Kreis und Kreislinie

Gib die Namen der folgenden farbigen Bereiche innerhalb oder um den Kreis an:

• A: Bereich zwischen zwei Radien.

• B: Bereich zwischen zwei konzentrischen Kreislinien (wie bei einem Donut).

• C: Die Hälfte einer Kreisfläche.

Bestimme in der folgenden Zeichnung eines Kreises mit dem Mittelpunkt $O$ die mit Buchstaben gekennzeichneten Elemente. Gib an, welches der Radius, welches der Durchmesser und welches die Sehne ist.

Wenn eine $2$-Euro-Münze einen Radius von $12,875$ mm hat, wie groß ist dann ihr Durchmesser? Gib das Ergebnis in Millimetern an.

Ein Ingenieur konstruiert ein Maschinenteil, das aus einer Metallscheibe mit dem Radius $R = 12 \text{ cm}$ besteht. Um das Teil leichter zu machen, muss er einen geraden Schnitt (eine Sehne) ausführen, der genau $7,2 \text{ cm}$ vom Mittelpunkt der Scheibe entfernt verläuft. Bestimme mithilfe des Satzes des Pythagoras die Gesamtlänge dieses Schnitts (der Sehne), um die Schneidmaschine programmieren zu können.

Betrachte die Lage der Geraden $r$, $s$ und $t$ in Bezug auf den Kreis mit dem Mittelpunkt $C$. Ordne jede Gerade als Tangente, Sekante oder Passante ein.

Gegeben ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt im Punkt $C$ und dem Radius $5$ cm. Gib an, ob die folgenden Punkte innerhalb des Kreises, außerhalb des Kreises oder auf der Kreislinie liegen:

• Punkt $P$: liegt $3$ cm von $C$ entfernt.

• Punkt $Q$: liegt $5$ cm von $C$ entfernt.

• Punkt $R$: liegt $7$ cm von $C$ entfernt.

Das Logo einer neuen Sportbekleidungsmarke besteht aus einem Kreis mit dem Radius $r = 5\text{ cm}$, der von einer Geraden durchschnitten wird. Die Gerade verläuft im Abstand $3\text{ cm}$ vom Mittelpunkt des Kreises. Zeichne eine Skizze und beantworte:

1. a) Wie liegt die Gerade relativ zum Kreis?
2. b) Wenn wir eine weitere Gerade zeichnen, die genau $5\text{ cm}$ vom Mittelpunkt entfernt verläuft, wie heißt diese Gerade dann?
3. c) Wie heißt die Strecke der ersten Geraden, die innerhalb des Kreises liegt?

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Lösung einsenden.

Alex möchte einen LED-Streifen um den Rand seines runden Spiegels anbringen. Wenn der Radius des Spiegels $40$ cm beträgt, wie viele Zentimeter LED-Streifen muss er mindestens kaufen? (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Das Grünflächenamt einer Gemeinde hat einen flexiblen Zaun von genau $31,4\text{ Meter}$ Länge, um ein kreisförmiges Blumenbeet vollständig einzufassen, ohne dass Material übrig bleibt oder fehlt.

1. a) Stelle den entsprechenden mathematischen Zusammenhang auf und berechne, wie groß Radius und Durchmesser des Beets sein müssen (verwende $\pi \approx 3,14$).
2. b) Wenn genau in der Mitte des Beets ein Sprenger aufgestellt wird, wie weit darf eine Blume innerhalb der Fläche höchstens vom Sprenger entfernt wachsen?
3. c) Begründe geometrisch, ob es möglich wäre, innerhalb des Beets eine gerade Sehne zu ziehen, die zwei Randpunkte verbindet und $11\text{ Meter}$ lang ist.

Das Rad eines Mountainbikes hat einen Gesamtradius von $35\text{ cm}$. Der Radfahrer legt auf gerader Strecke eine Entfernung von $1,1\text{ Kilometer}$ zurück:

1. a) Wie viele Meter legt das Fahrrad bei einer einzigen Radumdrehung zurück?
2. b) Wie viele vollständige Umdrehungen hat das Rad am Ende der Strecke gemacht?

