Aufgaben: Rechnen mit Wurzeln

Wir vereinfachen Terme, indem wir gleichartige Wurzeln zusammenfassen. Stell dir vor, $\sqrt{3}$ wäre wie ein „x“ oder ein „Apfel“. Berechne die folgenden Summen und Differenzen:

1. $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$

2. $7\sqrt[3]{5} - 2\sqrt[3]{5}$

3. $4\sqrt{6} + \sqrt{6} - 8\sqrt{6}$

Verwende die Regel für das Produkt von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten ($\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$), um diese Rechnungen zu einer einzigen Wurzel zusammenzufassen und, falls möglich, das exakte Endergebnis zu berechnen:

• $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$

• $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$

• $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}$

• $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$

Steht eine Wurzel in einer anderen Wurzel, können wir sie vereinfachen, indem wir die Wurzelexponenten multiplizieren ($\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$). Vereinfache die folgenden Terme zu einer einzigen Wurzel:

• $\sqrt{\sqrt{81}}$

• $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$

• $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$

Manchmal enthalten die Zahlen unter der Wurzel Faktoren, die „übrig sind“ und herausgezogen werden können. Ziehe aus den folgenden Wurzeln alle Faktoren vor die Wurzel, die möglich sind.

• $\sqrt{2^5}$

• $\sqrt{3^3}$

• $\sqrt{5^4}$

• $\sqrt[3]{2^4}$

Wir wollen ein quadratisches Grundstück einzäunen, dessen Gesamtflächeninhalt $225 \text{ m}^2$ beträgt. Um zu wissen, wie viele Meter Zaun wir brauchen, müssen wir zuerst berechnen, wie lang die Seite des Quadrats ist.

1. Berechne die Seitenlänge ($l$), wenn der Flächeninhalt $l^2 = 225$ beträgt.

2. Berechne den gesamten Umfang des Grundstücks.

Du willst einen neuen Fernseher kaufen, und die Größe wird als Bilddiagonale in Zoll angegeben. Der Bildschirm ist rechteckig mit einer Breite von 40 cm und einer Höhe von 30 cm. Berechne mit dem Satz des Pythagoras ($h = \sqrt{a^2 + b^2}$), wie lang die Diagonale des Bildschirms in Zentimetern ist.

Hinweis: Das Ergebnis ist eine exakte Wurzel.

In einer Klassenarbeit in Klasse 9 soll Emilia die Rechnung $\sqrt{64 + 36}$ vereinfachen. Auf ihr Blatt schreibt sie: „Da sich die Wurzel auf jeden Summanden verteilt, haben wir $\sqrt{64 + 36} = \sqrt{64} + \sqrt{36} = 8 + 6 = 14$.“ Beflügelt von der Schnelligkeit ihrer Methode versucht sie in der nächsten Aufgabe, $\sqrt{50} - \sqrt{18}$ zu vereinfachen, und schreibt: „$\sqrt{50 - 18} = \sqrt{32}$“.

1. a) Berechne den tatsächlichen Zahlenwert von $\sqrt{64 + 36}$, indem du zuerst die Summe unter der Wurzel bildest, und erkläre, warum Emilias Vorgehen zeigt, dass die Quadratwurzel nicht distributiv über der Addition ist.
2. b) Benenne den inhaltlichen Fehler, den sie in der zweiten Rechnung ($\sqrt{50} - \sqrt{18}$) gemacht hat.
3. c) Löse die Rechnung $\sqrt{50} - \sqrt{18}$ richtig, indem du bei jeder Wurzel Faktoren herausziehst, bis du eine einzige nicht weiter vereinfachbare gleichartige Wurzel erhältst.

Der exakte Wert des Terms $E = \sqrt{75} - \sqrt{27}$ soll berechnet werden.

