Wissenschaftliche Schreibweise

Berechne den Wert der folgenden Potenzen. Achte genau auf die Klammern und das Vorzeichen der Basis, denn das ist einer der häufigsten Fehler in diesem Thema.

1. a) $2^4$
2. b) $(-2)^4$
3. c) $-2^4$
4. d) $(-3)^3$
5. e) $-3^3$
6. f) $5^0$

Betrachte die folgende Abbildung, die den Unterschied zwischen $2^2$ und $2^3$ geometrisch darstellt. Kannst du in deinem Heft zeichnen, wie $3^2$ dargestellt würde?

Vereinfache die folgenden Terme mit den Potenzgesetzen und schreibe sie als eine einzige Potenz. Du musst das Ergebnis nicht ausrechnen, gib nur die entstehende Potenz an.

Denke daran:

• Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.

• Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.

• Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.

1. a) $3^5 \cdot 3^2$
2. b) $7^8 : 7^3$
3. c) $(2^3)^4$
4. d) $x^4 \cdot x \cdot x^2$
5. e) $\frac{5^7}{5^2}$
6. f) $(10^2)^3 \cdot 10^4$

Forme die folgenden Potenzen mit negativem Exponenten in Brüche mit positivem Exponenten um und umgekehrt. Berechne den Wert, wenn möglich.

Diese Aufgabe hilft dir, sicher mit der Regel $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ umzugehen.

1. a) $2^{-3}$
2. b) $5^{-2}$
3. c) $\frac{1}{3^2}$
4. d) $10^{-1}$
5. e) $\frac{1}{2^{-4}}$
6. f) $(\frac{2}{3})^{-2}$

Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Schreibe bei falschen Aussagen den richtigen Term in dein Heft.

1. a) $2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$
2. b) $3^{-2} = -9$
3. c) $(5^2)^3 = 5^6$
4. d) $\frac{a^5}{a^5} = 0$
5. e) $4^2 \cdot 3^2 = 12^2$

Vereinfache die folgenden Terme mit den Potenzgesetzen und gib das Endergebnis als eine einzige Potenz mit positivem Exponenten an.

1. a) $\frac{3^5 \cdot 3^{-2}}{3^7}$
2. b) $(5^3 \cdot 5^{-4})^{-2}$
3. c) $\frac{2^4 \cdot (2^3)^2}{2^{-2}}$

Vereinfache den folgenden Term mit den Potenzgesetzen. Zerlege die Basen in Primfaktoren, rechne und gib das Endergebnis als vollständig gekürzten Bruch mit positiven Exponenten an. Du musst den endgültigen Zahlenwert nicht berechnen, nur die vereinfachte Potenz angeben.

$$ \frac{15^{-2} \cdot 4^3 \cdot (-3)^4}{(-10)^2 \cdot (2^{-2})^{-3} \cdot 9^{-1}} $$

Bestimme den Wert von $x$ in der folgenden Exponentialgleichung mithilfe der Potenzgesetze. Schreibe dazu alle Zahlen als Potenzen derselben Basis (Basis 3).

$$ \frac{3^x \cdot 9^2}{27^{-1}} = \left( \frac{1}{3} \right)^{-5} $$

Im Alltag, besonders in der Technik, begegnen uns sehr große Zahlen. Schreibe die folgenden Größen aus dem Bereich soziale Netzwerke und Internet in wissenschaftlicher Schreibweise.

Denke daran: Die wissenschaftliche Schreibweise hat die Form $a \cdot 10^n$ mit $1 \le a < 10$.

1. a) Anzahl der Aufrufe des meistgesehenen Videos des Monats: 12.500.000 Aufrufe.
2. b) Anzahl der Byte in einem Terabyte (TB): 1.000.000.000.000 Byte.
3. c) Ungefähre Nutzerzahl eines sozialen Netzwerks: 2.900.000.000 Nutzer.
4. d) Dein Alter in Sekunden (ungefähr, bei 14 Jahren): 441.500.000 Sekunden.

Jetzt arbeiten wir mit sehr kleinen Größen. Biologie und Physik verwenden die wissenschaftliche Schreibweise, um Dinge zu messen, die wir mit bloßem Auge nicht sehen können.