(Gegeben: $1\text{ km} = 1000\text{ m}$; verwende $\pi \approx 3,14$.)

Beim öffentlichen Fahrradverleih einer deutschen Stadt haben die Räder der Fahrräder einen Radius von $30\text{ cm}$. Ein Nutzer fährt auf dem Radweg geradeaus von einer Station zur nächsten und legt dabei eine Gesamtstrecke von $1\,130,4\text{ Meter}$ zurück.

1. a) Beschreibe die Situation mathematisch, indem du berechnest, wie viele Meter das Fahrrad bei jeder vollständigen Radumdrehung auf dem Boden vorankommt (verwende $\pi \approx 3,14$).
2. b) Bestimme, wie viele vollständige Umdrehungen jedes Rad am Ende der gesamten Strecke gemacht hat.
3. c) Bei einer Wartung notiert ein Mechaniker, dass er eine Speiche der Länge $30\text{ cm}$ ausgetauscht hat sowie eine gerade Metallverstärkung (Sehne), die zwei Punkte am äußeren Rand der Felge verbindet und $65\text{ cm}$ misst. Erkläre mithilfe der Definition von Sehne und Durchmesser, warum die Länge dieser Verstärkung bei diesem Rad physikalisch unmöglich ist.

Eine Basketballspielerin trainiert Freiwürfe. Der aufgemalte Kreis im Zonenbereich hat einen Durchmesser von $3,6$ Metern. Wie groß ist der Radius dieses Kreises?

Eine Pizzeria bietet eine Einzelpizza mit $20$ cm Durchmesser an. Berechne den Flächeninhalt der Pizza, um zu wissen, wie viel Platz sie im Karton einnimmt. (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Für eine Party in der Schule möchte Markus den Flächeninhalt einer runden Tischdecke berechnen, die einen runden Tisch mit dem Durchmesser $120\text{ cm}$ vollständig bedeckt. Markus rechnet in seinem Heft Folgendes:

1. a) Bestimme, welchen Denkfehler Markus bei der Anwendung der Flächenformel gemacht hat.
2. b) Erkläre den Zusammenhang zwischen Durchmesser und Radius und begründe, warum Markus' Ergebnis genau viermal so groß ist, wie es sein müsste.
3. c) Korrigiere die Rechnung und bestimme den tatsächlichen Flächeninhalt der Tischdecke (in $\text{cm}^2$, mit $\pi \approx 3,14$).

Eine Pizzeria bietet für ihre hausgemachten Pizzen zwei Angebote an:

• Angebot A: Eine Familienpizza mit $40\text{ cm}$ Durchmesser.

• Angebot B: Zwei mittelgroße Pizzen mit jeweils $20\text{ cm}$ Durchmesser.

Wenn beide Angebote gleich viel kosten, berechne den Flächeninhalt der Pizza bei jeder Option (mit $\pi \approx 3,14$) und begründe, welches der beiden Angebote für den Kunden vorteilhafter ist.

Betrachte die folgende Abbildung, die einen runden „Spinner“ mit einem Lager in der Mitte und einem äußeren Ring darstellt. Der Radius des inneren Kreises beträgt $2\text{ cm}$ und der Radius des äußeren Kreises $5\text{ cm}$. Berechne den Flächeninhalt des Kreisrings (der bläulichen Fläche) zwischen beiden.

Ein Verkehrsschild „Verbot der Einfahrt“ hat die Form eines Kreises mit einem Durchmesser von $60\text{ cm}$. In seinem Inneren befindet sich ein weißer rechteckiger Streifen von $50\text{ cm}$ Länge und $10\text{ cm}$ Breite. Berechne den Flächeninhalt des roten Teils des Schildes (der Teil des Kreises, der nicht vom weißen Rechteck bedeckt ist).

Auf einem Platz soll ein kreisförmiger Brunnen mit $8\text{ Meter}$ Durchmesser gebaut werden. Rundherum wird eine Einfassung aus Stein gesetzt und der Boden (die gesamte Kreisfläche) abgedichtet.