1. a) Schätze ab: Bestimme ohne Taschenrechner und ohne die Wurzeln bereits zu vereinfachen, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen $\sqrt{75}$ liegt und zwischen welchen $\sqrt{27}$ liegt. Gib mithilfe dieser ganzzahligen Näherungen ein geschätztes Intervall für das Ergebnis der Differenz $E$ an.
2. b) Berechne: Zerlege die Radikanden in Primfaktoren, ziehe aus beiden Wurzeln alle möglichen Faktoren heraus und fasse die gleichartigen Wurzeln zusammen, um den exakten Wert in der Form $k\sqrt{3}$ zu erhalten.
3. c) Überprüfe: Bestimme mit der Näherung $\sqrt{3} \approx 1,73$ den Dezimalwert deines Ergebnisses aus Teilaufgabe b) und begründe, ob deine anfängliche Abschätzung zum erhaltenen Ergebnis passte.

Führe die folgenden Multiplikationen und Divisionen von Wurzeln aus. Denke daran: Zum Rechnen müssen die Wurzeln denselben Wurzelexponenten haben. Vereinfache das Endergebnis, wenn möglich, indem du Faktoren aus der Wurzel ziehst.

1. a) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{2}$
2. b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}$
3. c) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$
4. d) $\sqrt{2x} \cdot \sqrt{8x^3}$

Ziehe aus den folgenden Wurzeln alle Faktoren heraus, die möglich sind. Beachte den Wurzelexponenten und die Exponenten der Radikanden.

1. a) $\sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}$
2. b) $\sqrt[3]{81}$
3. c) $\sqrt{12x^3 y^4}$
4. d) $\sqrt[4]{32}$

Berechne den Umfang und den Flächeninhalt eines rechteckigen Grundstücks, dessen Abmessungen als Wurzeln gegeben sind. Die Grundseite ist $\sqrt{27}$ Meter lang und die Höhe $\sqrt{3}$ Meter. Vereinfache die Ergebnisse so weit wie möglich.

Um Wurzeln zu addieren und zu subtrahieren, müssen sie gleichartig sein (gleicher Wurzelexponent und gleicher Radikand). Vereinfache die folgenden Wurzeln, indem du die Zahlen in Primfaktoren zerlegst, und rechne dann:

1. a) $3\sqrt{8} - 5\sqrt{2} + \sqrt{50}$
2. b) $\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27}$
3. c) $2\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{54}$

Wir haben einen würfelförmigen Wassertank. Sein Gesamtvolumen beträgt $128 \text{ m}^3$. Berechne, wie lang die Kante des Tanks ist. Gib das Ergebnis als vereinfachte Wurzel an (Faktoren vor die Wurzel ziehen) und verwende keine Dezimalzahlen.

(Hilfe: Denke daran, dass das Volumen eines Würfels $V = \text{Kante}^3$ ist.)

Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind eine andere Schreibweise für Wurzeln. Nutze diesen Zusammenhang, um die folgenden Terme zu vereinfachen, und gib das Endergebnis in Wurzelform an:

1. a) Schreibe $5^{3/4}$ als Wurzel.
2. b) Schreibe $\sqrt[5]{2^3}$ als Potenz.
3. c) Berechne, indem du zuerst als Potenz schreibst: $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$
4. d) Vereinfache: $\frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt{x}}$

Wende die Regeln für die Wurzel aus einer Wurzel und für die Potenz einer Wurzel an, um die folgenden Terme zu einer einzigen, nicht weiter vereinfachbaren Wurzel zu vereinfachen:

1. a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
2. b) $(\sqrt[3]{2})^6$
3. c) $\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}}$ (Tipp: Ziehe die erste 2 unter die zweite Wurzel.)

Wir wollen ein Spannseil anbringen, um einen senkrechten Mast von 4 Metern Höhe zu sichern. Das Seil wird in einem Abstand von $\sqrt{20}$ Metern vom Fußpunkt des Masts am Boden verankert. Berechne mit dem Satz des Pythagoras die exakte benötigte Länge des Seils. Gib das Ergebnis als vereinfachte Wurzel an.

