Rechnen mit Potenzen

Schreibe die folgenden wiederholten Multiplikationen als Potenz und berechne anschließend ihren Wert. Denke daran: Die Basis ist die Zahl, die sich wiederholt, und der Exponent gibt an, wie oft sie vorkommt.

1. a) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
2. b) $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
3. c) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
4. d) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Wir haben einen klassischen Zauberwürfel. Wir wissen, dass an jeder Kante (Seite) 3 kleine Teile liegen.

Gib mithilfe einer Potenz an, aus wie vielen kleinen Teilen der gesamte Würfel besteht, und berechne den Wert.

Sieh dir zur Hilfe die Zeichnung an:

Verwende die Rechenregel für das Produkt von Potenzen mit gleicher Basis, um diese Terme zu vereinfachen und als eine einzige Potenz zu schreiben. Du musst das Endergebnis nicht ausrechnen, gib nur die entstandene Potenz an.

1. a) $5^3 \cdot 5^4$
2. b) $(-3)^2 \cdot (-3)^5$
3. c) $x^2 \cdot x^6 \cdot x$
4. d) $10^3 \cdot 10^2 \cdot 10^4$

Wende die Rechenregel für den Quotienten (die Division) von Potenzen mit gleicher Basis an, um die folgenden Terme auf eine einzige Potenz zu reduzieren. Denke daran, dass du die Exponenten subtrahieren musst.

1. a) $\frac{7^8}{7^3}$
2. b) $2^{12} : 2^{10}$
3. c) $\frac{(-4)^5}{(-4)^2}$
4. d) $\frac{a^6}{a}$

Berechne den Wert der folgenden Potenzen unter Beachtung der Regeln für Potenzen mit Exponent 0 und für Potenzen mit Basis 1. Achte auf die Vorzeichen.

1. a) $5^0$
2. b) $23^1$
3. c) $1^{15}$
4. d) $(-8)^0$
5. e) $123^0 + 1^{20}$

Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich, indem du die gelernten Potenzgesetze kombinierst (Produkt und Quotient bei gleicher Basis). Gib das Ergebnis als eine einzige Potenz an.

1. a) $\frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4}$
2. b) $\frac{x^7}{x^2 \cdot x^3}$
3. c) $(3^2 \cdot 3^4) : 3^5$
4. d) $\frac{10^6 \cdot 10^2}{10^8}$

Berechne das Ergebnis des folgenden Terms und wende dabei die Potenzgesetze an, bevor du den Endwert berechnest. Achte genau darauf, dass alle Basen dieselbe negative Zahl sind:

$$ \frac{(-3)^5 \cdot (-3)^2 \cdot (-3)}{(-3)^4} $$

Denke daran: Wenn eine Zahl keinen sichtbaren Exponenten hat, ist dieser 1.

Vereinfache die folgenden Terme mithilfe der Regel für die Potenz einer Potenz. Das Ergebnis soll als einzige Potenz angegeben werden.

1. a) $(3^2)^4$
2. b) $(x^3)^5$
3. c) $((-2)^2)^3$
4. d) $((a^2)^3)^4$

In diesen Fällen sind die Basen verschieden, aber die Exponenten gleich. Wende die passenden Rechenregeln an, um die Basen zusammenzufassen und das Ergebnis als einzige Potenz anzugeben.

1. a) $2^3 \cdot 5^3$
2. b) $12^4 : 4^4$
3. c) $(-2)^5 \cdot 3^5$
4. d) $\frac{20^2}{5^2}$

Wir haben ein Quadrat mit der Seitenlänge $2^4$ Zentimeter.

1. Gib den Umfang des Quadrats als eine einzige Potenz zur Basis 2 an (du musst die Zahl nicht ausrechnen, nur die Potenz angeben).