Schreibe die folgenden Messwerte in wissenschaftlicher Schreibweise:

1. a) Der Durchmesser eines roten Blutkörperchens: 0,0000075 Meter.
2. b) Die ungefähre Größe eines Grippevirus: 0,00000012 Meter.
3. c) Die Masse eines feinen Staubkorns: 0,00000067 Gramm.
4. d) Die Zeit, die das Licht für einen Meter braucht: 0,0000000033 Sekunden.

Betrachte die Abbildung, um die mikroskopische Größenordnung zu veranschaulichen:

Wandle die folgenden Zahlen aus der wissenschaftlichen Schreibweise in die Dezimalschreibweise (gewöhnliche Zahl) um.

1. a) $3,5 \cdot 10^4$
2. b) $1,2 \cdot 10^6$
3. c) $5,4 \cdot 10^{-3}$
4. d) $8,9 \cdot 10^{-5}$

Um die Zahl $0,0045 \cdot 10^5$ in wissenschaftlicher Schreibweise anzugeben, überlegt Lena in ihrem Heft so:

„Damit vor dem Komma nur eine Ziffer ungleich null steht, verschiebe ich das Komma um drei Stellen nach rechts. Da ich das Komma um drei Stellen nach rechts verschoben habe, addiere ich 3 zum Exponenten der Zehnerpotenz. Also:

$$0,0045 \cdot 10^5 = 4,5 \cdot 10^{5+3} = 4,5 \cdot 10^8»$$

1. a) Erkläre genau, warum der Ausgangsterm $0,0045 \cdot 10^5$ nicht der Definition der wissenschaftlichen Schreibweise entspricht.
2. b) Finde den Fehler in Lenas Überlegung bei der Änderung des Exponenten und erkläre, wie die Verschiebung des Kommas tatsächlich ausgeglichen wird, damit sich der Wert der Zahl nicht ändert.
3. c) Schreibe das richtige Vorgehen Schritt für Schritt auf und gib das Endergebnis sowohl in wissenschaftlicher Schreibweise als auch als gewöhnliche Dezimalzahl an.

In den Naturwissenschaften begegnen uns extrem große und extrem kleine Längen. Im Folgenden sind vier reale Längen angegeben, alle in Metern:

• Durchmesser des Grippevirus: $0,00000012$ m

• Dicke eines menschlichen Haares: $0,00007$ m

• Durchmesser der Erde: $12742000$ m

• Entfernung der Erde von der Sonne: $149600000000$ m

Deine Aufgabe:

1. a) Schreibe jede der Längen in wissenschaftlicher Schreibweise.

1. b) Ordne sie von der kleinsten zur größten.

Ordne die folgenden Zahlen von der kleinsten zur größten. Achte dazu auf den Exponenten der Zehnerpotenz. Sind die Exponenten gleich, vergleiche die Dezimalzahlen.

$$ 3,2 \cdot 10^5 \quad ; \quad 1,5 \cdot 10^6 \quad ; \quad 8,9 \cdot 10^4 \quad ; \quad 3,1 \cdot 10^5 $$

Verwende das Symbol $<$ für die Antwort.

Wir wollen als exaktes Ergebnis die Zahl $3,6 \cdot 10^{-2}$ erhalten.

1. a) Erfinde zwei Zahlen $A$ und $B$, beide korrekt in wissenschaftlicher Schreibweise, sodass die Größenordnung von $A$ gleich $-5$ ist und $A \cdot B = 3,6 \cdot 10^{-2}$ gilt.
2. b) Zeige, wie du die Mantisse und die Größenordnung von $B$ aus dem von dir gewählten Wert von $A$ hergeleitet hast.
3. c) Wäre es möglich, eine Zahl $A$ mit der Größenordnung $-5$ so zu wählen, dass die Größenordnung von $B$ genau $2$ sein müsste? Begründe deine Antwort unter Berücksichtigung der möglichen Werte, die das Produkt zweier gültiger Mantissen annehmen kann (denke daran, dass jede Mantisse im Intervall $[1;10)$ liegen muss).