Um den Zahlenterm $M = \dfrac{\sqrt{72} \cdot \sqrt{54}}{\sqrt{3}}$ zu vereinfachen, schlagen zwei Schüler unterschiedliche Wege vor:

• Marcos' Methode: Die drei Faktoren unter einer einzigen Quadratwurzel zusammenfassen, indem man die Regeln für Multiplikation und Division von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten anwendet ($\sqrt{\frac{72 \cdot 54}{3}}$), den Bruch kürzen, bevor man große Zahlen multipliziert, und am Ende Faktoren herausziehen.

• Saras Methode: $72$ und $54$ gleich zu Beginn in Primfaktoren zerlegen, aus jeder Wurzel alle möglichen Faktoren herausziehen, die Faktoren vor den Wurzeln und die entstehenden Wurzeln multiplizieren und den Quotienten am Ende vereinfachen.

1. a) Löse den Term Schritt für Schritt mit Marcos' Methode.
2. b) Löse denselben Term Schritt für Schritt mit Saras Methode.
3. c) Vergleiche beide Verfahren: Welcher der beiden Wege kam dir direkter vor und mit geringerem Risiko für Kopfrechenfehler? Begründe deine Antwort.

Im Freizeitpark Movie Park Germany in Bottrop überprüfen Techniker die Geschwindigkeit, die eine Freifallgondel erreicht. Nach physikalischen Modellen ergibt sich die theoretische Geschwindigkeit $v$ (in Metern pro Sekunde, $\text{m/s}$), die ein Körper beim freien Fall aus einer Höhe $h$ (in Metern) erreicht, wenn man den Luftwiderstand vernachlässigt, aus der Formel:

$$v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}$$

Dabei ist $g$ die Erdbeschleunigung, die für diese Tests auf $g = 10\text{ m/s}^2$ gerundet wird.

Es werden zwei Kontrolltests durchgeführt: einer aus einer mittleren Höhe $h_1 = 20\text{ m}$ und einer aus der maximalen Höhe $h_2 = 45\text{ m}$.

1. a) Setze die Daten ein und berechne die exakten theoretischen Geschwindigkeiten $v_1$ und $v_2$, indem du Faktoren aus den Wurzeln ziehst, bis du jeweils eine ganze Zahl erhältst.
2. b) Ein Mitarbeiter behauptet: „Da der Höhenunterschied $45 - 20 = 25\text{ m}$ beträgt, muss die Differenz beider Geschwindigkeiten ($v_2 - v_1$) mit der Geschwindigkeit übereinstimmen, die die Gondel beim Fall aus $25\text{ m}$ erreichen würde.“ Berechne die Geschwindigkeit, die zu einem Fall aus $25\text{ m}$ gehört, und begründe mithilfe der Eigenschaften von Wurzeln, warum die Behauptung des Mitarbeiters falsch ist.

In einem Architekturbüro wurde ein dreieckiges Zierelement für eine Fassade entworfen. Das Element ist ein gleichschenkliges Dreieck (zwei gleich lange Seiten und eine ungleiche).

Wir wissen, dass die beiden gleich langen Seiten jeweils $\sqrt{45}$ Meter lang sind und die Basis (die ungleiche Seite) $\sqrt{72}$ Meter lang ist.

Berechne mit dem Satz des Pythagoras und den Regeln für Wurzeln (Faktoren herausziehen und vereinfachen) die exakte Höhe ($h$) dieses Dreiecks. Gib das Ergebnis als ganze Zahl oder als so weit wie möglich vereinfachte Wurzel an.

