre lo que había. Si se gasta $\frac{1}{4}$ de un total $x$, queda $x - \frac{x}{4} = \frac{3x}{4}$. Si luego se gasta $\frac{2}{5}$ de lo que queda, quedan $\frac{3}{5}$ de $\frac{3x}{4}$. Se plantea igualando eso con el dato final y se despeja $x$.
En el laboratorio de Ciencias tenemos una balanza en equilibrio, como muestra la figura. En el plato de la izquierda hay $2$ cajas iguales (que pesan $x$ kg cada una) y…
En el laboratorio de Ciencias tenemos una balanza en equilibrio, como muestra la figura. En el plato de la izquierda hay $2$ cajas iguales (que pesan $x$ kg cada una) y una pesa de $1$ kg. En el plato de la derecha hay una pesa de $7$ kg. Escribe la ecuación que representa este equilibrio y calcula cuánto pesa cada caja.
Para equilibrar una balanza en el laboratorio de Ciencias Naturales, hemos colocado en el platillo izquierdo una piedra que pesa un valor desconocido $x$ y una pesa de…
Para equilibrar una balanza en el laboratorio de Ciencias Naturales, hemos colocado en el platillo izquierdo una piedra que pesa un valor desconocido $x$ y una pesa de $12$ gramos. En el platillo derecho, para que esté en equilibrio, hemos tenido que poner cuatro pesas iguales, cada una de ellas con el mismo peso $x$ que la piedra original. ¿Cuánto pesa la piedra?
En un parqueo de un centro comercial hay un total de $32$ vehículos entre carros y motos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin incluir las de repuesto), obtenemos…
En un parqueo de un centro comercial hay un total de $32$ vehículos entre carros y motos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin incluir las de repuesto), obtenemos un total de $94$ ruedas. Calcula cuántos carros y cuántas motos hay en el parqueo.
(Pista: Si llamamos $x$ al número de carros, el número de motos será $32 - x$).
En una expedición científica por el Amazonas, el equipo consume el primer día $\frac{1}{4}$ de sus provisiones de agua. El segundo día consumen $\frac{2}{5}$ de lo que…
En una expedición científica por el Amazonas, el equipo consume el primer día $\frac{1}{4}$ de sus provisiones de agua. El segundo día consumen $\frac{2}{5}$ de lo que quedaba en el depósito. Si después de estos dos días aún tienen $135$ litros, ¿cuántos litros de agua tenían al comenzar la expedición?
Problemas con perímetros
En geometría, dibuja siempre la figura y escribe las medidas con $x$. Después usa la fórmula del perímetro (la suma de todos los lados).
En un triángulo isósceles, los dos lados iguales se escriben igual. Si la base mide $10$ cm y los lados iguales miden $x$, el perímetro es $x + x + 10$.
Estamos diseñando un logo para un equipo de e-sports con forma de triángulo isósceles. Queremos que el perímetro sea de $30$ cm. Si la base mide $10$ cm y los otros dos…
Estamos diseñando un logo para un equipo de e-sports con forma de triángulo isósceles. Queremos que el perímetro sea de $30$ cm. Si la base mide $10$ cm y los otros dos lados son iguales, ¿cuánto debe medir cada uno de esos lados ($x$)?
Queremos vallar un pequeño huerto rectangular para plantar tomates. El largo del huerto es el doble que el ancho. Si hemos utilizado $18$ metros de valla para rodearlo…
Queremos vallar un pequeño huerto rectangular para plantar tomates. El largo del huerto es el doble que el ancho. Si hemos utilizado $18$ metros de valla para rodearlo por completo (perímetro), ¿cuánto miden el ancho y el largo del huerto?
En el cumpleaños de Adrián, se han repartido invitaciones de dos tipos: digitales y en papel. El número de invitaciones digitales ha sido el triple que el de papel. Si…
En el cumpleaños de Adrián, se han repartido invitaciones de dos tipos: digitales y en papel. El número de invitaciones digitales ha sido el triple que el de papel. Si en total se han enviado 48 invitaciones, ¿cuántas personas han recibido la invitación en papel y cuántas en formato digital?