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt ungefähr $3 \cdot 10^8$ m/s. Ein Raumschiff sendet ein Funksignal vom Mars zur Erde. Der Abstand der beiden Planeten beträgt in diesem Moment $2,25 \cdot 10^8$ km:

1. a) Gib den Abstand in Metern in wissenschaftlicher Schreibweise an.
2. b) Berechne, wie lange (in Sekunden) das Signal bis zur Erde braucht.
3. c) Gib diese Zeit in Minuten an.

(Denke daran: Geschwindigkeit $v$, Strecke $e$ und Zeit $t$ hängen zusammen über $e = v \cdot t$).

Der menschliche Körper enthält ungefähr $3,7 \cdot 10^{13}$ Zellen. Man schätzt, dass jede Zelle eine durchschnittliche Masse von $2 \cdot 10^{-9}$ Gramm hat.

1. a) Berechne die Gesamtmasse der Zellen einer Person in Gramm.
2. b) Rechne das vorherige Ergebnis in Kilogramm um.
3. c) Wenn ein Bakterium $10$-mal leichter ist als eine menschliche Zelle, wie groß ist dann die Masse eines Bakteriums in wissenschaftlicher Schreibweise?

Ein Wassermolekül ($H_2O$) besteht aus zwei Wasserstoffatomen und einem Sauerstoffatom. Die Massen dieser Atome betragen ungefähr:

• Masse Wasserstoffatom: $1,67 \cdot 10^{-24}$ g

• Masse Sauerstoffatom: $2,66 \cdot 10^{-23}$ g

1. a) Um die Massen addieren zu können, schreibe die Masse des Sauerstoffatoms als eine Zahl mal $10^{-24}$.
2. b) Berechne die Gesamtmasse eines einzelnen Wassermoleküls ($2 \times \text{Wasserstoff} + 1 \times \text{Sauerstoff}$). Gib das Endergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.

Führe die folgenden gemischten Rechnungen in wissenschaftlicher Schreibweise aus, ohne für die Zwischenschritte den Taschenrechner zu benutzen. Passe die Exponenten an, um zu addieren oder zu subtrahieren, und nutze die Potenzgesetze zum Multiplizieren oder Dividieren. Gib das Endergebnis in korrekt normierter wissenschaftlicher Schreibweise an.

$$ \frac{(3,2 \cdot 10^{-4}) + (1,8 \cdot 10^{-3})}{2 \cdot 10^{-2}} \cdot (4 \cdot 10^6) $$

Ein Influencer analysiert die Statistiken seiner sozialen Netzwerke, um das Wachstum seiner Reichweite zu sehen.

• Auf Instagram hat er $1,25 \cdot 10^5$ Follower.

• Auf TikTok hat er $8,4 \cdot 10^4$ Follower.

• Auf YouTube hat er $2,1 \cdot 10^5$ Abonnenten.

1. a) Berechne die Gesamtzahl der Follower, indem du die drei Plattformen addierst. Gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.
2. b) Wenn er erwartet, dass seine gesamte Reichweite im nächsten Monat um $10\%$ wächst, wie viele Follower hat er dann insgesamt?

Ein Cloud-Speicherdienst bietet seinen Nutzern 2 TB (Terabyte) Speicherplatz. Es gelten die folgenden ungefähren Umrechnungen in der Informatik:

• $1 \text{ TB} = 10^{12} \text{ Bytes}$

• $1 \text{ GB} = 10^9 \text{ Bytes}$

• $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ Bytes}$

Ein Nutzer hat eine Fotosammlung, bei der jedes Foto durchschnittlich 4 MB belegt:

1. a) Wie viele Byte Speicherplatz hat der Nutzer insgesamt zur Verfügung? Gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.
2. b) Wie viele Fotos kann er ungefähr in seiner Cloud speichern, bis sie voll ist?

Ein würfelförmiges Staubecken hat eine Kantenlänge von $4 \cdot 10^2$ Metern.

1. a) Berechne das Volumen des Staubeckens in Kubikmetern ($m^3$) und gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.
2. b) Mit $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ Liter}$ berechne das Gesamtfassungsvermögen des Staubeckens in Litern, ebenfalls in wissenschaftlicher Schreibweise.
3. c) Wenn das Staubecken nur zu $50\%$ gefüllt ist, wie viele Liter Wasser enthält es?