Vereinfache den folgenden Zahlenterm so weit wie möglich. Dazu musst du die Radikanden in Primfaktoren zerlegen, Faktoren vor die Wurzel ziehen und mit Brüchen rechnen. Das Endergebnis soll mit einer einzigen nicht weiter vereinfachbaren Wurzel angegeben werden.

$$ A = 2\sqrt{75} - \sqrt{\frac{147}{4}} + \frac{5}{2}\sqrt{12} - \sqrt{300} $$

Wir haben drei Wassertanks mit unterschiedlichen Würfelformen.

• Tank A hat ein Fassungsvermögen von $2$ Kubikmetern.

• Tank B hat eine Kante, die genau doppelt so lang ist wie die Kante von Tank A.

• Tank C hat eine Kante, die halb so lang ist wie die Kante von Tank A.

• Berechne die exakte Länge der Kante von Tank A und gib sie als Wurzel an.

• Berechne das exakte Volumen von Tank B und Tank C mithilfe der Potenz- und Wurzelgesetze. Verwende keine Dezimalzahlen.

Gib das Ergebnis der folgenden Rechnung als eine einzige Potenz mit gebrochenem Exponenten an. Dazu musst du alle Wurzeln in Potenzen umwandeln, die Potenzgesetze (Produkt und Quotient von Potenzen mit gleicher Basis) anwenden und den Endexponenten vereinfachen.

$$ \frac{\sqrt[4]{a^3 \cdot \sqrt{a}}}{\sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a^2}}} $$

Überprüfe, ob die irrationale Zahl $\phi = 1 + \sqrt{5}$ eine Lösung der quadratischen Gleichung ist:

$$ x^2 - 2x - 4 = 0 $$

Setze dazu $x$ durch $(1 + \sqrt{5})$ ein, multipliziere das Quadrat des Binoms (binomische Formel) aus und fasse gleichartige Terme zusammen, bis du siehst, ob das Endergebnis null ist.

Das Volumen einer riesigen Kugel in einem Planetarium beträgt $500 \pi$ Kubikmeter.

Die Formel für das Volumen einer Kugel lautet $V = \frac{4}{3}\pi r^3$:

1. Löse nach dem Radius $r$ in Abhängigkeit vom Volumen auf.

2. Setze das gegebene Volumen ein und berechne den exakten Wert des Radius, indem du die Wurzel so weit wie möglich vereinfachst (Faktoren vor die dritte Wurzel ziehen).

Führe die folgenden Rechnungen aus, indem du die Terme zu einer einzigen Wurzel zusammenfasst. Denke daran: Um Wurzeln mit verschiedenem Wurzelexponenten zu multiplizieren oder zu dividieren, musst du sie zuerst auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten bringen (kleinstes gemeinsames Vielfaches der Wurzelexponenten).

1. a) $ \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[6]{8} $

1. b) $ \frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt[6]{x}} $

Ein Bakterium hat quadratische Form und einen Flächeninhalt von $2,25 \cdot 10^{-10}$ Quadratmetern.

Berechne, wie lang die Seite des Bakteriums ist. Gib das Endergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise und in Millimetern an. (Denke daran, dass $\sqrt{a \cdot 10^n} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{10^n}$.)

Eine Architektin plant ein rechteckiges Beet für einen Fußgängerplatz in Düsseldorf. Der Entwurf verlangt, dass der Flächeninhalt genau $\sqrt{216}\text{ m}^2$ beträgt und die Breite $\sqrt{6}\text{ m}$ misst.

1. a) Stelle die Gleichung auf, die den Flächeninhalt mit den Seitenlängen verknüpft, löse sie nach der Länge auf und berechne diese, indem du den Quotienten der Wurzeln so weit wie möglich vereinfachst.
2. b) Für einen weiteren Grünstreifen wird eine Randeinfassung mit der genauen Länge $L = 5\sqrt{2}\text{ Meter}$ bestellt. Die Einfassung wird aus zwei aneinandergesetzten Stücken zusammengefügt, deren Längen durch Quadratwurzeln nicht exakt ziehbarer, verschiedener natürlicher Zahlen gegeben sind, also $\sqrt{a} + \sqrt{b} = 5\sqrt{2}$, wobei $a$ und $b$ natürliche Zahlen sind mit $a < b$ und keine von beiden eine Quadratzahl ist. Bestimme alle möglichen Paare $(a, b)$, die diese Bedingungen erfüllen, und begründe ausführlich, warum es keine weiteren Lösungen gibt.

