Satz des Pythagoras

Bestimme die Länge der unbekannten Seite ($c$) im folgenden rechtwinkligen Dreieck, wenn du weißt, dass die Hypotenuse $13$ cm misst und eine der Katheten $5$ cm.

Bei einem Fußballtraining läuft ein Spieler in gerader Linie von einer Ecke des Spielfelds zur gegenüberliegenden Ecke. Wenn das Feld $80$ Meter lang und $60$ Meter breit ist, welche Strecke legt der Spieler auf seinem diagonalen Lauf zurück?

Wir wollen ein Kabel von der Spitze einer $12$ Meter hohen Mobilfunkantenne bis zu einem Ankerpunkt am Boden spannen, der $9$ Meter vom Fuß der Antenne entfernt ist. Wie lang muss das Kabel sein, damit es vollständig gespannt ist?

Um ein Volleyballnetz auf dem Schulhof zu sichern, wurde ein Spannseil von der Spitze eines Pfostens zu einem Anker im Boden gespannt. Der Pfosten ist $2,4$ Meter hoch und die Entfernung vom Fuß des Pfostens bis zum Anker beträgt $1,8$ Meter. Wenn wir ein gleichartiges Seil an einem anderen Pfosten anbringen wollen, der eine maßstäbliche Vergrößerung des ersten im Maßstab $k = 1,5$ ist, wie lang wird das neue Spannseil?

Eine aufgeklappte Stehleiter hat eine senkrechte Höhe von $2,4$ Metern. Wenn der Abstand zwischen den Füßen am Boden $1,4$ Meter beträgt, wie lang ist jeder der beiden Schenkel der Leiter? Hilfe: Beachte, dass die Höhe die Leiter in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke teilt.

Fernsehbildschirme werden anhand ihrer Diagonale in Zoll angegeben. Wenn ein Fernseher eine Breite von $32$ cm und eine Höhe von $24$ cm hat, wie viele Zentimeter misst seine Diagonale?

In einem Park gibt es eine Skaterampe, die von der Seite gesehen ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Die Grundseite der Rampe misst $4\text{ Meter}$ und die maximale Höhe beträgt $3\text{ Meter}$. In einer Entfernung von $1,6\text{ Meter}$ vom Fuß der Rampe wurde eine senkrechte Verstärkungsstütze angebracht.

• a) Berechne die gesamte Länge der Rampe (der schrägen Fläche).

• b) Berechne mithilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken die Höhe der senkrechten Stütze.

Überprüfe, ob ein Dreieck mit den Seitenlängen $7$ cm, $10$ cm und $12$ cm ein rechtwinkliges Dreieck ist. Prüfe dazu, ob für seine Seiten die Gleichung des Satzes des Pythagoras erfüllt ist.

Um die Länge der Diagonale eines rechteckigen Fernsehbildschirms zu berechnen, der $40\text{ cm}$ breit und $30\text{ cm}$ hoch ist, schreibt Lea in ihr Heft den folgenden Rechenweg:

$d = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{40^2} + \sqrt{30^2} = 40 + 30 = 70\text{ cm}$.

1. a) Erkläre ausführlich, welchen algebraischen Fehler Lea mit der Quadratwurzel gemacht hat und warum man die Wurzel aus einer Summe nicht in die Summe der Wurzeln aufteilen darf.
2. b) Begründe geometrisch, ohne die richtige Rechnung bereits auszuführen, warum ein Ergebnis von $70\text{ cm}$ für diese Diagonale unmöglich ist (denke an die Dreiecksungleichung: Die Länge jeder Seite eines Dreiecks muss kleiner sein als die Summe der beiden anderen).
3. c) Korrigiere Leas Rechenweg und bestimme die tatsächliche Länge der Diagonale dieses Bildschirms.

Berechne den Umfang einer Raute, deren Diagonalen $16$ cm und $12$ cm messen. Denke daran, dass die Diagonalen einer Raute senkrecht aufeinander stehen und sich in ihrem Mittelpunkt schneiden, sodass vier rechtwinklige Dreiecke entstehen.

Ein Leuchtturm sendet ein Licht aus, das bis zu einem Schiff reicht. Der Leuchtturm ist $30$ Meter hoch und das Schiff befindet sich in einer waagerechten Entfernung von $40$ Metern vom Fuß des Leuchtturms. Wie groß ist die direkte Entfernung zwischen der Lampe des Leuchtturms und dem Schiff?

