Porcentajes
Wilkin ve unos tenis en una tienda de Santiago con un 20 % de descuento. En la caja le suman el 18 % de ITBIS. ¿Pagará más o menos que el precio de la etiqueta? Los porcentajes están por todas partes (la barra de descarga, las ofertas, los impuestos) y son solo una forma de escribir una razón: tanto por cada cien.
Qué es un porcentaje
Si el entero se divide en 100 cuadritos, cada cuadrito es el $1\,\%$. Así se leen los porcentajes en una cuadrícula: se cuentan los cuadritos sombreados.
Observa la siguiente cuadrícula que representa el plano de una zona de ocio en un centro comercial. Cada cuadrado pequeño representa el $1\%$ del total. Si el área…
Observa la siguiente cuadrícula que representa el plano de una zona de ocio en un centro comercial. Cada cuadrado pequeño representa el $1\%$ del total. Si el área sombreada con color naranja está reservada para máquinas recreativas, ¿qué porcentaje del total ocupa dicha zona? Expresa el resultado también en forma de fracción irreducible.
Calcula mentalmente los siguientes porcentajes utilizando las estrategias de división aprendidas en clase (dividir entre $2$ para el $50\%$, entre $4$ para el $25\%$ y…
Calcula mentalmente los siguientes porcentajes utilizando las estrategias de división aprendidas en clase (dividir entre $2$ para el $50\%$, entre $4$ para el $25\%$ y entre $10$ para el $10\%$):
- a) El $50\%$ de $84$ espectadores en una transmisión en vivo.
- b) El $25\%$ de una pizza de $400$ gramos.
- c) El $10\%$ de un pase de transporte que cuesta $2\,100$ pesos.
Calcular el porcentaje de una cantidad
En un torneo de e-sports, el $20\%$ de los $150$ participantes juegan desde una tableta, mientras que el resto lo hace desde una computadora. Calcula el número exacto de…
En un torneo de e-sports, el $20\%$ de los $150$ participantes juegan desde una tableta, mientras que el resto lo hace desde una computadora. Calcula el número exacto de jugadores que utilizan tableta para competir.
La barra de carga de tu videojuego favorito indica que ya se ha completado el $75\%$ de la descarga total. Si el archivo completo ocupa un espacio de $40$ GB, ¿cuántos…
La barra de carga de tu videojuego favorito indica que ya se ha completado el $75\%$ de la descarga total. Si el archivo completo ocupa un espacio de $40$ GB, ¿cuántos gigabytes se han descargado ya?
La batería de la tableta de Lucía tiene una capacidad total de $5000$ mAh. Si después de jugar un rato al "Roblox" le queda un $18\%$ de batería, ¿cuántos mAh de energía…
La batería de la tableta de Lucía tiene una capacidad total de $5000$ mAh. Si después de jugar un rato al "Roblox" le queda un $18\%$ de batería, ¿cuántos mAh de energía le quedan todavía? ¿Qué porcentaje de la batería ha consumido ya?
¿Qué porcentaje es una parte del total?
A veces te dan la parte y el total, y te piden el porcentaje. Escribe la razón $\dfrac{\text{parte}}{\text{total}}$ y conviértela en fracción con denominador $100$ (o divide y multiplica por $100$).
Así también se mide cuánto ha cambiado una cantidad: el porcentaje de aumento es $\dfrac{\text{aumento}}{\text{cantidad inicial}}$. Si un valor se duplica, el aumento es del $100\,\%$.
En una encuesta realizada en tu curso de 1° de secundaria, $18$ de los $30$ estudiantes han confirmado que prefieren el cine de terror frente al de comedia. Calcula el…
En una encuesta realizada en tu curso de 1° de secundaria, $18$ de los $30$ estudiantes han confirmado que prefieren el cine de terror frente al de comedia. Calcula el porcentaje de estudiantes que prefieren el cine de terror.
Pista: Puedes escribir primero la razón en forma de fracción $\frac{18}{30}$ y luego buscar una fracción equivalente con denominador $100$.