Nach Angaben des Instituto Nacional de Estadística (INE) verbrauchten die Haushalte einer bestimmten autonomen Gemeinschaft in Spanien in einem Jahr insgesamt $2,38 \cdot 10^8\text{ m}^3$ Trinkwasser, verteilt auf eine Bevölkerung von $4,75 \cdot 10^6$ Einwohnern.

1. a) Schätze: Runde ohne schriftliche Rechnung und ohne Taschenrechner die Mantissen auf einfache ganze Zahlen und schätze im Kopf, wie viele Kubikmeter Wasser pro Jahr auf jeden Einwohner entfallen. Gib an, welche Größenordnung du für das Ergebnis erwartest.
2. b) Berechne: Führe die Division in wissenschaftlicher Schreibweise mit den Originaldaten durch. Gib den Quotienten in wissenschaftlicher Schreibweise an, die Mantisse auf Hundertstel gerundet.
3. c) Prüfe und bewerte: Mit $1\text{ m}^3 = 10^3\text{ Liter}$ und einem Jahr mit 365 Tagen berechne, wie viele Liter Wasser ein Einwohner nach diesen Daten durchschnittlich pro Tag verbraucht. Vergleiche das Ergebnis mit deiner vorherigen Schätzung und begründe, ob dir das für den täglichen Verbrauch einer Person im Haushalt realistisch erscheint.

Bei einem Starkregenereignis an der Mittelmeerküste, das von der spanischen Wetterbehörde AEMET überwacht wurde, ging über einer Region mit $3,5 \cdot 10^2\text{ km}^2$ Fläche im Durchschnitt $1,2 \cdot 10^2\text{ l/m}^2$ nieder. Man schätzt, dass ein Regentropfen bei Gewitter ein Volumen von ungefähr $4 \cdot 10^{-5}\text{ Liter}$ hat.

1. a) Gib die Fläche der Region in Quadratmetern ($\text{m}^2$) in wissenschaftlicher Schreibweise an, mit $1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2$.
2. b) Modelliere den Gesamtniederschlag, indem du das gesamte Wasservolumen (in Litern) berechnest, das während des Ereignisses auf die Region gefallen ist. Gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.
3. c) Berechne die Gesamtzahl der Regentropfen, die in der ganzen Region gefallen sind.
4. d) Betrachte die Größenordnung der erhaltenen Tropfenzahl und schreibe eine kurze Überlegung, warum die wissenschaftliche Schreibweise in der Meteorologie und in Umweltstudien gegenüber der Dezimalschreibweise mit vielen Nullen unverzichtbar ist.

Die Raumsonde Voyager 1 ist das vom Menschen geschaffene Objekt, das am weitesten gereist ist. Stell dir vor, sie befindet sich in einer Entfernung von ungefähr $2,3 \cdot 10^{10}$ Kilometern von der Erde.

Die Sonde sendet ein Funksignal zu uns, das sich mit Lichtgeschwindigkeit ($3 \cdot 10^5$ km/s) ausbreitet:

1. a) Berechne, wie lange (in Sekunden) das Signal bis zur Erde braucht. Gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.
2. b) Rechne diese Zeit in Stunden um und gib sie als auf zwei Dezimalstellen gerundete Dezimalzahl an.

Wir haben einen riesigen würfelförmigen Tank zur Speicherung von Bewässerungswasser. Die Kantenlänge dieses Tanks beträgt $2^5$ Meter.

1. a) Gib das Volumen des Tanks in Kubikmetern als eine einzige Potenz zur Basis 2 an.
2. b) Mit $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ Liter}$ gib das Gesamtfassungsvermögen des Tanks in Litern in wissenschaftlicher Schreibweise an.
3. c) Der Tank ist bis zur Hälfte gefüllt. Wie viele Liter enthält er? Gib das Ergebnis als Potenz zur Basis 2 multipliziert mit einer Potenz zur Basis 10 an.

In der Informatik wachsen die Speichereinheiten rasant. Ein Datenserver hat eine Gesamtspeicherkapazität von 4 Petabyte.