Ein Basketballfeld der Schule hat die offiziellen Maße $28\text{ m}$ Länge mal $15\text{ m}$ Breite. Der Sportlehrer bittet seine Schüler, in gerader Linie von einer Ecke zur diagonal gegenüberliegenden Ecke zu laufen.

1. a) Schätze, bevor du mit Wurzeln rechnest, mit einer Begründung: Begründe, warum die zurückgelegte diagonale Strecke zwingend größer als $28\text{ m}$ und kleiner als $43\text{ m}$ sein muss. Zwischen welchen beiden ganzen Zahlen liegt das Ergebnis deiner Meinung nach?
2. b) Wende den Satz des Pythagoras an, um die genaue Länge der Diagonale zu berechnen, und runde das Ergebnis auf Zentimeter (zwei Dezimalstellen in Metern).
3. c) Vergleiche den erhaltenen Wert mit deiner vorherigen Schätzung und beurteile kritisch, ob das Ergebnis auf einem Sportfeld praktisch sinnvoll ist.

Ein rechteckiges Smartphone-Display hat eine Höhe von $12\text{ cm}$ und eine Breite von $5\text{ cm}$. Ein Tablet ist dem Smartphone ähnlich und seine kürzere Seite misst $15\text{ cm}$. Berechne zuerst die Diagonale des Smartphones mit dem Satz des Pythagoras und bestimme dann mithilfe des Streckfaktors die Diagonale des Tablets.

Ein Garten hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Seine beiden gleich langen Seiten messen $13\text{ Meter}$ und die ungleiche Seite (die Basis) misst $10\text{ Meter}$. Wir wollen ein Modell dieses Gartens bauen, das eine Verkleinerung ist und dessen Basis im Modell $20\text{ cm}$ beträgt. Berechne:

• a) Die tatsächliche Höhe des Gartens.

• b) Den Flächeninhalt, den das Modell einnimmt, in $\text{cm}^2$.

Berechne den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge $8\text{ cm}$. Denke daran, dass sich ein regelmäßiges Sechseck in sechs gleichseitige Dreiecke zerlegen lässt. Du musst den Satz des Pythagoras verwenden, um das Apothema des Sechsecks zu bestimmen, bevor du seinen gesamten Flächeninhalt berechnest.

Eine Tischlerwerkstatt muss ein Verbindungsstück entwerfen, das die Form eines rechtwinkligen Dreiecks hat und dessen Hypotenuse genau $\sqrt{65}\text{ dm}$ misst.

1. a) Finde zwei verschiedene Paare positiver ganzer Zahlen $(a, b)$, die die Längen der Katheten in Dezimetern sein können. Zeige mithilfe des Satzes des Pythagoras rechnerisch, dass beide Paare genau die geforderte Hypotenuse ergeben.
2. b) Wenn die Werkstatt entscheidet, dass das Stück zusätzlich zum rechten Winkel ein gleichschenkliges Dreieck sein soll (beide Katheten gleich lang) und die Hypotenuse von $\sqrt{65}\text{ dm}$ beibehalten wird, stelle eine Gleichung auf und bestimme, wie lang jede der Katheten genau sein müsste. Können sie in diesem zweiten Fall eine ganzzahlige Anzahl Dezimeter messen? Begründe deine Antwort.

Bei der Waldbrandüberwachung in den Bayerischen Alpen befindet sich ein Beobachtungsposten der Forstverwaltung in einer Höhe von $1900\text{ m}$. Der Wächter entdeckt eine Rauchsäule, deren Position auf der Landkarte $1200\text{ m}$ östlich und $900\text{ m}$ nördlich des Turms liegt, jedoch in einer Senke in tieferer Lage, auf einer Höhe von $1100\text{ m}$.

1. a) Modelliere die Situation in der waagerechten Ebene und berechne die Entfernung in gerader Linie auf der Karte (waagerechte Entfernung) zwischen dem Beobachtungsposten und der Rauchsäule.
2. b) Modelliere die Situation dreidimensional unter Berücksichtigung des Höhenunterschieds zwischen dem Turm und dem Feuer. Berechne die tatsächliche, direkte Strecke, die eine Aufklärungsdrohne in gerader Linie im Raum vom Beobachtungsposten bis zum Entstehungsbrand zurücklegen würde.

Ein Paketdienst verwendet Kartons in Form eines Quaders. Einer seiner größten Kartons hat die Maße $60\text{ cm}$ Länge, $45\text{ cm}$ Breite und $30\text{ cm}$ Höhe. Ein Kunde muss ein starres Rohr verschicken, das genau $82\text{ cm}$ lang ist.