En un examen de matemáticas tipo test de $40$ preguntas, un alumno ha contestado correctamente $28$ preguntas, ha fallado $8$ y ha dejado $4$ en blanco. Calcula el…
En un examen de matemáticas tipo test de $40$ preguntas, un alumno ha contestado correctamente $28$ preguntas, ha fallado $8$ y ha dejado $4$ en blanco. Calcula el porcentaje de respuestas correctas, el de fallos y el de preguntas no contestadas sobre el total. Comprueba que la suma de los tres porcentajes es el $100\%$.
Un barrio tenía $1,200$ habitantes hace diez años y hoy tiene $3,000$. a) ¿En cuántos habitantes ha aumentado la población? b) ¿Qué porcentaje de aumento representa…
Un barrio tenía $1,200$ habitantes hace diez años y hoy tiene $3,000$.
- a) ¿En cuántos habitantes ha aumentado la población?
- b) ¿Qué porcentaje de aumento representa respecto a los habitantes que había hace diez años? ¿Es un porcentaje mayor o menor que el $100\%$? Interpreta el resultado.
Hallar el total conociendo una parte
Ahora al revés: conoces la parte y su porcentaje, y buscas el total. Como $\text{parte} = \text{total} \times \dfrac{n}{100}$, para volver al total se divide entre $\dfrac{n}{100}$.
Otra forma de razonar: el $40\,\%$ son $1{,}800$ pesos, así que el $10\,\%$ son $450$ pesos y el $100\,\%$ son $450 \times 10 = 4{,}500$ pesos.
Para organizar el viaje de fin de curso, los alumnos de 1° de secundaria han vendido boletos de una rifa. Si ya han vendido $360$ boletos, lo que representa el $75\%$…
Para organizar el viaje de fin de curso, los alumnos de 1° de secundaria han vendido boletos de una rifa. Si ya han vendido $360$ boletos, lo que representa el $75\%$ del total que tenían, ¿cuántos boletos tenían en total para vender? ¿Cuántos les quedan todavía por vender?
Marta ha subido un video a "TikTok". En las primeras dos horas, ha conseguido $180$ "likes". Si sabe que el $12\%$ de las personas que ven el video le dan a "like",…
Marta ha subido un video a "TikTok". En las primeras dos horas, ha conseguido $180$ "likes". Si sabe que el $12\%$ de las personas que ven el video le dan a "like", ¿cuántas visualizaciones ha tenido el video en total durante esas dos horas?
En una encuesta realizada en tu liceo sobre el uso de redes sociales, el $45\%$ de los alumnos prefiere Instagram, el $35\%$ prefiere TikTok y los 48 alumnos restantes…
En una encuesta realizada en tu liceo sobre el uso de redes sociales, el $45\%$ de los alumnos prefiere Instagram, el $35\%$ prefiere TikTok y los 48 alumnos restantes eligen otras plataformas. ¿Cuántos alumnos hay en total en el liceo? ¿Cuántos de ellos prefieren Instagram?
El resto y el complemento
Si una parte es el $n\,\%$, lo que queda es el $(100 - n)\,\%$. Para encadenar partes (por ejemplo, «de lo que quedaba...») calcula paso a paso, siempre sobre la cantidad correcta.
Cuando un dato se da como diferencia (por ejemplo, «28 votos más que...»), esa diferencia equivale a una diferencia de porcentajes, y te permite hallar las cantidades: si C tiene un $15\,\%$ más que B (del total) y eso son 30 votos, el total es $30 \div 0.15 = 200$ votos. Fíjate bien en qué representa cada porcentaje: aquí el $15\,\%$ es la diferencia entre los porcentajes de C y de B, y se aplica al total de votantes.
En la votación para elegir las actividades del festival del liceo participaron $1200$ alumnos. El $65\%$ eligió el torneo de deportes y el resto prefirió el taller de…
En la votación para elegir las actividades del festival del liceo participaron $1200$ alumnos. El $65\%$ eligió el torneo de deportes y el resto prefirió el taller de robótica. ¿Cuántos alumnos votaron por el taller de robótica?
Una marca de refrescos ha decidido reducir el contenido de azúcar de su bebida estrella. Antes, una lata de $330 \text{ ml}$ contenía $35 \text{ g}$ de azúcar. Ahora han…
Una marca de refrescos ha decidido reducir el contenido de azúcar de su bebida estrella. Antes, una lata de $330 \text{ ml}$ contenía $35 \text{ g}$ de azúcar. Ahora han lanzado una versión con un descuento del azúcar del $40\%$ y, además, han aumentado el tamaño de la lata un $10\%$.
