Quadratische Gleichungen

Wende die Lösungsformel an, um die Lösungen der folgenden vollständigen quadratischen Gleichung zu bestimmen:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichung, die bereits faktorisiert vorliegt, ohne das Produkt auszumultiplizieren:

$(2x - 5)(x + 4) = 0$

Löse die folgende reinquadratische Gleichung (ohne lineares Glied), indem du direkt nach der Variablen auflöst:

$4x^2 - 64 = 0$

Berechne die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung ohne konstantes Glied durch Ausklammern:

$3x^2 + 15x = 0$

Lukas löst an der Tafel die Gleichung $2x^2 - 10x = 0$ und führt in seinem Heft die folgenden Schritte durch:

Beim Blick in die Lösungen des Buches stellt er überrascht fest, dass die Gleichung in Wirklichkeit zwei Lösungen hat: $x_1 = 0$ und $x_2 = 5$.

1. a) Erkläre mathematisch präzise, welchen grundsätzlichen Fehler Lukas beim Dividieren beider Seiten durch die Variable $x$ gemacht hat und warum dieser Schritt eine der gültigen Lösungen entfernt hat.
2. b) Löse die Gleichung korrekt durch Ausklammern und begründe jeden Schritt mithilfe des Satzes vom Nullprodukt.

Um die Gleichung $(3x - 1)^2 - 25 = 0$ zu lösen, schlagen Alba und Mateo unterschiedliche Strategien vor:

• Alba schlägt vor, die binomische Formel auszumultiplizieren, $25$ zu subtrahieren, die Terme in der allgemeinen Normalform $ax^2 + bx + c = 0$ zu ordnen und die Lösungsformel mit der Diskriminante anzuwenden.

• Mateo schlägt vor, direkt nach der Potenz aufzulösen, also $(3x - 1)^2 = 25$ zu schreiben, und auf beiden Seiten die Quadratwurzel zu ziehen, wobei das doppelte Vorzeichen $\pm$ zu beachten ist.

1. a) Löse die Gleichung Schritt für Schritt zuerst nach Albas und dann nach Mateos Vorgehen und überprüfe, dass beide zu denselben Lösungen führen.
2. b) Vergleiche beide Wege und begründe, welcher effizienter ist und weniger Gefahr für Rechenfehler (Vorzeichen, Rechnen mit großen Zahlen) birgt.
3. c) Wäre Mateos Abkürzung direkt anwendbar, um die Gleichung $(3x - 1)^2 - 6x = 25$ zu lösen? Begründe, warum ja oder warum nicht.

Bestimme, ob die Gleichung $2x^2 + 3x + 5 = 0$ in der Menge der reellen Zahlen eine Lösung hat, indem du zuvor den Wert ihrer Diskriminante $\Delta$ berechnest.

Bestimme den Wert des Koeffizienten $c$ in der Gleichung $x^2 + 4x + c = 0$ so, dass sie genau eine reelle (doppelte) Lösung hat.

Bestimme den Zahlenwert des Parameters $k$ so, dass die Gleichung $3x^2 - kx + 12 = 0$ genau eine reelle (doppelte) Lösung hat.

Schreibe eine quadratische Gleichung der Form $x^2 + bx + c = 0$ auf, deren einzige Lösungen $x_1 = 3$ und $x_2 = -8$ sind.

Es soll eine quadratische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten der Form $ax^2 + bx + c = 0$ aufgestellt werden, deren exakte Lösungen $x_1 = -\frac{3}{2}$ und $x_2 = 4$ sind.

1. a) Wende die Satzgruppe von Vieta an, um den exakten Wert der Summe ($S = x_1 + x_2$) und des Produkts ($P = x_1 \cdot x_2$) der Lösungen als vollständig gekürzten Bruch zu bestimmen.
2. b) Schreibe eine äquivalente Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ($a, b, c \in \mathbb{Z}$) ohne Nenner auf, mit $a > 0$ und so, dass die Koeffizienten keine gemeinsamen Teiler haben (also teilerfremd sind).
3. c) Ist die im vorigen Teil erhaltene Gleichung die einzige quadratische Gleichung überhaupt, die genau diese beiden Lösungen hat? Begründe deine Antwort, indem du überlegst, was passiert, wenn man alle Koeffizienten mit einer Konstanten $k \neq 0$ multipliziert.

Eine der Lösungen der Gleichung $2x^2 + bx - 15 = 0$ ist $x_1 = 3$. Berechne, ohne die Gleichung vollständig zu lösen, den Wert der anderen Lösung $x_2$ und den Wert des Koeffizienten $b$.