Benutze den Satz des Pythagoras, um zu entscheiden, ob das Rohr in den Karton passt (diagonal angeordnet, zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken des Innenraums), und begründe deine Antwort mit den nötigen Rechnungen.

Ein Tischler entwirft zwei ähnliche dreieckige Regale für die Ecken eines Zimmers. Das kleine Regal hat zwei Seiten (Katheten) von $30\text{ cm}$ und $40\text{ cm}$. Das große Regal hat einen Umfang von $240\text{ cm}$. Wie lang ist die längste Seite (Hypotenuse) des großen Regals?

Zwei Gebäude werfen zur selben Tageszeit ihren Schatten. Gebäude A hat eine Höhe von $15\text{ Meter}$ und sein Schatten misst $12\text{ Meter}$. Gebäude B steht daneben und wirft einen Schatten von $20\text{ Meter}$.

• a) Wie hoch ist Gebäude B?

• b) Wenn wir die Spitze jedes Gebäudes mit dem Ende seines Schattens verbinden, entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Berechne die Länge dieser gedachten Linien (Hypotenusen) für beide Gebäude.

In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe auf die Hypotenuse diese in zwei Abschnitte der Längen $9\text{ cm}$ und $16\text{ cm}$.

• a) Berechne die Höhe des Dreiecks mit dem Höhensatz ($h^2 = m \cdot n$, wobei $m$ und $n$ die beiden Hypotenusenabschnitte sind).

• b) Berechne, nachdem du die Höhe bestimmt hast, mit dem Satz des Pythagoras die Längen der beiden Katheten des ursprünglichen Dreiecks.

Ein Architekt hat ein Glasfenster in Form eines gleichschenkligen Dreiecks entworfen, dessen Basis $12\text{ m}$ misst und dessen gleich lange Seiten jeweils $10\text{ m}$ messen. Aus Beleuchtungsgründen muss er genau auf halber Höhe des Dreiecks eine waagerechte Querstrebe anbringen.

Berechne zuerst die Gesamthöhe des Glasfensters mit dem Satz des Pythagoras und verwende anschließend die Ähnlichkeit von Dreiecken, um die Länge der waagerechten Querstrebe zu bestimmen.

Eine Werbefirma hat eine Plane in Form einer Raute hergestellt, um die Fassade eines Gebäudes zu verhüllen. Die Diagonalen der Raute messen $16\text{ m}$ und $12\text{ m}$. Für ein Büro soll ein verkleinertes Modell angefertigt werden, dessen Streckfaktor gegenüber dem Original $k = 0,25$ beträgt.

Berechne den Umfang der Original-Plane (bestimme die Seitenlänge mit dem Satz des Pythagoras) und ermittle daraus den Umfang und den Flächeninhalt des kleinen Modells, ohne seine Seiten einzeln zu berechnen.

Eine Drohne fliegt in einer Höhe von $120\text{ m}$ über ebenem Gelände. In einem bestimmten Moment erfasst ihre Kamera die Spitze eines Kontrollturms. Die Sensoren zeigen, dass die Entfernung in gerader Linie (Diagonale) von der Drohne bis zur Turmspitze $150\text{ m}$ beträgt. Wenn der Schatten des Turms im selben Augenblick $18\text{ m}$ misst, berechne:

1. Die waagerechte Entfernung am Boden von der Drohne bis zur Senkrechten durch den Turm.

2. Die Höhe des Kontrollturms mithilfe der Ähnlichkeit zwischen dem Turm und seinem Schatten, wobei du weißt, dass die Sonnenstrahlen in einem Winkel einfallen, bei dem ein Pfosten von $2\text{ m}$ einen Schatten von $1,2\text{ m}$ wirft.

Ein Garten hat die Form eines regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge $8\text{ m}$. Es soll eine kreisförmige Bewässerungsanlage installiert werden, die genau bis zu den Mittelpunkten jeder Seite reicht (also der Inkreis des Sechsecks).

1. Berechne den Radius dieses Kreises (Apothema des Sechsecks) mit dem Satz des Pythagoras.

2. Wenn ein Plan des Gartens im Maßstab $1:200$ gezeichnet ist, wie groß ist dann der Flächeninhalt des Sechsecks auf dem Plan in $\text{cm}^2$?

Zwei senkrechte Gebäude stehen $16\text{ m}$ voneinander entfernt. Gebäude A ist $24\text{ m}$ hoch und Gebäude B ist $36\text{ m}$ hoch. Es soll ein Glasfaserkabel vom Dach von Gebäude A zum Dach von Gebäude B gespannt werden.