2. Gib den Flächeninhalt des Quadrats als eine einzige Potenz zur Basis 2 an.

In einer Klassenarbeit in Klasse 9 soll Clara die Rechnung $2^3 \cdot 2^4$ vereinfachen. Sie schreibt in ihr Heft die folgende Rechnung:

$$2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2)^{3+4} = 4^7$$

1. a) Bestimme und beschreibe die zwei verschiedenen begrifflichen Fehler, die Clara in ihrem Vorgehen gemacht hat.
2. b) Erkläre anhand der Grundbedeutung der Potenz als wiederholte Multiplikation (ohne dich darauf zu beschränken, die Regel auswendig zu nennen), warum man beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis die Exponenten addiert, die Basis aber unverändert bleibt.
3. c) Korrigiere die Aufgabe, indem du die richtige Lösung als einzige Potenz zur Basis 2 aufschreibst, und berechne ihren endgültigen Zahlenwert.

Berechne und vereinfache den folgenden Term mithilfe der Potenzgesetze für Potenzen mit rationaler Basis. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch mit positivem Exponenten an:

$$ \left[ \left( \frac{2}{5} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^5 \right] : \left( \frac{5}{2} \right)^2 $$

Vereinfache den folgenden Term mithilfe der Potenzgesetze. Das Endergebnis soll keine negativen Exponenten enthalten:

$$ \frac{a^3 \cdot b^{-4} \cdot a^{-2}}{a^5 \cdot b^{-6}} $$

Vereinfache den folgenden Term mithilfe der Potenzgesetze. Das Endergebnis soll weder negative Exponenten noch Klammern enthalten.

$$ \left( \frac{a^{-2} \cdot b^3}{a \cdot b^{-1}} \right)^{-3} : \left( \frac{a^3}{b^2} \right)^2 $$

Vereinfache die folgende Rechnung und gib das Ergebnis als eine einzige Potenz zur Basis 2 an. Dazu musst du zuerst die Basen, die keine Primzahlen sind, in Primfaktoren zerlegen:

$$ 16 \cdot 2^5 \cdot 4^3 $$

Vereinfache den folgenden Bruch, indem du zuerst die Basen in Primfaktoren zerlegst und dann die Potenzgesetze anwendest:

$$ \frac{15^2 \cdot 4^2}{6^3 \cdot 10^2} $$

Eine externe Festplatte hat eine Speicherkapazität von 1 TB (Terabyte). Die ungefähren Umrechnungen im Binärsystem sind:

• $1 \text{ TB} = 2^{10} \text{ GB}$

• $1 \text{ GB} = 2^{10} \text{ MB}$

Ein hochwertiges Foto belegt $2^4$ MB. Wie viele Fotos passen insgesamt auf die Festplatte? Gib das Ergebnis als Potenz zur Basis 2 an.

Um den Term $\frac{12^4 \cdot 5^4}{30^3}$ zu vereinfachen und seinen Wert zu berechnen, diskutieren Sergio und Alba, welche Strategie günstiger ist:

• Sergio schlägt vor, zuerst alle Basen in Primfaktoren zu zerlegen ($12 = 2^2 \cdot 3$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$) und die Potenzgesetze für Produkt und Quotient von Potenzen mit gleicher Basis zu benutzen.

• Alba schlägt vor, zuerst das Potenzgesetz für Potenzen mit gleichem Exponenten im Zähler anzuwenden, um ihn als $(12 \cdot 5)^4 = 60^4$ zusammenzufassen, und dann 60 als $2 \cdot 30$ zu schreiben, um mit der Basis 30 im Nenner weiterzurechnen.

1. a) Löse den Term Schritt für Schritt nach Sergios Vorschlag.
2. b) Löse den Term nach Albas Strategie.
3. c) Vergleiche beide Wege: Welche Methode hältst du in diesem Fall für effizienter? Begründe deine Wahl, indem du den Rechenaufwand und das Fehlerrisiko bei beiden Methoden betrachtest.

Vereinfache den folgenden Term zu einer einzigen Potenz mit positiver Primzahl als Basis. Wende dazu die Potenzgesetze an, zerlege die Basen in Primfaktoren und achte genau auf die Vorzeichen und die negativen Exponenten.

$$ \frac{(-2)^4 \cdot (2^3)^{-2} \cdot 16}{\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot (-8)^{-2}} $$

Denke daran: Der erste wichtige Schritt ist, Zahlen wie 16 und 8 zur Basis 2 zu schreiben.