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¿Cuántos gramos de azúcar tiene la nueva lata?
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¿Qué porcentaje de azúcar representa el peso del azúcar sobre el volumen total en la nueva lata? (Considera $1 \text{ ml} = 1 \text{ g}$ para el refresco).
En las elecciones al consejo escolar, la candidata A obtuvo el $30\%$ de los votos, el candidato B obtuvo el $25\%$ y el candidato C recibió el resto de los votos. Si el…
En las elecciones al consejo escolar, la candidata A obtuvo el $30\%$ de los votos, el candidato B obtuvo el $25\%$ y el candidato C recibió el resto de los votos. Si el candidato C ganó con 28 votos más que el candidato B, ¿cuántos alumnos votaron en total? ¿Cuántos votos recibió cada candidato?
Aumentos y descuentos
Unos tenis deportivos que costaban $3\,600$ pesos tienen hoy un descuento del $15\%$. ¿Cuántos pesos te ahorras al comprarlos hoy? ¿Cuál es el precio final que pagarás…
Unos tenis deportivos que costaban $3\,600$ pesos tienen hoy un descuento del $15\%$. ¿Cuántos pesos te ahorras al comprarlos hoy? ¿Cuál es el precio final que pagarás por ellos?
El precio de una laptop en una tienda es de $27\,000$ pesos sin incluir impuestos. Si hay que aplicarle un $21\%$ de ITBIS (Impuesto sobre Transferencias de Bienes…
El precio de una laptop en una tienda es de $27\,000$ pesos sin incluir impuestos. Si hay que aplicarle un $21\%$ de ITBIS (Impuesto sobre Transferencias de Bienes Industrializados y Servicios), ¿cuál será el precio final que tendremos que pagar por la laptop?
Porcentajes encadenados
Esto responde la duda de Wilkin: con $20\,\%$ de descuento y luego $18\,\%$ de ITBIS multiplica por $0.80 \times 1.18 = 0.944$. Paga un poco menos que la etiqueta.
En una tienda de tenis de moda, un modelo que cuesta $\text{RD\$}\ 5\,100$ tiene una rebaja del $20\%…
En una tienda de tenis de moda, un modelo que cuesta $\text{RD\$}\ 5\,100$ tiene una rebaja del $20\%$. Sin embargo, por ser el último día de las ofertas, aplican un descuento adicional del $10\%$ sobre el precio ya rebajado. ¿Cuál es el precio final de los tenis? ¿Es lo mismo que aplicar un único descuento del $30\%$? Justifica tu respuesta calculando ambos casos.
El almacenamiento de un celular es de $128 \text{ GB}$. El sistema operativo ocupa el $12.5\%$ del total. Si Álex ya ha llenado el $60\%$ del espacio libre que quedaba,…
El almacenamiento de un celular es de $128 \text{ GB}$. El sistema operativo ocupa el $12.5\%$ del total. Si Álex ya ha llenado el $60\%$ del espacio libre que quedaba, ¿cuántos Gigabytes tiene todavía disponibles para instalar nuevas aplicaciones?
En un teatro con capacidad para $750$ personas, hoy se han quedado sin vender el $12\%$ de las entradas. De las entradas vendidas, el $65\%$ han sido para adultos y el…
En un teatro con capacidad para $750$ personas, hoy se han quedado sin vender el $12\%$ de las entradas. De las entradas vendidas, el $65\%$ han sido para adultos y el resto para menores de 18 años. ¿Cuántos menores de 18 años han asistido hoy al teatro?
El ITBIS: hallar el precio sin impuesto
El ITBIS (Impuesto sobre Transferencias de Bienes Industrializados y Servicios) es el impuesto que se suma al precio de muchos productos. Su tasa general es del $18\,\%$, así que el precio final es el precio base por $1.18$. Con el ITBIS, el Estado obtiene dinero para pagar servicios públicos como escuelas y carreteras. Algunos ejercicios usan otra tasa: siempre te la dan en el enunciado, y el método es el mismo.
En restaurantes y bares, además del ITBIS, la ley establece una propina legal del $10\,\%$ sobre el consumo. Ambos porcentajes se calculan sobre el precio base de la cuenta.