1. Welche Mindestlänge muss das Kabel haben?

2. Ein Techniker befindet sich auf dem Kabel in einer waagerechten Entfernung von $4\text{ m}$ von Gebäude A. In welcher Höhe über dem Boden befindet er sich an dieser Stelle? (Benutze die Ähnlichkeit von Dreiecken.)

Gegeben ist eine regelmäßige quadratische Pyramide, deren Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge $10\text{ cm}$ ist. Die Höhe der Pyramide (vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zur Spitze) beträgt $12\text{ cm}$.

1. Berechne die Höhe einer Seitenfläche (Apothema der Pyramide) mit dem Satz des Pythagoras.

2. Wir bauen eine kleinere, ähnliche Pyramide mit dem Streckfaktor $k = 0,5$. Berechne das Volumen der kleinen Pyramide, wenn das Volumen der ursprünglichen $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Grundfläche} \cdot \text{Höhe}$ beträgt.

In einem Park besteht eine Schaukel aus zwei Metallpfosten, die sich in Form eines „X“ kreuzen. Die Fußpunkte der Pfosten sind am Boden $3\text{ m}$ voneinander entfernt. Die Pfosten sind jeweils $5\text{ m}$ lang, symmetrisch geneigt (sie bilden mit dem Boden denselben Winkel) und kreuzen sich genau in einer Höhe von $2\text{ m}$ über dem Boden.

Berechne den Abstand zwischen den oberen Enden der Pfosten, indem du die Eigenschaften der Ähnlichkeit (Dreiecke in Strahlensatz-Figur) und den Satz des Pythagoras für die nötigen Hilfsstrecken verwendest.

Im Modell eines Spielplatzes hat eine gerade Skateboard-Rampe die Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit einer Grundseite von $12\text{ cm}$ und einer Höhe von $5\text{ cm}$. Die tatsächlich gebaute Rampe im Park ist eine maßstäbliche, ähnliche Vergrößerung mit dem Streckfaktor $k = 20$. Um die Länge der schrägen Fläche der echten Rampe (die Hypotenuse) zu bestimmen, wählen zwei Schüler verschiedene Wege:

• Marcos' Methode: Er berechnet zuerst die Hypotenuse des Modells mit dem Satz des Pythagoras und multipliziert diese Länge dann mit dem Streckfaktor $k = 20$.

• Saras Methode: Sie multipliziert zuerst beide Maße des Modells mit dem Faktor $k = 20$, um die tatsächliche Grundseite und Höhe im Park zu erhalten, und wendet dann den Satz des Pythagoras auf diese größeren Werte an.

1. a) Führe beide Methoden vollständig Schritt für Schritt aus und überprüfe, ob beide zum selben Zahlenergebnis in Metern führen.
2. b) Wenn du diese Aufgabe in einer Klassenarbeit ohne Taschenrechner lösen müsstest, welche der beiden Methoden würdest du wählen und warum? Begründe deine Wahl, indem du den Rechenaufwand analysierst und dich auf die Eigenschaften der Ähnlichkeit stützt.

Die Feuerwehr von Dortmund hat eine Rettungsleiter mit einer festen Länge von $6,5\text{ m}$. Um an einen Balkon zu gelangen, lehnt sie das obere Ende an die senkrechte Fassade eines Gebäudes und stellt den Fuß auf einen waagerechten Gehweg, $2,5\text{ m}$ von der Wand entfernt.

1. a) Modelliere die Situation mit einem rechtwinkligen Dreieck und berechne, in welcher Höhe der Fassade das obere Ende der Leiter in dieser Ausgangsposition liegt.
2. b) Um einen Radweg freizugeben, rückt die Feuerwehr den Fuß der Leiter $0,9\text{ m}$ näher an die Wand (er steht dann $1,6\text{ m}$ von ihr entfernt). Wird das obere Ende an der Wand genau um dieselben $0,9\text{ m}$ nach oben rutschen, um die der Fuß nach innen verschoben wurde? Formuliere vor der Rechnung eine begründete Vermutung und berechne anschließend die neue erreichte Höhe, um deine Vermutung zu überprüfen.
3. c) Vergleiche die waagerechte Änderung des Fußpunkts mit der senkrechten Änderung der Höhe und erkläre, warum wegen des quadratischen Zusammenhangs im Satz des Pythagoras ($a^2 + b^2 = c^2$) die waagerechte und die senkrechte Verschiebung nicht in einem konstanten Verhältnis stehen und im Allgemeinen nicht gleich sind.