1. a) Schätze zunächst im Kopf die Länge der Einfassung, indem du $\pi \approx 3$ annäherst, bevor du mit Dezimalzahlen rechnest. Begründe, ob das tatsächliche Maß größer oder kleiner als deine Schätzung ist.
2. b) Stell dir ein Quadrat vor, das den Brunnen umschließt (dessen vier Seiten den Kreis von außen berühren). Wie lang ist die Seite dieses Quadrats? Wie groß ist sein Umfang? Begründe, warum der Umfang dieses Quadrats eine obere Schranke für den Kreisumfang ist.
3. c) Berechne die Länge der Einfassung und den Flächeninhalt des Brunnenbodens genau mit $\pi \approx 3,14$ und überprüfe, ob beide Werte zu deinen Überlegungen aus den vorherigen Teilaufgaben passen.

Beim Entwurf eines runden Fensters (Rosette) wurde, wie in der Abbildung gezeigt, ein Quadrat mit der Diagonalen $8\text{ Dezimeter}$ einbeschrieben. Berechne den Flächeninhalt der Glasfläche (Kreis), die außerhalb des Quadrats liegt (die in der Zeichnung schraffierten Bereiche).

Beim Entwurf eines neuen Logos für ein Technologieunternehmen wurde ein Quadrat mit der Seitenlänge $L = 10 \text{ cm}$ gezeichnet. An jeder Ecke wurde ein Kreisbogen mit einem Radius von der halben Seitenlänge des Quadrats ($5 \text{ cm}$) gezeichnet, sodass sich die vier Bögen in den Seitenmitten berühren. Berechne den Flächeninhalt der schraffierten Fläche in der Mitte des Quadrats (der Bereich, der zu keinem der vier Kreissektoren gehört).

In der Mitte eines kreisförmigen Kreisverkehrs mit dem Radius $R = 10\text{ Meter}$ liegt ein ebenfalls kreisförmiger Teich mit dem Radius $r = 6\text{ Meter}$. Der restliche Streifen zwischen Teich und Rand des Kreisverkehrs (ein Kreisring) soll mit Kunstrasen bedeckt werden. Um die Rasenfläche zu berechnen, schlagen drei Mitglieder des Technikteams verschiedene Methoden vor:

• Claras Methode: Sie berechnet den Flächeninhalt des gesamten Kreisverkehrs ($A_1 = 3,14 \cdot 10^2$) und den des Teichs ($A_2 = 3,14 \cdot 6^2$) und subtrahiert beide Ergebnisse: $A_1 - A_2$.

• Brunos Methode: Er subtrahiert direkt die Radien ($10 - 6 = 4\text{ Meter}$) und berechnet den Flächeninhalt eines Kreises mit diesem Radius: $A = 3,14 \cdot 4^2$.

• Saras Methode: Sie klammert $\pi$ mithilfe des Distributivgesetzes aus: $A = \pi \cdot (10^2 - 6^2) = 3,14 \cdot (100 - 36)$.

1. a) Erkläre, welche der Methoden falsch ist, und zeige geometrisch, warum das Subtrahieren der Radien vor der Flächenberechnung zu einem falschen Ergebnis führt.
2. b) Vergleiche die beiden richtigen Methoden und begründe, welche empfehlenswerter ist, um weniger Rundungsfehler zu machen und Rechenschritte zu sparen.
3. c) Der Teich wird auf einen Radius von $8\text{ Meter}$ vergrößert, wobei der Außenradius des Kreisverkehrs bei $10\text{ Meter}$ bleibt. Wende die Methode, die du als optimal ausgewählt hast, an, um die neue benötigte Rasenfläche zu berechnen.

Ein öffentliches Wasserunternehmen muss zwei identische Abflussrohre mit jeweils kreisförmigem Querschnitt und einem Durchmesser von $20\text{ cm}$ durch ein einziges neues Kreisrohr ersetzen, das genau die gleiche Abflusskapazität hat (also dessen Querschnittsfläche der Summe der Querschnittsflächen der beiden alten Rohre zusammen entspricht).