Entwirf drei verschiedene Rechnungen, deren Endergebnis genau die Potenz $3^8$ ist, und erfülle dabei in jedem Fall die jeweils angegebene Bedingung:

1. a) Ein Produkt zweier Potenzen zur Basis 3, bei dem kein Exponent eine gerade Zahl ist.
2. b) Eine Division zweier Potenzen, die verschiedene Basen und denselben Exponenten haben.
3. c) Eine Potenz einer Potenz, bei der einer der beteiligten Exponenten eine negative ganze Zahl ist.

Begründe in jeder Teilaufgabe, welche Potenzregel garantiert, dass dein Vorschlag genau $3^8$ ergibt.

Bestimme den Wert der Variablen $x$ in jeder der folgenden Gleichungen. Nutze dazu die Potenzgesetze, um die Exponenten gleichzusetzen:

1. a) $5^x \cdot 5^3 = 5^9$
2. b) $(3^4)^x = 3^{12}$
3. c) $\frac{7^8}{7^x} = 7^2$

Bestimme den Wert der Variablen $x$ in der folgenden Exponentialgleichung. Nutze die Potenzgesetze, um Terme zusammenzufassen. Alle Basen lassen sich als Potenzen derselben Primzahl schreiben.

$$ 27^2 \cdot 9^{-x} = \frac{1}{3^x \cdot 81} $$

Ordne die folgenden Zahlen der Größe nach, beginnend mit der kleinsten, ohne den Taschenrechner für den Endwert zu benutzen. Suche dazu einen gemeinsamen Exponenten oder eine gemeinsame Basis, sodass du sie im Kopf vergleichen kannst.

$$ A = 2^{45} \quad ; \quad B = 3^{36} \quad ; \quad C = 5^{18} $$

Tipp: Versuche, alle Exponenten als Vielfache derselben Zahl zu schreiben (suche den ggT der Exponenten).

Das Ministerium für ökologischen Wandel und demografische Herausforderung (MITECO) koordiniert die Aufforstungsarbeiten in einer Gegend der Sierra de Gata (Extremadura). Zur Organisation der Wiederbepflanzung mit einheimischen Bäumen wurde das Gelände in $3^3$ Hauptparzellen aufgeteilt. In jeder Parzelle wurden $9^2$ Sektoren angelegt, und in jedem dieser Sektoren wurden genau 27 Steineichen-Setzlinge gepflanzt.

1. a) Stelle einen einzigen zusammengesetzten Term mit Potenzen auf, der die Gesamtzahl der gepflanzten Steineichen in der Gegend darstellt.
2. b) Zerlege die Basen in Primfaktoren und wende die Potenzgesetze an, um die Gesamtzahl der Steineichen als eine einzige Potenz zur Basis 3 darzustellen. Wie viele Bäume wurden insgesamt gepflanzt?
3. c) In den ersten Wochen braucht jeder Setzling $3^{-2}$ Liter Wasser pro Stunde über ein Tröpfchenbewässerungssystem. Gib als eine einzige Potenz zur Basis 3 an, wie viele Liter Wasser die gesamte Pflanzung in einer Stunde verbraucht.

Betrachte die folgende Figurenfolge, die durch einen fraktalen Prozess entsteht.

1. Wir beginnen mit einem vollen Quadrat der Seitenlänge 1 Meter (Iteration 0).

2. Wir teilen das Quadrat in 4 gleich große Quadrate und entfernen das obere rechte (Iteration 1).

3. Wir wiederholen den Vorgang mit jedem der 3 übrigen Quadrate (Iteration 2).

Berechne den gesamten Flächeninhalt (die Summe der Flächeninhalte der schwarzen Quadrate) in Iteration 5. Gib das Ergebnis als eine einzige Potenz an.

Ein Cloud-Datenspeicherserver hat eine Gesamtkapazität von 16 Petabyte (PB). Die informatischen Umrechnungen sind Potenzen von 2 (nicht von 10) gemäß der folgenden Tabelle:

• $1 \text{ KB} = 2^{10} \text{ Bytes}$

• $1 \text{ MB} = 2^{10} \text{ KB}$

• $1 \text{ GB} = 2^{10} \text{ MB}$

• $1 \text{ TB} = 2^{10} \text{ GB}$

• $1 \text{ PB} = 2^{10} \text{ TB}$

Eine hochauflösende Fotodatei belegt $2^{24}$ Byte. Wie viele Fotos passen insgesamt auf den Server? Gib das Ergebnis als Potenz zur Basis 2 an.