Multipliziere die binomischen Formeln aus, fasse gleichartige Terme zusammen und löse die folgende Gleichung:

$(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$

Löse die folgende Gleichung, indem du zuvor mit Bruchtermen rechnest. Überprüfe die erhaltenen Lösungen, um mögliche Scheinlösungen auszuschließen, für die ein Nenner null wird:

$\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x+2} = \frac{16}{x^2-4}$

Löse die folgende Wurzelgleichung, indem du zuerst die Wurzel isolierst und dann beide Seiten quadrierst. Die Probe der erhaltenen Lösungen in der Ausgangsgleichung ist verpflichtend, um mögliche Scheinlösungen auszuschließen:

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

Der Flächeninhalt eines Rechtecks beträgt $60\text{ cm}^2$ und die Länge seiner Diagonale $13\text{ cm}$. Nenne die Grundseite $x$ und die Höhe $y$ und drücke $y$ mithilfe der Flächenangabe durch $x$ aus. Setze anschließend in den Satz des Pythagoras für die Diagonale ein und löse die entstehende biquadratische Gleichung, um die exakten Maße des Rechtecks zu bestimmen.

Diskutiere in Abhängigkeit von den verschiedenen Werten des Parameters $m$ die Anzahl der reellen Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung:

$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$

Untersuche, was passiert, wenn die Diskriminante positiv, null oder negativ ist, und vergiss nicht den Sonderfall, in dem der Koeffizient des quadratischen Gliedes null wird.

Betrachte die folgende Schar von Gleichungen mit einem reellen Parameter $k$:

1. a) Ein Schüler behauptet, dass die Gleichung für $k = 2$ überhaupt keine Lösung hat, weil bei Anwendung der Lösungsformel der Nenner $2a$ null wird ($2 \cdot 0 = 0$). Widerlege seine Behauptung mit Begründung, indem du erklärst, welche Art von Gleichung sich beim Einsetzen von $k = 2$ tatsächlich ergibt, und berechne ihre Lösung.
2. b) Berechne für die Fälle $k \neq 2$ den vereinfachten Term der Diskriminante $\Delta$ in Abhängigkeit von $k$ und bestimme formal, für welche Werte des Parameters die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen, eine doppelte reelle Lösung oder keine reelle Lösung hat.
3. c) Nutze begründet die Beziehungen von Vieta, ohne die Lösungen der Gleichung zu berechnen, um herauszufinden, ob es einen Wert von $k$ gibt, für den die beiden Lösungen Gegenzahlen sind ($x_1 + x_2 = 0$). Bestimme im bejahenden Fall diesen Wert von $k$, prüfe, ob die Lösungen reell sind, und bestimme beide Lösungen.

Das Quadrat einer natürlichen Zahl minus ihr Dreifaches ist genau gleich $18$. Stelle eine quadratische Gleichung auf und berechne, um welche Zahl es sich handelt.

Für die Renovierung des rechteckigen Wohnzimmers einer Wohnung gibt der Architekt an, dass die Länge $2\text{ m}$ mehr beträgt als die Breite. Wenn die gesamte Fläche des Wohnzimmers $35\text{ m}^2$ beträgt, stelle eine quadratische Gleichung auf und berechne die genauen Maße des Raumes.

Ein Raumfahrtingenieur startet eine Testrakete. Die von der Rakete erreichte Höhe $h$ (in Metern) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Sekunden) ist durch den Term $h(t) = 40t - 5t^2$ gegeben. Bestimme, zu welchen Zeitpunkten sich die Rakete genau in einer Höhe von $75\text{ m}$ befindet.

Der Kartenverkauf für das Schulmusical bringt einen Gewinn $B$ (in Zehnereuro), der von der Anzahl der verkauften Karten $x$ (in Zehnern) gemäß der Gleichung $B(x) = -x^2 + 50x - 400$ abhängt. Berechne, wie viele Karten genau verkauft werden müssen, damit der Gewinn null ist (Break-even-Punkt).

Bei einer Skaterrampe in Form eines rechtwinkligen Dreiecks ist die längere Kathete $7\text{ m}$ länger als die kürzere Kathete und die Hypotenuse $2\text{ m}$ länger als die längere Kathete. Stelle mithilfe des Satzes des Pythagoras eine quadratische Gleichung auf und berechne die Länge aller drei Seiten der Rampe.

Nach technischen Untersuchungen des Straßenverkehrsamts lässt sich der gesamte Anhalteweg $d$ (in Metern) eines Pkw auf trockenem Asphalt in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit $v$ (in $\text{km/h}$), mit der er fährt, durch das quadratische Modell

annähern, wobei $0,3v$ dem während der Reaktionszeit des Fahrers zurückgelegten Weg und $0,005v^2$ dem mechanischen Bremsweg entspricht. Die Polizei untersucht einen Unfall auf einer innerstädtischen Straße mit einer Höchstgeschwindigkeit von $50\text{ km/h}$ und findet eine Bremsspur mit einem gesamten Anhalteweg von $36\text{ m}$.