Es gilt:

• $1 \text{ Petabyte (PB)} = 10^{15} \text{ Bytes}$

• Ein hochwertiges Foto belegt durchschnittlich $8 \text{ Megabyte (MB)}$, wobei $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ Bytes}$.

Berechne, wie viele hochwertige Fotos auf diesen Server passen. Gib das Endergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.

Der Körper eines durchschnittlichen Erwachsenen hat ungefähr $3,72 \cdot 10^{13}$ Zellen. Nimm an, dass eine menschliche Zelle im Durchschnitt eine Masse von $1,8 \cdot 10^{-9}$ Gramm hat:

1. a) Berechne die Gesamtmasse aller Zellen in Gramm.
2. b) Rechne das Ergebnis in Kilogramm um.
3. c) Wenn eine Person 75 kg wiegt, wie viel Prozent ihres Gesamtgewichts macht ungefähr die berechnete Zellmasse aus? (Hinweis: Der Rest wäre extrazelluläres Wasser, Knochenmineralien usw.)

Herausforderung zum Thema. Ein Blatt Papier ist ungefähr $10^{-4}$ Meter dick. Stell dir vor, wir könnten das Blatt beliebig oft in der Mitte falten.

1. a) Schreibe einen Term in Form einer Potenz, der die Dicke des Papierstapels nach $n$ Faltungen angibt.

1. b) Wenn wir das Blatt 42-mal falten könnten (physikalisch unmöglich, aber mathematisch berechenbar), wie dick wäre der Stapel in Kilometern? Gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.

1. c) Vergleiche das Ergebnis mit der mittleren Entfernung von der Erde zum Mond ($3,84 \cdot 10^5$ km). Wäre der Stapel dicker als diese Entfernung?

In einem fächerübergreifenden Projekt in den Naturwissenschaften soll die Gesamtmasse von Hydrosphäre und Atmosphäre der Erde berechnet werden, indem man ihre geschätzten Massen addiert: Die Masse der Atmosphäre beträgt $M_A = 5,15 \cdot 10^{18}\text{ kg}$ und die der Hydrosphäre $M_H = 1,4 \cdot 10^{21}\text{ kg}$. Zur Berechnung von $M_T = M_A + M_H$ schlagen drei Mitschüler unterschiedliche Strategien vor:

• Methode 1 (Marcos): Die größere Zahl mit der kleineren Zehnerpotenz schreiben ($1,4 \cdot 10^{21} = 1400 \cdot 10^{18}$), die Mantissen addieren und am Ende in wissenschaftliche Schreibweise umformen.

• Methode 2 (Sarah): Die kleinere Zahl mit der größeren Zehnerpotenz schreiben ($5,15 \cdot 10^{18} = 0,00515 \cdot 10^{21}$), die Mantissen addieren und das Ergebnis direkt in wissenschaftlicher Schreibweise erhalten.

• Methode 3 (Alex): Beide Zahlen mit allen Nullen in gewöhnlicher Dezimalschreibweise aufschreiben, untereinander ausrichten, Ziffer für Ziffer addieren und das Ergebnis wieder in wissenschaftliche Schreibweise umwandeln.

1. a) Berechne die Summe, indem du Methode 1 und Methode 2 ausdrücklich anwendest, und überprüfe, dass beide Wege zum selben Ergebnis führen.
2. b) Vergleiche die drei Methoden: Begründe, welche in diesem Fall die effizienteste und sicherste ist, und erkläre, warum Alex' Weg für den Umgang mit naturwissenschaftlichen Größen völlig ungeeignet ist.
3. c) Analysiere das erhaltene Ergebnis: Wie viel Prozent der Masse der Hydrosphäre beträgt die Masse der Atmosphäre ungefähr? Erkläre, wie sich dieses Missverhältnis auf die Größenordnung der Summe auswirkt.

