Rechnen mit Wurzeln

Wir vereinfachen Terme, indem wir gleichartige Wurzeln zusammenfassen. Stell dir vor, $\sqrt{3}$ wäre wie ein „x“ oder ein „Apfel“. Berechne die folgenden Summen und Differenzen:

1. $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$

2. $7\sqrt[3]{5} - 2\sqrt[3]{5}$

3. $4\sqrt{6} + \sqrt{6} - 8\sqrt{6}$

Der exakte Wert des Terms $E = \sqrt{75} - \sqrt{27}$ soll berechnet werden.

1. a) Schätze ab: Bestimme ohne Taschenrechner und ohne die Wurzeln bereits zu vereinfachen, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen $\sqrt{75}$ liegt und zwischen welchen $\sqrt{27}$ liegt. Gib mithilfe dieser ganzzahligen Näherungen ein geschätztes Intervall für das Ergebnis der Differenz $E$ an.
2. b) Berechne: Zerlege die Radikanden in Primfaktoren, ziehe aus beiden Wurzeln alle möglichen Faktoren heraus und fasse die gleichartigen Wurzeln zusammen, um den exakten Wert in der Form $k\sqrt{3}$ zu erhalten.
3. c) Überprüfe: Bestimme mit der Näherung $\sqrt{3} \approx 1,73$ den Dezimalwert deines Ergebnisses aus Teilaufgabe b) und begründe, ob deine anfängliche Abschätzung zum erhaltenen Ergebnis passte.

Um Wurzeln zu addieren und zu subtrahieren, müssen sie gleichartig sein (gleicher Wurzelexponent und gleicher Radikand). Vereinfache die folgenden Wurzeln, indem du die Zahlen in Primfaktoren zerlegst, und rechne dann:

1. a) $3\sqrt{8} - 5\sqrt{2} + \sqrt{50}$
2. b) $\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27}$
3. c) $2\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{54}$

Verwende die Regel für das Produkt von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten ($\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$), um diese Rechnungen zu einer einzigen Wurzel zusammenzufassen und, falls möglich, das exakte Endergebnis zu berechnen:

• $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$

• $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$

• $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}$

• $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$

Manchmal enthalten die Zahlen unter der Wurzel Faktoren, die „übrig sind“ und herausgezogen werden können. Ziehe aus den folgenden Wurzeln alle Faktoren vor die Wurzel, die möglich sind.

• $\sqrt{2^5}$

• $\sqrt{3^3}$

• $\sqrt{5^4}$

• $\sqrt[3]{2^4}$

Führe die folgenden Multiplikationen und Divisionen von Wurzeln aus. Denke daran: Zum Rechnen müssen die Wurzeln denselben Wurzelexponenten haben. Vereinfache das Endergebnis, wenn möglich, indem du Faktoren aus der Wurzel ziehst.

1. a) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{2}$
2. b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}$
3. c) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$
4. d) $\sqrt{2x} \cdot \sqrt{8x^3}$

Berechne den Umfang und den Flächeninhalt eines rechteckigen Grundstücks, dessen Abmessungen als Wurzeln gegeben sind. Die Grundseite ist $\sqrt{27}$ Meter lang und die Höhe $\sqrt{3}$ Meter. Vereinfache die Ergebnisse so weit wie möglich.

Steht eine Wurzel in einer anderen Wurzel, können wir sie vereinfachen, indem wir die Wurzelexponenten multiplizieren ($\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$). Vereinfache die folgenden Terme zu einer einzigen Wurzel:

• $\sqrt{\sqrt{81}}$

• $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$

• $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$

Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind eine andere Schreibweise für Wurzeln. Nutze diesen Zusammenhang, um die folgenden Terme zu vereinfachen, und gib das Endergebnis in Wurzelform an:

1. a) Schreibe $5^{3/4}$ als Wurzel.
2. b) Schreibe $\sqrt[5]{2^3}$ als Potenz.
3. c) Berechne, indem du zuerst als Potenz schreibst: $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$
4. d) Vereinfache: $\frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt{x}}$

Wende die Regeln für die Wurzel aus einer Wurzel und für die Potenz einer Wurzel an, um die folgenden Terme zu einer einzigen, nicht weiter vereinfachbaren Wurzel zu vereinfachen:

1. a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
2. b) $(\sqrt[3]{2})^6$
3. c) $\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}}$ (Tipp: Ziehe die erste 2 unter die zweite Wurzel.)

Gib das Ergebnis der folgenden Rechnung als eine einzige Potenz mit gebrochenem Exponenten an. Dazu musst du alle Wurzeln in Potenzen umwandeln, die Potenzgesetze (Produkt und Quotient von Potenzen mit gleicher Basis) anwenden und den Endexponenten vereinfachen.

$$ \frac{\sqrt[4]{a^3 \cdot \sqrt{a}}}{\sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a^2}}} $$

Wir wollen ein quadratisches Grundstück einzäunen, dessen Gesamtflächeninhalt $225 \text{ m}^2$ beträgt. Um zu wissen, wie viele Meter Zaun wir brauchen, müssen wir zuerst berechnen, wie lang die Seite des Quadrats ist.

1. Berechne die Seitenlänge ($l$), wenn der Flächeninhalt $l^2 = 225$ beträgt.

2. Berechne den gesamten Umfang des Grundstücks.

Du willst einen neuen Fernseher kaufen, und die Größe wird als Bilddiagonale in Zoll angegeben. Der Bildschirm ist rechteckig mit einer Breite von 40 cm und einer Höhe von 30 cm. Berechne mit dem Satz des Pythagoras ($h = \sqrt{a^2 + b^2}$), wie lang die Diagonale des Bildschirms in Zentimetern ist.

Hinweis: Das Ergebnis ist eine exakte Wurzel.

Wir wollen ein Spannseil anbringen, um einen senkrechten Mast von 4 Metern Höhe zu sichern. Das Seil wird in einem Abstand von $\sqrt{20}$ Metern vom Fußpunkt des Masts am Boden verankert. Berechne mit dem Satz des Pythagoras die exakte benötigte Länge des Seils. Gib das Ergebnis als vereinfachte Wurzel an.

Wir haben einen würfelförmigen Wassertank. Sein Gesamtvolumen beträgt $128 \text{ m}^3$. Berechne, wie lang die Kante des Tanks ist. Gib das Ergebnis als vereinfachte Wurzel an (Faktoren vor die Wurzel ziehen) und verwende keine Dezimalzahlen.

(Hilfe: Denke daran, dass das Volumen eines Würfels $V = \text{Kante}^3$ ist.)

In einem Architekturbüro wurde ein dreieckiges Zierelement für eine Fassade entworfen. Das Element ist ein gleichschenkliges Dreieck (zwei gleich lange Seiten und eine ungleiche).

Wir wissen, dass die beiden gleich langen Seiten jeweils $\sqrt{45}$ Meter lang sind und die Basis (die ungleiche Seite) $\sqrt{72}$ Meter lang ist.

Berechne mit dem Satz des Pythagoras und den Regeln für Wurzeln (Faktoren herausziehen und vereinfachen) die exakte Höhe ($h$) dieses Dreiecks. Gib das Ergebnis als ganze Zahl oder als so weit wie möglich vereinfachte Wurzel an.