1. a) Ein Techniker behauptet: „Da wir zwei Rohre von $20\text{ cm}$ ersetzen, muss das neue einen Durchmesser von $40\text{ cm}$ haben, um dasselbe abzuführen.“ Zeige durch Berechnung der Querschnittsflächen, ob die Aussage des Technikers richtig oder falsch ist.
2. b) Begründe algebraisch mithilfe der Formel $A = \pi \cdot r^2$, warum sich der Flächeninhalt eines beliebigen Kreises bei Verdopplung des Durchmessers mit $4$ und nicht mit $2$ multipliziert.
3. c) Stelle die Gleichung auf, die den Flächeninhalt des neuen Rohrs mit der Summe der beiden alten verbindet, und berechne, wie groß der tatsächliche Durchmesser des Ersatzrohrs ungefähr sein muss (runde das Ergebnis auf eine Dezimalstelle).

Ein Rasensprenger dreht sich und überstreicht dabei einen Kreissektor von $120^\circ$. Wenn der Wasserstrahl eine Entfernung von $6\text{ Meter}$ erreicht, berechne:

1. a) Die Länge des Bogens am äußeren Rand der bewässerten Rasenfläche.
2. b) Den gesamten Flächeninhalt der vom Rasensprenger bewässerten Rasenfläche.

(Verwende $\pi \approx 3,14$ und runde auf zwei Dezimalstellen.)

In einem Freizeitpark hat ein Riesenrad einen Radius von $15 \text{ Meter}$. Ein Sensor stellt fest, dass eine der Gondeln einen Kreisbogen der Länge $23,55 \text{ Meter}$ zurückgelegt hat. Um welchen Winkel (in Grad) hat sich das Riesenrad gedreht, seit sich die Gondel am tiefsten Punkt befand? Verwende $\pi \approx 3,14$.

Ein kreisförmiges Silberarmband hat einen Außendurchmesser von $8 \text{ cm}$ und einen Innendurchmesser von $7 \text{ cm}$. Wenn nur der obere Teil des Armbands vergoldet werden soll (ein Ausschnitt des Kreisrings mit einem Winkel von $120^\circ$), wie groß ist dann der Flächeninhalt der vergoldeten Fläche? Runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Auf einem runden Platz wurde eine Konstruktion mit Seilen aufgebaut. Eines der Seile bildet einen Umfangswinkel von $35^\circ$ über einem Bogen des Platzes.

1. a) Berechne, wie groß der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen ist.
2. b) Wenn der Mittelpunktswinkel $110^\circ$ betrüge, wie groß wäre dann jeder Umfangswinkel über demselben Bogen?

Betrachte eine Wanduhr um $10:00$ Uhr morgens. Die Zeiger (Minutenzeiger und Stundenzeiger) bilden einen Mittelpunktswinkel. Wenn wir eine Sehne zeichnen, die die Enden beider Zeiger verbindet, und beide Zeiger $10 \text{ cm}$ lang sind, wie lang ist dann diese Sehne? (Tipp: Untersuche, was für ein Dreieck zwischen dem Mittelpunkt der Uhr und den Zahlen 10 und 12 entsteht.)

Ein öffentliches Wasserunternehmen muss zwei identische Abflussrohre mit jeweils kreisförmigem Querschnitt und einem Durchmesser von $20\text{ cm}$ durch ein einziges neues Kreisrohr ersetzen, das genau die gleiche Abflusskapazität hat (also dessen Querschnittsfläche der Summe der Querschnittsflächen der beiden alten Rohre zusammen entspricht).

1. a) Ein Techniker behauptet: „Da wir zwei Rohre von $20\text{ cm}$ ersetzen, muss das neue einen Durchmesser von $40\text{ cm}$ haben, um dasselbe abzuführen.“ Zeige durch Berechnung der Querschnittsflächen, ob die Aussage des Technikers richtig oder falsch ist.
2. b) Begründe algebraisch mithilfe der Formel $A = \pi \cdot r^2$, warum sich der Flächeninhalt eines beliebigen Kreises bei Verdopplung des Durchmessers mit $4$ und nicht mit $2$ multipliziert.
3. c) Stelle die Gleichung auf, die den Flächeninhalt des neuen Rohrs mit der Summe der beiden alten verbindet, und berechne, wie groß der tatsächliche Durchmesser des Ersatzrohrs ungefähr sein muss (runde das Ergebnis auf eine Dezimalstelle).