Cuando conoces el precio final con el impuesto, para deshacerlo divide entre el factor en vez de multiplicar.
Lo mismo sirve para cualquier descuento o aumento: si el precio final es $P$ y el factor es $f$, el precio inicial es $P \div f$.
Álex compró una computadora para jugar sus videojuegos favoritos. El precio final que pagó, incluyendo el $21\%$ de IVA, fue de $\text{RD\$}\ 87\,120…
Álex compró una computadora para jugar sus videojuegos favoritos. El precio final que pagó, incluyendo el $21\%$ de IVA, fue de $\text{RD\$}\ 87\,120$. Su amigo le dice que la computadora costaba $\text{RD\$}\ 72\,000$ antes de impuestos. ¿Tiene razón su amigo? Realiza los cálculos necesarios para encontrar el precio base (sin IVA) de la computadora.
Un servicio de streaming de películas cuesta $\text{RD\$}\ 9.99$ al mes. Si decides pagar el año completo de una vez, te ofrecen un descuento del $15\%…
Un servicio de streaming de películas cuesta $\text{RD\$}\ 9.99$ al mes. Si decides pagar el año completo de una vez, te ofrecen un descuento del $15\%$. Sin embargo, este mes hay una promoción especial y, sobre ese precio anual ya rebajado, te descuentan otros $\text{RD\$}\ 10$ fijos. ¿Cuánto ahorrarás en total al año si aprovechas ambas ofertas comparado con pagar mes a mes?
Porcentajes mayores que 100 % y menores que 1 %
Un porcentaje no tiene que estar entre $0$ y $100$.
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Mayor que $100\,\%$: es más que el entero. $250\,\% = 2.5$, así que el $250\,\%$ de 30 es $75$. El $100\,\%$ es la cantidad misma y el $200\,\%$ es el doble.
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Menor que $1\,\%$: es menos que un centésimo. $0.2\,\% = \dfrac{0.2}{100} = 0.002$, así que el $0.2\,\%$ de $5{,}000$ es $10$.
Calcula, razonando cada paso: a) El $200\%$ de $45$. (Piensa: el $200\%$ de una cantidad es su doble.) b) El $150\%$ de $60$. c) El $0.5\%$ de $800$. d) El $300\%$ de…
Calcula, razonando cada paso:
- a) El $200\%$ de $45$. (Piensa: el $200\%$ de una cantidad es su doble.)
- b) El $150\%$ de $60$.
- c) El $0.5\%$ de $800$.
- d) El $300\%$ de $12$.
Los porcentajes también pueden ser menores que el $1\%$: a) Un suero fisiológico contiene un $0.9\%$ de sal. ¿Cuántos gramos de sal hay en una bolsa de $500$ g de suero?…
Los porcentajes también pueden ser menores que el $1\%$:
- a) Un suero fisiológico contiene un $0.9\%$ de sal. ¿Cuántos gramos de sal hay en una bolsa de $500$ g de suero?
- b) Un lote de $2,000$ kg de harina tiene un $0.05\%$ de impurezas. ¿Cuántos kilogramos de impurezas contiene?
El número de socios de un club de lectura juvenil ha aumentado este año un $150\%$ respecto al año pasado, cuando había $24$ socios. a) Un alumno dice: «aumentar un…
El número de socios de un club de lectura juvenil ha aumentado este año un $150\%$ respecto al año pasado, cuando había $24$ socios.
- a) Un alumno dice: «aumentar un $150\%$ significa que ahora hay $150$ socios». Explica su error.
- b) Calcula cuántos socios hay ahora. Recuerda: aumentar un $150\%$ significa sumar al número inicial su $150\%$.
- c) Si el año que viene el club quiere llegar a triplicar los socios del año pasado, ¿qué porcentaje de aumento necesita respecto al año pasado?
Una mirada al interés simple
Cuando pides un préstamo a una cooperativa o ahorras en un banco, el dinero produce un interés. En el interés simple se calcula siempre sobre el capital inicial.
Resumen
Vuelve al principio: con $20\,\%$ de descuento y $18\,\%$ de ITBIS, Wilkin multiplica el precio por $0.80 \times 1.18 = 0.944$, así que paga un poco menos que el precio de la etiqueta.