Die Station zur Verfolgung von Raumsonden im tiefen Weltraum des INTA/NASA in Robledo de Chavela (Madrid) empfängt Daten einer Raumsonde. Der Abstand zwischen Sonde und Erde schwankt zwischen einem Perihel von $4,5 \cdot 10^7\text{ km}$ und einem Aphel von $1,5 \cdot 10^8\text{ km}$. Elektromagnetische Signale breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus, $c = 3 \cdot 10^5\text{ km/s}$. Außerdem sendet die Sonde ein Datenpaket von $7,2 \cdot 10^6\text{ Kilobit}$ mit einer konstanten Übertragungsrate von $2,4 \cdot 10^4\text{ Kilobit/s}$. Die „Gesamtempfangszeit“ ist die Zeit, die das Signal für den Weg durch den Weltraum braucht, plus die Zeit, die die Antenne braucht, um das gesamte Paket herunterzuladen.

1. a) Stelle die Formel für die Gesamtempfangszeit in Abhängigkeit von den Angaben der Aufgabe auf und berechne diese Zeit (in Sekunden und in wissenschaftlicher Schreibweise) im Perihel und im Aphel.
2. b) Aufgrund betrieblicher Vorgaben der Kontrollzentrale wird ein Notfallprotokoll festgelegt, nach dem die Gesamtempfangszeit dieses Pakets unter keinen Umständen $400\text{ Sekunden}$ überschreiten darf. Stelle eine Ungleichung auf und berechne die maximale Entfernung zur Erde (in km und in wissenschaftlicher Schreibweise), in der sich die Sonde befinden darf, um diese Bedingung zu erfüllen.
3. c) Interpretiere das Ergebnis aus Teilaufgabe b): Befindet sich die Sonde auf ihrer gesamten Bahn innerhalb der Sicherheitsgrenze, an keiner Stelle oder nur auf einem bestimmten Abschnitt? Begründe deine Antwort, indem du die berechnete maximale Entfernung mit Perihel und Aphel vergleichst.

Projektaufgabe zum Thema. Entwirf ein maßstäbliches Energiemodell für deinen Wohnort auf der Grundlage realer Daten von Red Eléctrica de España (REE).

1. Datenerhebung und wissenschaftliche Schreibweise: Rufe die Website von REE auf (Bereich tägliche Stromnachfrage) und suche den gesamten Stromverbrauch des Festlands von gestern in $\text{MWh}$ heraus. Rechne ihn in Wattstunden ($\text{Wh}$) um, indem du mit $10^6$ multiplizierst, und gib den Endwert, auf zwei signifikante Stellen gerundet, in wissenschaftlicher Schreibweise an ($a \cdot 10^k$ mit $1 \le a < 10$).

2. Potenzen rationaler Zahlen: Nimm an, dass auf deine Gemeinde ein Anteil von $(2/5)^3$ eines Tausendstels dieser Gesamtenergie entfällt. Nutze die Potenzgesetze für Potenzen mit rationaler Basis, um die Rechnung zu vereinfachen und den geschätzten Verbrauch deines Wohnorts in wissenschaftlicher Schreibweise zu bestimmen.

3. Rechnen mit Wurzeln: Wenn ein Standard-Solarmodul $2,5 \cdot 10^2\text{ Wh}$ pro Tag und Quadratmeter liefert, berechne die insgesamt benötigte Modulfläche $A$. Plane die Anlage auf einem quadratischen Grundstück mit der Seitenlänge $L = \sqrt{A}$ Meter. Zerlege den Radikanden in Faktoren, ziehe alle möglichen Faktoren vor die Wurzel, um die exakte vereinfachte Lösung zu erhalten, und gib schließlich einen Näherungswert als Dezimalzahl an.

Endprodukt: Gib einen kurzen Bericht von einer Seite ab (oder einen Screenshot deiner Tabellenkalkulation) mit den gesammelten Daten, den ausführlichen mathematischen Rechnungen und der Interpretation des Ergebnisses.

Bewertet wird:

• Genauigkeit beim Umrechnen von Einheiten und sorgfältiger Gebrauch der wissenschaftlichen Schreibweise.

• Richtige Anwendung der Potenzgesetze für rationale Zahlen.

• Primfaktorzerlegung und Geschick beim Vereinfachen und Herausziehen von Faktoren bei Wurzeln.

• Klarheit, Ordnung und Begründung der Schlussfolgerungen im Bericht.