Betrachte die folgende Gleichung mit verschachtelten Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten:

$$\sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt[3]{x} = 8$$

1. a) Um die linke Seite zu vereinfachen, gibt es zwei theoretische Strategien:

• Strategie A (Wurzelgesetze): Den äußeren $x$ unter die Kubikwurzel ziehen, das Gesetz für die Wurzel aus einer Wurzel anwenden und schließlich Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten multiplizieren.

• Strategie B (gebrochene Exponenten): Jede Wurzel und jeden Faktor als Potenz mit gebrochenem Exponenten schreiben und die Potenzgesetze für Produkte und Potenzen von Potenzen bei gleicher Basis anwenden.

Wähle eine der beiden Strategien, führe sie Schritt für Schritt durch und zeige, dass sich die linke Seite genau zu $x$ vereinfacht.

1. b) Gib mithilfe des Ergebnisses an, welchen Wert $x$ annehmen muss, damit die Gleichung erfüllt ist.
2. c) Ein Mitschüler behauptet, $x = -8$ könne in den reellen Zahlen ebenfalls eine gültige Lösung sein, weil $(-8) \cdot \sqrt[3]{-8} = 16 > 0$ gilt und die Quadratwurzel existiert. Setze $x = -8$ in die linke Seite der ursprünglichen Gleichung ein, berechne den Zahlenwert unter Beachtung der Rechenreihenfolge und der Vorzeichen und begründe, warum er als Lösung der Gleichung ausscheidet.

Projektaufgabe zum Thema. Wie würdest du das Material für den Umbau bei dir zu Hause optimal einsetzen? Verwandle zwei Zimmer in flächengleiche quadratische Räume, indem du mit Wurzeln rechnest.

1. Reale Daten erheben: Miss mit einem Maßband Länge und Breite von zwei Zimmern bei dir zu Hause. Berechne in einer Tabellenkalkulation ihre tatsächlichen Flächeninhalte $A_1$ und $A_2$, auf ganze Zahlen gerundet (zum Beispiel $18\text{ m}^2$ und $8\text{ m}^2$).

2. Faktoren herausziehen: Stell dir vor, du gestaltest jedes Zimmer als quadratische Fläche um. Stelle die genauen Seitenlängen auf: $l_1 = \sqrt{A_1}$ und $l_2 = \sqrt{A_2}$. Zerlege die Radikanden in Primfaktoren und ziehe Faktoren heraus, um vereinfachte Wurzeln zu erhalten.

3. Rechnen mit Wurzeln: Berechne die benötigte Gesamtlänge der Fußleiste, indem du die Umfänge beider Zimmer addierst ($4l_1 + 4l_2$) und dabei gleichartige Wurzeln im exakten Wert zusammenfasst. Bestimme auch die exakte Diagonale des größeren Zimmers ($d = l_1 \cdot \sqrt{2}$).

4. Begründeter Vorschlag: Verfasse einen kurzen Bericht mit der Tabelle der Maße, der exakten algebraischen Rechnung und dem auf zwei Dezimalstellen gerundeten Näherungswert, um die Fußleiste zu $2,75\text{ €/m}$ zu veranschlagen.

Bewertet werden:

• Genauigkeit bei der Messung und bei der Modellierung quadratischer Flächen.

• Geschick beim Zerlegen, Herausziehen von Faktoren und Addieren gleichartiger Wurzeln.

• Übersichtlichkeit des Berichts, der die Genauigkeit der exakten Rechnung der handelsüblichen Rundung gegenüberstellt.