1. a) Schätze: Berechne vor dem Lösen der Gleichung im Kopf oder durch schnelles Probieren, welchen Anhalteweg man bei $50\text{ km/h}$ und bei $70\text{ km/h}$ benötigen würde. Grenze anhand dieser Werte ein, zwischen welchen Zehnern von $\text{km/h}$ die Geschwindigkeit des Fahrzeugs liegen muss.
2. b) Stelle die zu $d = 36\text{ m}$ gehörende quadratische Gleichung auf und löse sie mit der Lösungsformel, um den exakten Zahlenwert von $v$ zu erhalten.
3. c) Überprüfe: Schließe mit physikalischer Begründung eine der erhaltenen mathematischen Lösungen aus und bestimme, ob das Fahrzeug die zulässige Höchstgeschwindigkeit überschritten hat, indem du das Ergebnis mit deiner vorherigen Schätzung vergleichst.

Ein rechteckiges Foto mit der Breite $20\text{ cm}$ und der Höhe $15\text{ cm}$ soll mit einem Passepartout gleichmäßiger Breite $x$ gerahmt werden. Wenn der gesamte Flächeninhalt (Foto plus Passepartout) genau $500\text{ cm}^2$ betragen soll, stelle eine quadratische Gleichung auf und berechne die Breite $x$ des Passepartouts.

In einer Volleyballliga spielt jede Mannschaft genau einmal gegen jede andere. Die Gesamtzahl der Spiele in einem Turnier mit $n$ Mannschaften ist durch die Formel $\frac{n(n-1)}{2}$ gegeben. Am Ende der Saison wurden insgesamt $105$ Spiele ausgetragen. Stelle die zugehörige Gleichung auf und finde heraus, wie viele Mannschaften an der Liga teilgenommen haben.

Zwei Schläuche unterschiedlicher Dicke füllen zusammen einen Wassertank in $6\text{ Stunden}$. Würde man nur einen von beiden benutzen, bräuchte der dünnere Schlauch $5\text{ Stunden}$ länger als der dicke Schlauch, um den Tank allein zu füllen. Stelle eine quadratische Gleichung auf, indem du die Tankanteile addierst, die jeder Schlauch in einer Stunde füllt, und berechne, wie lange jeder Schlauch allein bräuchte.

Ein Bildhauer möchte einen Messingstab der Länge $1\text{ Meter}$ in zwei Stücke der Längen $x$ und $1-x$ teilen (wobei $x$ das größere Stück ist, also $x > 1-x$). Er möchte das so tun, dass das Verhältnis des ganzen Stabes zum größeren Stück gleich dem Verhältnis des größeren zum kleineren Stück ist. Stelle die zugehörige Gleichung auf und bestimme den exakten Wert von $x$.

Eine Gruppe von Schülerinnen und Schülern mietet für einen Ausflug einen Bus zu Gesamtkosten von $400\text{ €}$. Kurzfristig melden sich $5$ weitere Schüler zur Fahrt an, wodurch jeder der ursprünglich Mitfahrenden $4\text{ €}$ weniger bezahlen muss. Stelle eine quadratische Gleichung auf, um zu berechnen, wie viele Schüler ursprünglich mitfahren wollten, und löse sie.

Eine Olivengenossenschaft in Jaén, die native Olivenöl extra (AOVE) produziert, bewirtschaftet eine Anlage mit einer Standarddichte von $120$ Olivenbäumen pro Hektar und erzielt eine durchschnittliche Ernte von $50\text{ kg}$ Oliven pro Baum und Jahr. Die Agrartechniker weisen darauf hin, dass für jeden zusätzlich gepflanzten Olivenbaum $x$ pro Hektar die Konkurrenz um Wasser und Nährstoffe im Boden den durchschnittlichen Ertrag jedes Baumes um $0,25\text{ kg}$ verringert.

1. a) Schreibe den Term für den Gesamtertrag pro Hektar in Abhängigkeit von der Anzahl der zusätzlichen Bäume $x$ auf, indem du die Gesamtzahl der Olivenbäume mit dem Olivenertrag pro Baum multiplizierst.
2. b) Die Genossenschaft plant die Ernte so, dass insgesamt $6\,375\text{ kg}$ Oliven pro Hektar geerntet werden. Stelle die zugehörige quadratische Gleichung auf, bringe sie in die Normalform $ax^2 + bx + c = 0$ und berechne die beiden möglichen Werte von $x$.
3. c) Das Modell liefert zwei positive reelle Lösungen. Interpretiere die praktische Bedeutung jeder Lösung und begründe, welche der beiden Optionen die Genossenschaft wählen sollte, wenn ihr Ziel die Minimierung der Kosten für Beschnitt, Ernte und Wasserverbrauch ist.