Ein riesiger Zauberwürfel besteht aus kleinen Einheitswürfeln. Das Gesamtvolumen des großen Würfels beträgt $27^4$ Volumeneinheiten.

1. Gib die Länge der Kante des großen Würfels als Potenz zur Basis 3 an.

2. Wenn wir die Außenfläche jedes Einheitswürfels rot anmalen, wie groß ist dann der gesamte rot bemalte Flächeninhalt am ganzen Riesenwürfel? Gib das Ergebnis in der Form $2 \cdot 3^n$ an.

(Denke daran: Der große Würfel hat 6 Flächen, und der Flächeninhalt einer Fläche ist Seite $\cdot$ Seite.)

Berechne den exakten Wert der folgenden zusammengesetzten Rechnung. Wende zuerst die Potenzgesetze an und wandle in die normierte wissenschaftliche Schreibweise um, bevor du rechnest.

$$ \frac{ 3,5 \cdot 10^{-5} + 150 \cdot 10^{-7} }{ 0,02 \cdot 10^4 \cdot (10^{-2})^3 } $$

Gib das Endergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.

Das Statistische Bundesamt (Destatis) verwahrt Sicherungskopien von Zensusdaten in zwei unabhängigen Rechenzentren, genannt Knoten A und Knoten B:

• Knoten A speichert $8^7$ Datenblöcke.

• Knoten B speichert $4^{11}$ Datenblöcke.

1. a) Schätze vor dem schriftlichen Rechnen intuitiv und begründet: Welcher der beiden Knoten enthält deiner Meinung nach mehr Datenblöcke? Erkläre, was bei deinem ersten Eindruck mehr ins Gewicht gefallen ist (der Wert der Basis oder die Größe des Exponenten).
2. b) Überprüfe deine Schätzung rechnerisch: Gib die Anzahl der Blöcke jedes Knotens als Potenz zur Basis 2 an, indem du die Primfaktorzerlegung und das Potenzgesetz für die Potenz einer Potenz anwendest.
3. c) Berechne den Quotienten aus dem Knoten mit der größeren und dem mit der kleineren Kapazität. Wie viel Mal mehr Information enthält der eine im Vergleich zum anderen?
4. d) Erkläre anhand des Ergebnisses, warum beim Vergleich exponentieller Größen die visuelle Intuition, die sich nur auf die scheinbare Größe der Basis stützt, oft in die Irre führt.

Ein IT-Sicherheitsteam in Dortmund erzeugt verschlüsselte Zugangscodes. Ein Mastercode $K$ wird durch den folgenden Term definiert:

$$K = \frac{15^a \cdot 18^b}{10^c \cdot 12^d}$$

wobei $a$, $b$, $c$ und $d$ positive ganze Zahlen sind.

Beim Vereinfachen des Terms durch Zerlegung der Basen in Primfaktoren und Anwendung der Potenzgesetze stellen die Analysten fest, dass sich die Basen 2 und 5 vollständig aufheben (ihre resultierenden Exponenten sind gleich 0), sodass das Endergebnis zu $K = 3^6$ vereinfacht wird.

1. a) Zerlege die zusammengesetzten Basen ($15$, $18$, $10$ und $12$) in Primfaktoren und schreibe den Term so, dass die Exponenten der Basen 2, 3 und 5 in Abhängigkeit von den Variablen $a$, $b$, $c$ und $d$ zusammengefasst sind.
2. b) Schreibe die Gleichungen auf, die die Exponenten der Basen 2 und 5 erfüllen müssen, damit sich beide im Endergebnis aufheben.
3. c) Wenn die Konfiguration des Systems $c = 1$ und $d = 1$ festlegt, bestimme begründet die genauen Zahlenwerte der Exponenten $a$ und $b$ und überprüfe Schritt für Schritt, dass der erhaltene Wert für $K$ mit $3^6$ übereinstimmt.