El perímetro de un parque tecnológico con forma de triángulo isósceles es de $110$ metros. Sabemos que cada uno de los lados iguales mide $10$ metros más que el doble de…
El perímetro de un parque tecnológico con forma de triángulo isósceles es de $110$ metros. Sabemos que cada uno de los lados iguales mide $10$ metros más que el doble de la base. Calcula la medida de cada uno de los tres lados del parque planteando una ecuación.
Repartos y cantidades relacionadas
Cuando varias personas se reparten un gasto, o cuando varias cantidades se relacionan entre sí, llama $x$ a la parte de una de ellas y escribe las demás en función de $x$. La ecuación sale de que todas las partes juntas son el total.
Lo mismo funciona con ventas de una tienda, visualizaciones de videos o cualquier cantidad que dependa de otra: elige como $x$ la que sirve de base para las demás.
Vuelve al principio: con el método, el regalo de las amigas de Yaritza se resuelve igual que el de los tres hermanos: una parte es $x$, las demás se escriben con $x$ y todas suman el total.
En una estantería de una tienda de cómics hay el triple de mangas de acción que de misterio. Si en total hay $48$ cómics entre ambos géneros, ¿cuántos hay de cada clase?…
En una estantería de una tienda de cómics hay el triple de mangas de acción que de misterio. Si en total hay $48$ cómics entre ambos géneros, ¿cuántos hay de cada clase? Llama $x$ a los cómics de misterio.
Marta ha comprado un videojuego de oferta y un mando nuevo. El mando le ha costado $1\,500$ pesos menos que el videojuego. Si ha pagado en total por las dos cosas…
Marta ha comprado un videojuego de oferta y un mando nuevo. El mando le ha costado $1\,500$ pesos menos que el videojuego. Si ha pagado en total por las dos cosas $5\,340$ pesos, ¿cuál es el precio original de cada artículo sin contar otros descuentos?
El profesor de Educación Física ha comprado tres cajas de pelotas de tenis. En la segunda caja hay el doble de pelotas que en la primera, y en la tercera hay $10$…
El profesor de Educación Física ha comprado tres cajas de pelotas de tenis. En la segunda caja hay el doble de pelotas que en la primera, y en la tercera hay $10$ pelotas más que en la segunda. Si en total hay $85$ pelotas, ¿cuántas pelotas contiene cada caja?
En una tienda de videojuegos, han vendido el triple de copias de un juego de aventuras que de uno de deportes. Además, han vendido $15$ unidades menos de un juego de…
En una tienda de videojuegos, han vendido el triple de copias de un juego de aventuras que de uno de deportes. Además, han vendido $15$ unidades menos de un juego de plataformas que del de aventuras. Si en total han vendido $125$ videojuegos entre los tres títulos, ¿cuántas copias se han vendido de cada uno?
Un creador de contenido digital ha revisado sus estadísticas mensuales. El video de humor tiene el doble de visualizaciones que el de tecnología, y el video de viajes…
Un creador de contenido digital ha revisado sus estadísticas mensuales. El video de humor tiene el doble de visualizaciones que el de tecnología, y el video de viajes tiene $4000$ visualizaciones más que el de humor. Si entre los tres suman un total de $24000$ visualizaciones, ¿cuántas tiene cada video?
En una hucha hay monedas de $0.50$ pesos y de $1$ peso. En total hay $35$ monedas que suman un valor de $26$ pesos. ¿Cuántas monedas de cada tipo hay en la hucha?…
En una hucha hay monedas de $0.50$ pesos y de $1$ peso. En total hay $35$ monedas que suman un valor de $26$ pesos. ¿Cuántas monedas de cada tipo hay en la hucha? (Pista: si llamas $x$ al número de monedas de $1$ peso, el número de monedas de $0.50$ pesos será $35 - x$).
Tres hermanos, Alberto, Berta y Carlos, quieren comprar un regalo para sus padres que cuesta $105$ pesos. Alberto aporta una cantidad de dinero, Berta pone el doble que…
Tres hermanos, Alberto, Berta y Carlos, quieren comprar un regalo para sus padres que cuesta $105$ pesos. Alberto aporta una cantidad de dinero, Berta pone el doble que Alberto y Carlos pone $15$ pesos menos que Berta. ¿Cuánto dinero aporta cada uno para que les llegue justo para el regalo?